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* QUIZ: Il cacciatore e l'orso
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ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 01:12    Oggetto: Rispondi citando

Vathek ha scritto:
Allora, il colore dell'orso è bianco, in quanto per muoversi su tre punti cardinali e tornare al punto di partenza, il punto di origine deve essere per forza il polo nord.

Correggo: il punto di origine può essere il polo nord ma non deve esserlo per forza.
Ormai è chiaro che esistono altri punti sulla faccia della terra che hanno questa proprietà. A voi il compito di individuare quali e quanti sono!

Citazione:
Per quanto riguarda freccia e fucile, il cacciatore si accorgerà che al suo ritorno al punto di partenza l'arma non sarà più parallela alla freccia, in quanto nel suo percorso ha disegnato (con le dovute curve del globo terracqueo) un triangolo...

Anche in questo caso è necessaria una piccola correzione; se fossi in grado di riprodurre l'esperimento su una superficie piana noteresti due fatti (il mio dubbio non verte sulle tue capacità ma sulla facilità di reperimento di una superficie piana qui sulla terra)

1) percorrendo un qualunque triangolo all'arrivo il fucile sarebbe sempre perfettamente orientato come la freccia
2) se fai due svolte di 90 gradi devi rinunciare alla possibilità di tornare al punto di partenza; viceversa, se vuoi tornare al punto di partenza devi rinunciare alle due svolte di 90 gradi.

La parte essenziale è proprio il tuo inciso tra parentesi: "con le dovute curve del globo..."

Infatti ciò che rende possibile la perdita di parallelismo e la presenza di triangoli con addirittura tre angoli retti è proprio la curvatura della superficie terrestre!
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ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 01:22    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
anche se mantiene il fucile parallelo alla prima linea verso sud, quano torna al punto di partenza il fucile non potrà essere ancora parallelo a quella linea.

Appunto! Il paradosso è proprio questo: sul piano, percorrendo un cammino chiuso con in mano un bastone orientato sempre nella stessa direzione, si ritorna al punto di partenza col bastone che ha ancora la direzione iniziale.
Invece su una sfera, quando si ritorna al punto di partenza, il bastone non ha più la direzione iniziale nonostante esso sia stato sempre mantenuto "parallelo a sè stesso".
Colpevole di tale paradosso è la curvatura della superficie sulla quale abitiamo...
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 01:27    Oggetto: Rispondi citando

e io che mi ero messa a studiare questo...
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ulisse
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 01:59    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
e io che mi ero messa a studiare questo...

Beh... la geometria non eulidea è proprio l'ambito corretto!

A parte ciò, grazie per il link al sito Polymath che non conoscevo ma, ho già visto, mi sarà assai prezioso.
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 02:43    Oggetto: Rispondi citando

anche a me sembrava che fosse leggermente fuori tema: ci sono capitata per caso mentre stavo googlando "trigonometria sferica deformazione angoli" perchè mi ricordavo un teorema che parlava di come la somma degli angoli interni di un triangolo non sempre è un angolo piatto (in riferimento a parallasse e geodesia).
si vede che a quest'ora i miei ricordi sono ancora più evanescenti del solito.
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emilio.roda
Dio maturo
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 11:45    Oggetto: Rispondi citando

Ulisse ha scritto:

In ogni caso direi che il secondo quesito va così riletto: oltre al polo nord esistono altri punti sul globo terrestre ai quali si può fare ritorno dopo aver percorso 1 miglio verso sud, 1 miglio verso est e 1 miglio verso nord?
Nel caso tali punti esistano, quanti sono? e anche in essi si verifica il paradosso della freccia?


Pensiamo alla cinrconferenza (mi viene da chiamarla "parallelo" ma so che e' scorretto) che e' equidistante un miglio dal Polo Sud. Se il cacciatore parte da un punto qualsiasi di questa circonferenza e fa un miglio in direzione sud, poi si trova al Polo Sud. A questo punto, come fa ad andare verso est? Deve stare fermo? Girare su se stesso? In questo modo, quando va a nord, torna al punto di partenza (o meglio, al luogo di punti equidistanti un miglio dal Polo Sud).

Comunque e' interessante notare che la maggior parte di questi problemi esistono solo a livello teorico perche' quelle zone non sono abitate e nella realta' quotidiana nessuno si pone mai questi problemi. E poi, al Polo Nord ci saranno davvero gli orsi? Smile
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Andreij
Eroe in grazia degli dei
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 19:22    Oggetto: Rispondi citando

O ancora meglio il cacciatore parte dalla circonferenza (o parallelo) che si trova 1 miglio a nord della circonferenza che misura esattamente 1 miglio. Facendo cosí va a sud per 1 miglio, poi fa un giro della terra e torna al punto di partenza. Cosí vediamo che ci sono infiniti punti dove é possibile tornare al punto di partenza andando 1 miglio a sud, 1 a est (o ovest) e 1 a nord.

bellissimo quest'indovinello! Very Happy
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Gipi'
Dio minore
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 19:31    Oggetto: Rispondi citando

Andreij ha scritto:
O ancora meglio il cacciatore parte dalla circonferenza (o parallelo) che si trova 1 miglio a nord della circonferenza che misura esattamente 1 miglio. Facendo cosí va a sud per 1 miglio, poi fa un giro della terra e torna al punto di partenza. Cosí vediamo che ci sono infiniti punti dove é possibile tornare al punto di partenza andando 1 miglio a sud, 1 a est (o ovest) e 1 a nord.

bellissimo quest'indovinello! Very Happy

..e se non ho capito male, in questo caso non si presenta il paradosso del mancato parallelismo del fucile di cui si e' parlato alcuni post sopra.

Riportato su un piano 2D si segue un percorso a "T" senza ripassare due volte sulla testa della "T" stessa.

Mi piace sta roba Hypno Drunk
.
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ulisse
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MessaggioInviato: 10 Dic 2005 14:28    Oggetto: Rispondi citando

Andreij ha scritto:
(...)Cosí vediamo che ci sono infiniti punti dove é possibile tornare al punto di partenza andando 1 miglio a sud, 1 a est (o ovest) e 1 a nord.

bellissimo quest'indovinello! Very Happy


Esatto!

Ma c'è ancora una piccola generalizzazione ottenibile prendendo la circonferenza della seconda tratta (quella del cammino verso est tanto per intenderci) non di lunghezza 1 miglio ma di lunghezza pari a 1 k-esimo di miglio (di modo che percorrendola k volte si ottenga il richiesto cammino verso est di 1 miglio).

Grazie per il complimento! Ero realmente preoccupato per la scelta del quiz di avvio del forum!
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ulisse
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MessaggioInviato: 10 Dic 2005 16:29    Oggetto: Rispondi citando

emilio.roda ha scritto:
Comunque e' interessante notare che la maggior parte di questi problemi esistono solo a livello teorico


Caro Emilio devo amichevolmente contraddirti:
non solo i problemi esclusivamente teorici sono assai meno di quelli pratici ma addirittura spesso i problemi astratti e quelli concreti sono legati inscindibilmente dal medesimo modello rappresentativo. In altre parole, spesso due problemi apparentemente diversi hanno in verità la stessa rappresentazione.

La Matematica (secondo una mia opinione che però immagino trovi riscontro in personaggi decisamente più autorevoli di me) è quella scienza che produce e studia modelli di rappresentazione.

Vista sotto quest'ottica può venir naturale distinguere tra:
  • matematica astratta che produce e studia modelli rappresentativi slegati da qualsiasi applicazione (paradossalmente potremmo chiamare tali modelli soluzioni senza problema!)
  • matematica applicata che produce e studia modelli rappresentativi che trovano riscontro concreto in problemi utili
  • matematica ricreativa che produce e studia modelli rappresentativi che trovano riscontro concreto in problemi futili (il giochino del cacciatore)
Ma la natura nel suo manifestarsi "va al risparmio" e, dunque, quando trova uno schema di successo lo ricicla appena può.

Questo fatto è evidente agli occhi di un matematico che si diverte a schematizzare e modellizzare problemi: spesso e volentieri lo stesso modello può essere utilizzato per rappresentare fenomeni nettamente diversi ma analoghi.
Così può capitare che un modello matematico atto a risolvere un problema futile (pertinente quindi la matematica ricreativa) o inesistente (matematica astratta) di punto in bianco si scopra possa essere utilizzato per risovere un problema concreto e utile.

Tanto per fare un esempio: l'icosaedro di Hamilton.
Sir William Hamilton è un famoso ed autorevole matematico del XIX secolo. Il gioco da lui ideato consiste nel percorrere gli spigoli di un dodecaedro (non chiedetemi perchè si gioca su un dodecaedro ma si chiama icosaedro) formando un percorso chiuso che passi per tutti i vertici del solido platonico una ed una sola volta (tranne il vertice di partenza che viene toccato una seconda volta all'arrivo).
Ebbene, il modello matematico che rappresenta questo gioco può essere tranquillamente riciclato per rappresentare un altro gioco: la torre di Hanoi.
Ma può anche essere speso per rappresentare il problema del commesso viaggiatore (data una rete stradale e dei negozi su essa trovare, se esiste, il percorso che consenta al commesso di partire da, e ritornare a, casa passando per tutti i negozi che deve visitare senza mai ripercorrere lo stesso tratto di strada).

Dunque un problema astratto (percorrere gli spigoli di un dodecaedro) è contemporaneamente un problema ricreativo (la torre di Hanoi) e un problema applicativo (ottimizzazione).

Di più.
Nel corso dei secoli non solo è accaduto che un modello astratto abbia trovato solo successivamente la sua applicazione (ad esempio i numeri complessi che sono stati "inventati" e studiati senza la minima applicazione concreta e poi si è scoperto che potevano degnamente rappresentare alcuni fenomeni elettrici) ma è anche accaduto che un modello matematico applicativo sia diventato di punto in bianco astratto perchè le nuove scoperte hanno reso il problema inconsistente (Ad esempio oggigiorno la computazione geometrica non ha più alcun interesse e quindi il modello computazionale è relegato a ruolo ricreativo).
Vi chiedete cosa sia la computazione geometrica?
Oggetto di un futuro post vi anticipo solo che la computazione geometrica è il modello matematico che spiega come eseguire le quattro operazioni nonchè l'elevamento a potenza e l'estrazione di radici (con indice pari) di numeri razionali col solo uso di un bastone e una cordicella (equivalenti di riga e compasso).

Una piccola osservazione che c'entra poco ma che mi premeva portare alla vostra attenzione:
non è un caso che abbia parlato di matematica ricreativa e non di matematica dilettevole.

Chiamandola matematica dilettevole avrei certo offeso qualche matematico ricavando come obiezione che il matematico si diletta nella risoluzione di problemi indipendentemente dal fatto che essi siano concreti o astratti e, ancorchè concreti, che siano utili o futili.

Chiamandola matematica ricreativa sono invece certo di riscuotere l'ammirazione dei matematici che, evidenziando il termine ri-creativo, possono vedere i giochini non come un diletto fine a stesso ma come l'ambiente protetto in cui i cuccioli di matematico possono cimentarsi senza rischio nella risoluzione di problemi come allenamento per la caccia alla soluzione di un problema concreto alla quale parteciperanno da adulti.
La matematica ri-creativa, insomma, trova la sua utilità nell'allenamento mentale alla risoluzione di problemi.
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ulisse
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MessaggioInviato: 10 Dic 2005 16:45    Oggetto: Rispondi citando

Gipi' ha scritto:
..e se non ho capito male, in questo caso non si presenta il paradosso del mancato parallelismo del fucile di cui si e' parlato alcuni post sopra.

Riportato su un piano 2D si segue un percorso a "T" senza ripassare due volte sulla testa della "T" stessa.


Esatto!
Ciò capita perchè la rotazione "nascosta" del fucile, durante il movimento verso est, è di 360 gradi mentre nella soluzione tradizionale (si parte dal polo nord) lo spostamento verso est di 1 miglio non è sufficiente per riportare il fucile al suo orientamento originale.

Citazione:
Mi piace sta roba Hypno Drunk
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Cercherò di procurarvene dell'altra!
Peccato che gli studenti non si rendano conto degli effetti psichedelici della matematica.
Non mi dispiacerebbe diventare un pusher narcomatematico e vedere gli studenti storditi per troppa matematica anzichè per troppa marijuana...
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tar
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MessaggioInviato: 05 Gen 2006 22:57    Oggetto: Rispondi citando

Scusate se mi intrometto in questa discussione ormai vecchia, ma l'ho notata solo ora.
Questo quesito dell'orso mi ha sempre fatto ragionare molto, la soluzione classica non mi è mai sembrata molto completa, nel senso che mi lascia aperti molti dubbi, per cui vorrei approffittare della possibilità di discutere del problema con altre persone che l'hanno già affrontato.
Ma ora veniamo al punto.
Il dubbio più grosso è sul come interpretare "andare per 1 miglio verso est dopo essere andati a sud". Cosa vuol dire andare verso est? Ho pensato a due possibili interpretazioni:

1) Andare verso est vuol dire girare a sinistra di 90 gradi e quindi procedere tenendo sempre il nord alla propria sinistra.
In questo caso non vedo la necessità di tirare in ballo la geometria non euclidea. Infatti anche su un piano se parto da un punto, mi allontano di un miglio, giro a sinistra di 90 gradi e avanzo di un miglio tenendo il punto di origine sempre alla mia sinistra, giro ancora di 90 gradi a sinistra e avanzo di un'altro miglio, mi ritrovo al punto di partenza. Questo perché avanzare tenendo il punto di partenza sempre a sinistra vuol dire girarci intorno mandenendosi a distanza costante. Il trucco quindi non sarebbe tanto il fatto di essere su una superficie sferica, ma quello che solo partendo dal polo sud "andare a est" coincide con "tenere il punto di partenza sempre alla proria sinistra".

2) Andare verso est vuol dire girare a sinistra di 90 gradi e procedere quindi in linea retta.
In questo caso la cosa non funziona nemmeno al polo! Ora io al polo non ci sono mai stato Smile, ma essendo la terra rotonda mi aspetto che le cose non siano tanto diverse da come sono qui dove con un movimento del genere non si torna al punto di partenza, in quanto nella geometria euclidea con due angoli di 90 gradi non si può avere un triangolo e la geometria euclidea è comunque una valida approssimazione per brevi distanze come è quella di un miglio. Se invece si va su distanze maggiori e si tiene in considerazione la curvatura della terra, mi pare che comunque per formare un triangolo con due angoli di 90 gradi bisogni arrivare all'equatore (ovvero il primo e l'ultimo tratto devono avere una lunghezza pari ad 1/4 di circonferenza)!
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emilio.roda
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MessaggioInviato: 05 Gen 2006 23:09    Oggetto: Rispondi citando

Vorrei poter dire "Andare verso est significa prendere una bussola, guardare dov'e' il nord, guardare dov'e' l'est e dirigersi in quest'ultima direzione". Ma nei pressi del polo nord non va bene... il polo magnetico e' diverso dal polo geografico.

Allora vorrei poter dire "Andare verso est significa aspettare il mattino e guardare dove sorge il sole, e dirigersi in quella direzione". Ma se siamo al polo nord ed e' notte... Wink
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ulisse
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MessaggioInviato: 06 Gen 2006 02:05    Oggetto: Rispondi citando

Beh, per enunciare l'enigma e per risolverlo non è necessaria la geometria non euclidea. Ma risulta indispensabile tirrla in ballo insieme alla geometria differenziale nel momento in cui si parla di trasporto parallelo e di triangoli con somma degli angoli interni superiore a 180°.

Aggiungo che per potersi cimentare nella risposta è anche necessario accettare un po' di imprecisioni e di approssimazioni quali quelle evidenziate da tar che si chiede cosa significhi "andare a est" e da emilio che tentando di dare una risposta rigorosa si accorge che è impossibile.

In effetti l'unico modo per mantenere rigore è quello di mettersi su una sfera e la terra è una sfera solo in prima approssimazione (in seconda è un ellissoide, in terza un geoide, in quarta un geoide rugoso e butterato).

Assolutamente dobbiamo dimenticarci del polo nord magnetico che non coincide con quello geografico e, tra l'altro, si sposta.

Quindi dimentichiamoci della Terra e mettiamoci su una sfera sulla quale abbiamo indicato due punti preferenziali, diametralmente opposti uno rispetto all'altro, che chiamiamo polo nord e polo sud.

Già che ci siamo buttiamo giù anche qualche meridiano e qualche parallelo.

A questo punto andare verso nord o verso sud significa muoversi lungo un meridiano (nel verso opportuno) mentre andare verso est o verso ovest significa muoversi lungo un parallelo (sempre nel verso opportuno).

Mi pare che con queste convenzioni il testo dell'enigma perda ogni ambiguità ma anche un bel po' di fascino.

Infatti in tale ambientazione l'enigma andrebbe rienunciato così: "esistono dei punti su una sfera polare ai quali si può fare ritorno percorrendo un meridiano verso sud poi un parallelo (ad es. in senso antiorario) e infine ancora un meridiano ma verso nord coprendo un miglio per ogni tratta?"

Direi che grosso modo l'interpretazione 1) data da tar si ritrovi in quanto da me appena scritto.

Invece riflettendo sulla'interpretazione 2) mi sono reso conto che devo fare qualche verifica.
Innanzi tutto devo verificare se su una sfera i triangoli sono solo quelli i cui lati coincidono con archi di cerchi massimi o se anche un arco di parallelo (che non sia l'equatore) ben si presta a fungere da segmento (ora come ora mi verrebbe da dire di no).
Poi devo verificare se effettivamente solo i triangoli con base sull'equatore e vertice opposto alla base in uno dei due poli sono triangoli rettangoli oppure no.
Infine, appurato se gli archi di parallelo sono segmenti, devo verificare quale angolo essi formano con un qualsiasi meridiano...

Appena avrò acquisito nuovi elementi vi aggiornerò.
Ciao
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king
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MessaggioInviato: 05 Nov 2013 14:57    Oggetto: Rispondi citando

CI SONO INFINITI PUNTI POSSIBILI. MA IN TAL CASO L'ORSO E' NECESSARIAMENTE NERO.
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madvero
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MessaggioInviato: 06 Nov 2013 03:29    Oggetto: Rispondi citando

???
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king
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MessaggioInviato: 06 Nov 2013 14:00    Oggetto: Rispondi

PRENDI IL PARALLELO LUNGO 1 MIGLIO NELL'EMISFERO SUD.
PARTENDO DA UN QUALUNQUE PUNTO DI QUESTO PARALLELO ADESSO VAI UN MIGLIO A NORD.
QUESTO E' IL PUNTO DI PARTENZA DEL NOSTRO CACCIATORE.
ANDANDO UN MIGLIO A SUD ARRIVI AL PARALLELO IN QUESTIONE; ADESSO CON UN MIGLIO AD EST FAI IN PRATICA TUTTO IL GIRO DEL PARALLELO RITORNANDO ALLO STESSO POSTO. ADESSO UN MIGLIO A NORD E RITORNI ALL'IDENTICO PUNTO DI PARTENZA.
LO STESSO PROCEDIMENTO PUO' ESSERE FATTO CON UN PARALLELO LUNGO MEZZO MIGLIIO O un QUARTO DI MIGLIO ECC:
BASTA ESSERE NELL?EMISFERO SUD E LI ORSI BIANCHI NON CE NE SONO
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