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* QUIZ: Il fuoristrada che viaggia qui e là
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Autore Messaggio
ZapoTeX
Dio maturo
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Registrato: 04/06/04 16:18
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MessaggioInviato: 06 Gen 2006 00:01    Oggetto: * QUIZ: Il fuoristrada che viaggia qui e là Rispondi citando

Un fuoristrada si trova in un certo punto di una strada dritta infinita. Su questa strada fa 10 km con un litro. Fuori dalla strada c'è un deserto infinito. Sullo sterrato del deserto fa solo 5 km con un litro.

Ha 10 litri. Descrivere forma e dimensioni del territorio dove il fuoristrada può arrivare.

(dipartimento di matematica della statale)
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emilio.roda
Dio maturo
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MessaggioInviato: 06 Gen 2006 00:54    Oggetto: Rispondi citando

Mi sono messo con carta e penna.... Smile

Citazione:
Un ellisse? L'asse maggiore e' lungo la strada ed e' lungo 20 Km. L'asse minore e' invece lungo 10 Km. Il punto di partenza e' il centro dell'ellisse.
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ulisse
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MessaggioInviato: 06 Gen 2006 03:53    Oggetto: Rispondi citando

Hai fatto i calcoli con un litro ma nel serbatoio ce ne sono 10!
La forma è corretta ma i valori che hai indicato vanno moltiplicati per 10.
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ZapoTeX
Dio maturo
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MessaggioInviato: 06 Gen 2006 11:34    Oggetto: Rispondi citando

Sapete che ho paura che non sia un ellisse?

Magari ricordo male, ci ragionerò, ma non è un ellisse secondo me!

Ciao!
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ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 06 Gen 2006 15:48    Oggetto: Rispondi citando

Confermo! Stanotte ho preso una cantonata: la figura non è un'ellisse!

Citazione:
Il luogo geometrico soluzione del quesito è la figura piana compresa all'interno della circonferenza centrata nell'origine e raggio 50 km e all'interno delle sue quattro tangenti tirate dai due punti sulla strada distanti 100 km dall'origine.
In altro modo: le quattro tangenti formano un rombo che inscrive la suddetta circonferenza.
La circonferenza inscritta nel rombo divide il rombo in 5 regioni. Tolte le due regioni esterne individuate dall'asse minore del rombo, quello che resta è il luogo geometrico cercato.
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ZapoTeX
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MessaggioInviato: 06 Gen 2006 16:42    Oggetto: Rispondi citando

Adesso sono d'accordo!
W la matematica!
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gek
Eroe
Eroe


Registrato: 22/01/06 15:55
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MessaggioInviato: 26 Gen 2006 10:28    Oggetto: io ancora nn ho capito... Rispondi citando

scusate se sembro pedante... ma io nn ho capito Think

ho provato a disegnare la figura così come l'ho intesa io:

http://img88.imageshack.us/my.php?image=deserto6ae.jpg

ma quale di queste aree va eliminata?? il rombo chiaramente ha diagonale maggiore pari a 200 Km e diag minore pari a 100 (fin qui siamo tutti d'accordo? naturalmente bisogna assumere che la strada sia una retta cioè con larghezza trascurabile, altrimenti se dovessimo considerare anche lo spostamento laterale necessario per uscire diventerebbe più complicato <<inutilmente complicato...>>)

ciao!!
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andreaziffer
Eroe in grazia degli dei
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MessaggioInviato: 26 Gen 2006 14:32    Oggetto: un rombo grassoccio? Rispondi citando

Considerato che il veicolo può iniziare il percorso su strada e poi allontanarsi da essa
detta x la distanza percorsa lungo la strada
risulta che l'autonomia residua ci consente di raggiungere i punti che distano dalla strrada (100-x)/2

in pratica al 99mo km potremo allontanarci dalla strada per 500 m, raggiungendo così uno dei lati del rombo, ma se ci allontaniamo non ad angolo retto (ed in particolare ortogonalmente al lato del rombo) possiamo arrivare anche fuori del suo perimetro.
ne risulta quindi una specie di ellisse.

se fossi fresco di studi potrei provare a formalizzare con un'equazione, ma la cosa è al momento superiore alle mie forze (come molte altre, sigh)
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Molok
Eroe in grazia degli dei
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MessaggioInviato: 26 Gen 2006 17:38    Oggetto: Rispondi citando

Salve a tutti,
non scrivo spesso, ma spesso vi leggo...

La soluzione dovrebbe essere formalizzabile in questo modo:
Citazione:
Il fuoristrada posto nel punto di partenza puo' raggiungere
qualunque punto interno o sovrapposto alle circonferenze aventi il centro
sull'asse stradale e raggio pari alla meta' della differenza tra 100 (km) e la distanza del centro dal punto di partenza suddetto.


considerando che il raggio diminuisce in modo lineare e al 100mo kilometro e' effettivamente pari a zero (descrivendo una circonferenza puntiforme)
abbiamo come risultante la figura descritta da Ulisse.
che cerco di allegare...

saluti,
Molok
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ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 27 Gen 2006 14:08    Oggetto: Rispondi citando

Ciao e benvenuti!
Molok, che conferma la mia soluzione ha ragione (mai dare torto a chi ti sta dando ragione!!! Very Happy )

La formalizzazione dubito che sia semplice e ridotta ad una sola equazione...
Io, la soluzione, l'ho solo "disegnata" con Cabrì.
Analiticamente mi sa che è un complicato problema di ottimizzazione...
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 26 Dic 2006 18:24    Oggetto: cold case: il gelataio pazzo Rispondi citando

...avevamo scoperto qual è la superficie percorribile dal furgoncino, ma non perchè: ci provo.
Consideriamo un sistema di assi cartesiani, centrato sulla posizione di patenza del furgoncino e asse X coincidente con la strada. Sia t il punto in cui ad un dato istante il furgoncino sia sull'asse delle ascisse (per comodità consideriamo solo t>=0, la simmetria è lampante).
Assunto che i punti raggiungibili sono tutti e soli quelli dei cerchi (circonferenza + punti interni) con centro in t e raggio=(100-t)/2, scriviamo l'equazione della generica circonferenza:
(x-t)^2+y^2=((100-t)/2)^2, al variare del parametro t le otteniamo tutte, da quella "grande" con centro in 0, a quella degenere, puntiforme, di coordinate (100; 0).
Dobbiamo trovare la curva che le contiene tutte, che cioè ne costituisca il cosiddetto "inviluppo". L'inviluppo di una famiglia di curve è data da un'altra curva tangente a tutte quelle della famiglia ed è costituita dai singoli punti di tangenza.
Consideriamo la generica retta passante per il punto (100; 0), la sua equazione sarà del tipo:
y=m*x-100*m.
Ponendo a sistema la generica circonferenza e la retta suddetta, imponendo la condizione di tangenza (discriminante dell'equazione di secondo grado pari a zero), si ottiene che tale tangente generica (non dipendente dal parametro t!) ha m^2=3
Cioè si hanno che le tangenti sono ovviamente due, vale a dire:
y=-sqr(3)*x+100*sqr(3) e
y=sqr(3)*x-100*sqr(3),
che sono quelle che, insieme alle due simmetriche, formano il famigerato rombo delle figure mostrateci.
Per inciso, la circonferenza "grande" ha il punto di tangenza nel punto di ascissa pari a 25.
Ma non tutto il rombo è soluzione, infatti intuitivamente dobbiamo eliminare le "lunette" superiori ed inferiori. Ma questo è vero? Cosa ci impedisce di pensare che una circonferenza, legata ad un parametro t opportuno, non intersechi la circonferenza "grande" trovandovisi sopra (ci limitiamo al I° quadrante, per simmetria) ed invada la "lunetta"? Allora siamo obbligati a considerare la circonferenza "grande", quella di equazione x^2+y^2=50^2 e porla a sistema con quella generica, dipendente da parametro t e trovare le intersezioni.
Troviamo che, nel primo quadrante, le uniche soluzioni sono date da punti che hanno per ascissa il valore (25+kt), dove k è uguale a tre ottavi, evidentemente superiore a quel 25, più sopra indicato per inciso, per cui per ogni t (appartenente all'intervallo sospetto: 0<=t<=25), il corrispondente y della circonferenza generica ha valore minore di quello della circonferenza "grande", come volevamo dimostrare.

Sperò così di aver esaustivamente risolto il gradevole problema e di aver effettivamente dimostrato che la figura soluzione è questa sorta di cono (nel senso di gelato) che un estroso gelataio ha costruito con una palla di gelato e due cialde simmetriche.
Mi scuso della prolissità e spero di non aver toppato niente.
Salmastro
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ulisse
Dio maturo
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Residenza: Bagnone (MS)

MessaggioInviato: 29 Dic 2006 17:29    Oggetto: Rispondi

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Fantastico!

Bel lavoro Salmastro!

Si. La tua dimostrazione è corretta in ogni dettaglio, pulita, essenziale ed elegante.

Non ultimo, apprezzo l'immagine del gelato a due cialde!

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