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Salmastro
Dio minore
Dio minore


Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 26 Dic 2006 18:24    Oggetto: cold case: il gelataio pazzo Rispondi citando

...avevamo scoperto qual è la superficie percorribile dal furgoncino, ma non perchè: ci provo.
Consideriamo un sistema di assi cartesiani, centrato sulla posizione di patenza del furgoncino e asse X coincidente con la strada. Sia t il punto in cui ad un dato istante il furgoncino sia sull'asse delle ascisse (per comodità consideriamo solo t>=0, la simmetria è lampante).
Assunto che i punti raggiungibili sono tutti e soli quelli dei cerchi (circonferenza + punti interni) con centro in t e raggio=(100-t)/2, scriviamo l'equazione della generica circonferenza:
(x-t)^2+y^2=((100-t)/2)^2, al variare del parametro t le otteniamo tutte, da quella "grande" con centro in 0, a quella degenere, puntiforme, di coordinate (100; 0).
Dobbiamo trovare la curva che le contiene tutte, che cioè ne costituisca il cosiddetto "inviluppo". L'inviluppo di una famiglia di curve è data da un'altra curva tangente a tutte quelle della famiglia ed è costituita dai singoli punti di tangenza.
Consideriamo la generica retta passante per il punto (100; 0), la sua equazione sarà del tipo:
y=m*x-100*m.
Ponendo a sistema la generica circonferenza e la retta suddetta, imponendo la condizione di tangenza (discriminante dell'equazione di secondo grado pari a zero), si ottiene che tale tangente generica (non dipendente dal parametro t!) ha m^2=3
Cioè si hanno che le tangenti sono ovviamente due, vale a dire:
y=-sqr(3)*x+100*sqr(3) e
y=sqr(3)*x-100*sqr(3),
che sono quelle che, insieme alle due simmetriche, formano il famigerato rombo delle figure mostrateci.
Per inciso, la circonferenza "grande" ha il punto di tangenza nel punto di ascissa pari a 25.
Ma non tutto il rombo è soluzione, infatti intuitivamente dobbiamo eliminare le "lunette" superiori ed inferiori. Ma questo è vero? Cosa ci impedisce di pensare che una circonferenza, legata ad un parametro t opportuno, non intersechi la circonferenza "grande" trovandovisi sopra (ci limitiamo al I° quadrante, per simmetria) ed invada la "lunetta"? Allora siamo obbligati a considerare la circonferenza "grande", quella di equazione x^2+y^2=50^2 e porla a sistema con quella generica, dipendente da parametro t e trovare le intersezioni.
Troviamo che, nel primo quadrante, le uniche soluzioni sono date da punti che hanno per ascissa il valore (25+kt), dove k è uguale a tre ottavi, evidentemente superiore a quel 25, più sopra indicato per inciso, per cui per ogni t (appartenente all'intervallo sospetto: 0<=t<=25), il corrispondente y della circonferenza generica ha valore minore di quello della circonferenza "grande", come volevamo dimostrare.

Sperò così di aver esaustivamente risolto il gradevole problema e di aver effettivamente dimostrato che la figura soluzione è questa sorta di cono (nel senso di gelato) che un estroso gelataio ha costruito con una palla di gelato e due cialde simmetriche.
Mi scuso della prolissità e spero di non aver toppato niente.
Salmastro
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ulisse
Dio maturo
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Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)

MessaggioInviato: 29 Dic 2006 17:29    Oggetto: Rispondi

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Fantastico!

Bel lavoro Salmastro!

Si. La tua dimostrazione è corretta in ogni dettaglio, pulita, essenziale ed elegante.

Non ultimo, apprezzo l'immagine del gelato a due cialde!

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