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* Orologi e lancette affilate
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Autore Messaggio
Zeus
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MessaggioInviato: 12 Gen 2010 21:52    Oggetto: * Orologi e lancette affilate Rispondi citando

Trovate tutti gli orari in cui vengono soddisfatte contemporaneamente le seguenti condizioni:

1) in un orologio analogico, la lancetta dei secondi è la bisettrice dell'angolo formato dalla lancetta dei minuti e da quella delle ore.

2) in un orologio digitale hh:mm:ss (con hh da 00 a 23), l'ora visualizzata è palindroma.
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Salmastro
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MessaggioInviato: 13 Gen 2010 16:09    Oggetto: Re: Orologi e lancette affilate Rispondi citando

zeussino ha scritto:
Trovate tutti gli orari in cui vengono soddisfatte contemporaneamente le seguenti condizioni:

1) in un orologio analogico, la lancetta dei secondi è la bisettrice dell'angolo formato dalla lancetta dei minuti e da quella delle ore.

2) in un orologio digitale hh:mm:ss (con hh da 00 a 23), l'ora visualizzata è palindroma.


Richiesta precisazioni:

1) per quanto non detto, le lancette hanno tutte un movimento "continuo" (non a scatti), vero?

2) ora palindroma, ovviamente, nel senso che si legge lo stesso numero sia da sinistra verso destra che viceversa?
...per cui la lettura "specchiata" (mettere l'orologio allo specchio e verificare se l'ora che fornisce l'orologio immagine è la stessa dell'orologio reale) è un altro problema, vero?
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Zeus
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MessaggioInviato: 13 Gen 2010 19:06    Oggetto: Rispondi citando

1) sì, movimento continuo

2) sì, si legge lo stesso numero da sinistra a destra... l'ora specchiata è un altro caso Smile
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Sir Jo
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MessaggioInviato: 17 Gen 2010 15:15    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:
Provo con la più facile, ovvero quella sull'orologio digitale: 138 ore palindrome?
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Salmastro
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MessaggioInviato: 17 Gen 2010 17:20    Oggetto: Rispondi citando

Sir Jo ha scritto:
Citazione:
Provo con la più facile, ovvero quella sull'orologio digitale: 138 ore palindrome?


a me ne vengono

Citazione:
solo 96...cerco le altre 44...sebbene sia convinto che il numero sia multiplo di 6...


per quello difficile, ci sto pensando Rolling Eyes Embarassed
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Sir Jo
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MessaggioInviato: 18 Gen 2010 10:10    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:

a me ne vengono
Citazione:
solo 96...cerco le altre 44...sebbene sia convinto che il numero sia multiplo di 6...


per quello difficile, ci sto pensando Rolling Eyes Embarassed


Citazione:
Ovviamente hai ragione su 96, il mio ragionamento di base era corretto (anche io ho subito ragionato sul multiplo di 6), ma nella fretta di rispondere Embarassed ho considerato anche le ore che non possono avere un inverso nei secondi come le hh 19 cui ovviamente non corrisponde ss 91)
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Scrigno
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MessaggioInviato: 20 Gen 2010 00:12    Oggetto: Re: Orologi e lancette affilate Rispondi citando

zeussino ha scritto:
Trovate tutti gli orari in cui vengono soddisfatte contemporaneamente le seguenti condizioni:

1) in un orologio analogico, la lancetta dei secondi è la bisettrice dell'angolo formato dalla lancetta dei minuti e da quella delle ore.

2) in un orologio digitale hh:mm:ss (con hh da 00 a 23), l'ora visualizzata è palindroma.


Riguardo al primo quesito:
Citazione:

Facendo le dovute considerazioni sono arrivato alla formula ma non alla sua risoluzione; Sorry. Sad

In un orologio analocico la lancetta dei secondi si muove comunque a scatti ed il numero di scatti che compie per fare un intero giro è determinato dalla tecnologia utilizzata. Supponiamo, nel nostro caso, che faccia uno scatto per secondo.
La lancetta dei minuti e quella delle ore, anche loro si muovono a scatto, di brevi spazzi ad ogni scatto della lancetta dei secondi.
Tutte le lancette in esame hanno, ovviamente, un andamento lineare.
Considerando che i secondi sono 60 in un angolo giro dell' orologio possiamo dire che ad ogni scatto(secondo) la nosta lancetta dei secondi compie 6 Gradi per un complessivo angolo giro di 6° * 60s = 360°
Analogamente farà la lancetta dei minuti e quella delle ore.

Ora; Considerando che ogni 3600 scatti/secondi la lancetta delle ore avanza di 30° (1/12 dell'intero giro nell' orologio) possiamo affermare che ad ogni scatto di quei 3600 complessivi l'ora avanza di 360°/3600/12 = 0,008(3)°
Allo stesso modo; I minuti avanzeranno di 1/60 per ogni minuto quindi 360°/60minuti/60volte al minuto =0,1°

Dopo queste considerazioni riesco a determinare l' angolo tra il mezzo giorno ed una qualsiasi delle tre lancette (l'angolo che parte dal mezzo dì e copre in senso orario il quadrante fino ad incontrare la lancetta)

Le tre lancette sottenderanno quest'angolo:

ORE = 30°h + 60 * 0.008(3)°m + 0.008(3)°s
---->= 30°h + 0.5°m + 0.008(3)°s
MINUTI = 6°m + 0.1°s
SECONDI = 6°s

OK... Se non mi sono perso dovremmo avere tutto quello che ci serve.

#1
Determiniamo l'angolo tra ore e minuti sottraendo l'uno all' altro e ponendolo sempre positivo
ORE° - MINUTI°
(30°h + 0.5°m + 0.008(3)°s)-(0.6°m +0.1°s)

Lo stesso valore (e dopo si capirà il perchè della scelta di questa formula piuttosto della prima sopra), lo si ottiene anche facendo la media fra i due valori:

(ORE° + MINUTI°)/2
[(30°h + 0.5°m + 0.008(3)°s)+(0.6°m +0.1°s)]/2

Il valore appena trovato dovrà essere l'angolo sotteso dalla lancetta dei secondi. Quindi:
[(30°h + 0.5°m + 0.008(3)°s)+(0.6°m +0.1°s)]/2 = 6°s

... oltre non riesco ancora ad andare. Spero che il ragionamento sia comunque giusto.



RE-EDIT

Quanto riguarda la palindromità:

Avendo l' ora così composta: Hh:MmSs con ore da 00 a 23

Citazione:
E dovendo avere:
H = s
h = S
m = m

avremmo:
H=s ={0,1}
h=S ={0,1,2,3,4,5}
M=m={0,1,2,3,4,5}
+
H=s ={2}
h=S ={0,1,2,3}
M=m={0,1,2,3,4,5}

2*6*6 + 1*4*6 = 72 + 24 = 96 palindromOre

E se non ho sbagliato:

#1 - il ragionamento visto sopra
#2 - la compilazione del foglio di calcolo
#3 - le formule riportate sul foglio di calcolo

L'unico risultato valido è:
00:00:00
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Salmastro
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MessaggioInviato: 20 Gen 2010 13:04    Oggetto: Rispondi citando

sì, sul quesito 2 siamo tutti d'accordo!

Citazione:
in sostanza, si tratta di quegli orari che hanno i minuti individuati da numeri con le due cifre uguali, vale a dire 00 11 22 33 44 55 (e sono sei), nonchè il numero dei secondi tali da ottenere ore valide.

vale a dire, per le ore, 0X, con X da 0 a 5 (secondi ralativi della forma X0),
nonchè 1X (X da 0 a 5) e 2X (X da 0 a 3)
in tutto 6+6+4=16, che moltiplicato per 6 (cfr. minuti) dà l'unanime risultato di [b 96[/b]


per quanto riguarda il #1, e mi riferisco al post di Scrigno, credo che Zeussino avesse esplicitamente precisato che il movimento delle lancette è "continuo", non a scatti Crying or Very sad
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Scrigno
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MessaggioInviato: 21 Gen 2010 00:25    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:


per quanto riguarda il #1, e mi riferisco al post di Scrigno, credo che Zeussino avesse esplicitamente precisato che il movimento delle lancette è "continuo", non a scatti Crying or Very sad


Forse Sal sto dicendo la solita castroneria però azzarderei:

Citazione:
Il fatto che io non abbia tenuto conto di un valore Reale del tempo non implica che la formula sia sbagliata.
Nella forma hh:mm:ss:
ogni h varrà 30°
ogni m varrà 6°
ogni s varrà 6°
e le lancette avranno un valore in gradi formato dalle formule sopra.
Per avere una formula lineare nel tempo e non quantizzata [scusate i termini], masta porre l'ora: hh:mm:ss,r
e nella formula utilizzare quel virgola qualche cosa nel valore dei secondi.
Cioè; al posto di:
0.008(3)° * s
avremo
0.008(3)° *s,r

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Zeus
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MessaggioInviato: 21 Gen 2010 00:26    Oggetto: Rispondi citando

se il movimento fosse a scatti di 1 secondo, cosa cambierebbe?
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Scrigno
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MessaggioInviato: 21 Gen 2010 00:35    Oggetto: Rispondi citando

zeussino ha scritto:
se il movimento fosse a scatti di 1 secondo, cosa cambierebbe?


MAZEUS!!!

C'ho appena scritto un papiro considerando quello che hai appena chiesto... e, comunque sono dell' idea che non importa perchè credo che la formula sia adeguata anche se non si QUANTIZZA il tempo...

...
Mi ppiacerebbe avere un aiutino per poter continuare la ricerca della soluzione Razz


RE-Edit

Citazione:
Come al solito sapevo che qualcosa non andava e qualcosa l' ho trovato proprio oggi mentre andavo al lavoro e ripensavo a sto maledetto orologio...

Il fatto che la lancetta dei secondi giri molto più velocemente deel ore e dei minuti fa si che passi molte volte tra un valore che è minore ed un valore che è maggiore di quello della bsettirce. Di fatto è bisettrice un sacco di volte Sad
Per intenderci:
partendo dall' ora OO:oo:oo,o la lancetta delle ore, dei minuti e dei secondi ha lo stesso valore di gradi e quindi i secondi sono bisettrice delle ore e dei minuti... Tralasciando il momento successivo che non ho nemmeno l coraggio di prendere in consierazione passiamo a quando la lancetta delle ore avrà compiuto un pò di strada, quella dei minuti avrà compiuto un pò di strada in più e quella dei secondi avrà fatto un giro completo più quel tratto tra la lancetta delle ore e quella dei minuti... In quel tratto i secondi, se si ragiona in continua, dovranno PER FORZA passare da un angolo minore della bisettrice ad un angolo maggiore PASSANDO per la bisettrice... E così ad OGNI giro...
UAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAH! Sad

dove mi perdo? Brick wall Brick wall Brick wall Brick wall Brick wall
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MessaggioInviato: 28 Gen 2010 12:09    Oggetto: Rispondi

Non nascondo che il problema, con tre lancette, sia estremamente sfuggente, perché, a differenza di quanto accade in un più facile quesito (quello in cui si chiede quando le due lancette di ore e minuti si sovrappongono), stavolta le uguaglianze “modulari” sono due e non solo una…

Metto di seguito la mia idea:

Citazione:
per prima cosa, per meri motivi di scrittura mi consentirete di indicare il “pigreco” semplicemente con P…
poi, considererò le velocità angolari delle lancette in radianti al minuto, per cui (indicando con Ws, Wm e Wh le velocità angolari delle lancette dei secondi, dei minuti e delle ore) si avrà:

Ws = 2P; Wm = P/30; Wh = P/360

All’istante generico t, le varie lancette avranno percorso questi angoli (che indico con S, M, H)
S = 2Pt; M = (P/30)t ; H = (P/360)t
Mentre la bisettrice fra ore e minuti è data da B = ½(M +H), che la congruenza modulare è opportuno scrivere come B = ½(M + H) + 2kP (k intero >= 0)

La condizione imposta dal quesito si avrà quando l’angolo M sarà uguale all’angolo B, ancora una volta a parte un fattore modulare, pari a 2kP. Vale a dire, riscrivendo quanto detto:

2Pt – 1/2*[(P/30)t + (P/360)t + 2kP] = 2kP

Risolvendo, otteniamo che il tempo (espresso in minuti) è dato da t = (720/1427)*k
ovvero, esprimendolo in secondi t = (43200/1427)*k, con k tale che 0<=k<=1426: da 1427 in poi il ciclo ricomincia, ché 720 sono i minuti delle 12 ore del ciclo delle lancette (e 43200 i secondi)
In sostanza, la situazione per cui S è bisettrice di M ed H si realizza 1427 volte ogni 12 ore.

rimane il problema che, così facendo, otteniamo le bisettrici non solo degli angoli convessi, ma anche degli angoli concavi e, onestamente, al momento non so come fare per andare avanti su questa strada…posso solo dire di aver trovato un video su “titubo”, al quale ahimè mancano gli ultimi secondi e dove si parla di 713 eventi. Lo posto fuori quote.




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