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I cilindri di Archimede
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Autore Messaggio
Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 06 Apr 2010 18:43    Oggetto: I cilindri di Archimede Rispondi citando

Due cilindri circolari si intersecano ad angolo retto.
Se ogni cilindro ha raggio unitario, qual è il volume della figura solida comune ai due cilindri, quella che nel disegno, per intenderci, risulta ombreggiata?



P.S:: questo problema, apparentemente irrisolvibile senza un’adeguata conoscenza del calcolo superiore, fu in realtà brillantemente scardinato da Archimede, in virtù di alcune ingegnose osservazioni, che, ritengo, siano alla nostra portata. Wink
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pibe81
Comune mortale
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Registrato: 12/11/05 14:23
Messaggi: 9

MessaggioInviato: 14 Apr 2010 16:31    Oggetto: Rispondi citando

Allora, mi sono accorto che la soluzione del quesito non è ancora pubblicata, così approfitto per proporre la mia:

Citazione:

Allora, guardando la figura intersecata nello spazio, sugli assi x,y,z, con y e z assi parallele ai 2 assi dei cilindri, abbiamo queste proiezioni:

sul piano xz: x^2 + z^2 = 1
e sul piano xy: x^2 + y^2 = 1

da queste due equazioni, possiamo ricavare la regione interna alla figura, che è descritta così:
x^2 + z^2 <= 1
x^2 + y^2 <= 1 , ovvero: -sqrt(1-x^2) <= y <= sqrt(1-x^2)

ora chiedo scusa perché non so come raffigurare gli integrali. Assumiamo che "int(-1,1,x,dx)" significhi "integrale tra -1 e 1 di x in dx".

Ecco come esprimerei il volume di questa figura:

V = int(-1,1,int(-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2),2*sqrt(1-x^2),dz),dx)
= int(-1,1,4*(1-x^2),dx) = 16/3

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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 15 Apr 2010 10:30    Oggetto: Rispondi citando

ciao pibe! Very Happy

impeccabile la tua soluzione, che conferma quanto Archimede, vissuto secoli prima di Riemann e Lebesgue, era riuscito a determinare, grazie a già citate ingegnose intuizioni, alla nostra portata...e anche alla mia, che gli integrali non so fare più Crying or Very sad

la tua abilità ci sarà utile, credo, nel prosieguo, quando, risolto per via "Archimedea" (senza integrali...espliciti) il quesito aggiungerò un terzo cilindro.

rimane l'invito, che rivolgo anche a te, a scovare una soluzione "intuitiva" e "giocosa"...ti (vi) aspetto! Wink
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 13 Mag 2010 19:09    Oggetto: Rispondi citando

un hint per la soluzione intuitiva Rolling Eyes
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aldorote
Eroe in grazia degli dei
Eroe in grazia degli dei


Registrato: 01/06/07 13:33
Messaggi: 129

MessaggioInviato: 25 Mag 2010 10:19    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
un hint per la soluzione intuitiva Rolling Eyes


mi butto Very Happy
Citazione:

la serie dei cerchi inscritta nella serie dei quadrati che presenti nell'hint ha raggio massimo uguale a quella dei cilindri (raggio = r), quindi area = pi*r^2
il quadrato massimo ha un'area pari a 4r^2
il rapporto tra le 2 aree è quindi 4/pi
la somma di tutti i cerchi costituisce una sfera di volume (4/3)*pi*r^3
la somma di tutti i quadrati dovrebbe avere un volume pari a 4/pi volte il volume della sfera, quindi (16/3)*r^3
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Salmastro
Dio minore
Dio minore


Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 25 Mag 2010 10:49    Oggetto: Rispondi

aldorote ha scritto:
salmastro ha scritto:
un hint per la soluzione intuitiva Rolling Eyes


mi butto Very Happy
Citazione:

la serie dei cerchi inscritta nella serie dei quadrati che presenti nell'hint ha raggio massimo uguale a quella dei cilindri (raggio = r), quindi area = pi*r^2
il quadrato massimo ha un'area pari a 4r^2
il rapporto tra le 2 aree è quindi 4/pi
la somma di tutti i cerchi costituisce una sfera di volume (4/3)*pi*r^3
la somma di tutti i quadrati dovrebbe avere un volume pari a 4/pi volte il volume della sfera, quindi (16/3)*r^3


e fai benissimo! perfetto! Very Happy complimenti

P.S.: sembrerebbe che con metodi che esulano dall'analisi matematica, cioè con un po' di geometria elementare ed un minimo di intuizione, si possa risolvere anche il caso in cui siano 3 i cilidri che si intersecano vicendevolmente, in modo ortogonale.
Io, onestamente, non ci sono riuscito Embarassed
ci vuol provare qualcuno?
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