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ulisse
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 18:17    Oggetto: Rispondi citando

Taifu ha scritto:
Nella realtà il direttore è obbligato a dare dei numeri che, per quanto grandi, non possono essere infiniti e può anche dire un numero non intero ma non me lo vedo che scrive un numero decimale infinito su una schiena "finita".


Eheh...Taifu... lavori troppo col pc!
Dimentichi che nella realtà nessuno usa la notazione decimale per descrivere un numero irrazionale.

Ad esempio RAD(2) è irrazionale e la sua notazione decimale è costituita da una sequenza infinita di decimali ma, come vedi, bastano 6 byte per descriverlo esattamente!
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ulisse
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 18:33    Oggetto: Rispondi citando

_L_ ha scritto:
se i numeri sono assegnati indipendentemente e con probabilità uniforme, allora la probabilità che la somma sia < di N è inferiore a 1/K

Vero
_L_ ha scritto:
la somma non ha densità uniforme

Vero
_L_ ha scritto:
se i numeri sono assegnati indipendentemente e con probabilità uniforme, allora la probabilità che la somma sia < di N è inferiore a 1/K, perché la somma non ha densità uniforme

Detta così è falsa.
Il concetto che volevi esprimere è vero ma non basta la non uniformità della somma.
Il tuo ragionamento si basa sul fatto che la densità della somma di distribuzioni uniformi "sta sotto" all'uniforme nelle code e "sta sopra" al centro.
Ma non è detto che una distribuzione non uniforme abbia per forza una forma a campana!

Nel caso specifico è vero (se non ricordo male la somma di uniformi si chiama "triangolare" dovrei consultare un testo a pochi metri da me ma non ho voglia di alzarmi! Embarassed ).
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ulisse
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 19:22    Oggetto: Re: una possibilità per il Primo Rispondi citando

salmastro ha scritto:
il perfido tiranno, inteneritosi, ha deciso di dare una possibilità a Primo (siamo nel caso di numeri qualsiasi scritti sulle spalle dei condannati) e gli fa svolgere un preliminare.
Così scrive su 10 foglietti (ovviamente adesivi) 10 numeri, fra loro diversi. Li mescola, li pone a faccia in giù, poi Primo li scopre uno alla volta e sospende quando ritiene che l'ultimo numero scoperto sia il maggiore della serie. Non può prenderne uno precedente e se si scoprono tutti i foglietti il numero scelto è l'ultimo.
Se Primo indovina, quelli saranno i dieci numeri attaccati sulle spalle dei condannati, lui compreso, altrimenti il maligno despota scarta il numero indicato da Primo, attacca gli altri nove agli altri nove sodali e a Primo ne attacca un ulteriore altro (reale qualsiasi, scelto a caso), ritornando in sostanza alla vecchia situazione di partenza.
Poichè Primo è persona onesta, per cui se sbaglia nel preliminare continuerà a seguire nel prosieguo la corretta strategia, ma, se invece nel preliminare ci azzecca, l'istinto di conservazione umanamente prevarrà, qual è la probabilità che i Nove si salvino?

Salmastro

Qualunque sia la natura delle precisazioni (mancano un po' di informazioni) la probabilità richiesta non può essere calcolata in quanto dipende da eventi (la scelta preliminare di Primo) tutt'altro che casuali.

Supponiamo, per aggirare l'ostacolo che i ragionamenti vengano condotti dai Nove i quali, non conoscendo la strategia di Primo, possono considerare a tutti gli effetti la sua scelta casuale.
Con che distribuzione tra indovina/non indovina?
50%/50% ?
10%/90% ?

Tale distribuzione è a tutti gli effetti incognita e quindi la risposta, basandosi su questa distribuzione incognita, non può essere individuata.

L'unico modo per poter dare una risposta è quello di modificare lo svolgimento dei preliminari.
Primo deve scegliere a caso un foglietto tra dieci.
In questo modo la probabilità che azzecchi può essere calcolata ma il quesito diventa banale (i Nove si salvano con probabilità del 99% indipendentemente dalla conoscenza dell'esito dei preliminari)
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 19:55    Oggetto: Rispondi citando

in realtà, quello da me proposto è il vecchio gioco del "googol" di GM, come sgamato da Taifu.
In quella situazione (10 foglietti compilati di nascosto, con numeri qualsiasi, fra loro diversi) Primo, con l'iter da me descritto e citato da Ulisse, "ha" una probabilità non nulla di indovinare qual è fra i 10 quello più alto, P, che, fra parentesi, al minimo è del 10%!
Precisato che Primo non può comunicare ai Nove se ha vinto o meno il preliminare (altrimenti vale l'astutissima osservazione di Taifu), se Primo ha probabilita P di salvarsi, allora i Nove avrebbero (1-P) probabilità di salvezza (almeno credo).
Da cui il mio quesito su quanto valga (1-P)
Spero di aver chiarito il mio pensiero.
Ciao
Salmastro

P.S.: in un mio precedente post avevo indicato come il Vecchio (più furbo che saggio) avesse stabilito l'identità di Primo...
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ulisse
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 22:18    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
in realtà, quello da me proposto è il vecchio gioco del "googol" di GM, come sgamato da Taifu...


Insisto, certo delle mie ragioni.
Seguendo la strategia ottimale, la probabilità che Primo azzecchi il massimo tende a 1/e al crescere del numero n di foglietti.

Il problema, noto come the secretary problem o come the sultan's dowry problem rientra nell'ambito della teoria dei giochi.

Ripeto. Senza dichiarare la strategia adottata da Primo non è possibile fare previsioni probabilistiche sull'esito dei suoi tentativi.
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 23:59    Oggetto: Per Ulisse Rispondi citando

...ovviamente, Primo conosce la Teoria dei Giochi e segue la strategia ottimale.

Salmastro
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MessaggioInviato: 01 Feb 2007 00:08    Oggetto: Re: Per Ulisse Rispondi citando

salmastro ha scritto:
...ovviamente, Primo conosce la Teoria dei Giochi e segue la strategia ottimale.

Salmastro


ovviamente...

TapTap
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Salmastro
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MessaggioInviato: 01 Feb 2007 11:45    Oggetto: Re: una possibilità per il Primo Rispondi citando

ulisse ha scritto:

Qualunque sia la natura delle precisazioni (mancano un po' di informazioni) la probabilità richiesta non può essere calcolata in quanto dipende da eventi (la scelta preliminare di Primo) tutt'altro che casuali.

Supponiamo, per aggirare l'ostacolo che i ragionamenti vengano condotti dai Nove i quali, non conoscendo la strategia di Primo, possono considerare a tutti gli effetti la sua scelta casuale.
Con che distribuzione tra indovina/non indovina?
50%/50% ?
10%/90% ?

Tale distribuzione è a tutti gli effetti incognita e quindi la risposta, basandosi su questa distribuzione incognita, non può essere individuata.

L'unico modo per poter dare una risposta è quello di modificare lo svolgimento dei preliminari.
Primo deve scegliere a caso un foglietto tra dieci.
In questo modo la probabilità che azzecchi può essere calcolata ma il quesito diventa banale (i Nove si salvano con probabilità del 99% indipendentemente dalla conoscenza dell'esito dei preliminari)


a costo di continuare a fare il Tafazzi, quello che volevo dire ma non sono riuscito a ben argomentare (e non so se ha molto senso), è che Primo, col preliminare, si ritaglia una probabilità (P) interessante di salvezza (un po' meno di 1/e, più del 10%), usando, nel preliminare la strategia migliore, che lui conosce.
Se ha indovinato (lui vuole vivere!!!) pronuncerà il suo numero e si salva;
se ha sbagliato nel preliminare, seguirà la stranota strategia di salvezza per gli altri Nove.
Ed ecco la mia curiosità:
I Nove non sanno l'esito del preliminare, ma sanno che Primo si comporterà come sopra.
In questo caso è vero che la probabilità di salvezza dei Nove è (1-P), se no, perchè?

Salmastro

P.S.: non ho compreso, colpa mia, la chiusa della citazione di Ulisse.
E cioè il 99%, che capisco esser dato da 1-(1/10)^2 , ma mi ingarbuglio nel ragionamento: sarà banale, ma help me!!!
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ulisse
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MessaggioInviato: 05 Feb 2007 10:21    Oggetto: Rispondi

Allora. Innanzi tutto ripassiamo le regole per precisare che a Primo non basta azzeccare il massimo per avere salva la vita.

A Primo vengono esibiti in sequenza dieci bigliettini recanti, ognuno un numero reale qualsiasi (se preferite intero positivo qualsiasi va bene ma non cambia nulla: la probabilità - uniforme - di beccare un numero tra infiniti numeri è comunque zero).

Quando Primo, secondo una sua strategia non determinata a priori, crede di avere di fronte il massimo tra i dieci numeri, interrompe la procedura.

Se il numero è effettivamente il massimo, i dieci bigliettini verranno appiccicati alle schiene dei condannati.

Supponiamo che questo capiti al k-esimo bigliettino.
Allora Primo conoscerà il contenuto di k degli n bigliettini (qui n=10).
Se tutti e k finiscono sulle schiene dei Nove, primo è comunque fottuto perché non sa quale numero ha sulla sua schiena.
Viceversa si salva.

Se Primo non indovina il massimo allora è fottuto comunque.

Supponiamo che la strategia adottata da Primo per l'individuazione del massimo abbia probabilità P di successo e ciò avvenga al k-esimo bigliettino estratto.

La probabilità che sulla sua schiena finisca uno dei bigliettini visionati (garantendo a Primo la vita) è dunque k/n.

Pertanto la probabilità di sopravvivenza di Primo è Pk/n e, conseguentemente, quella di sopravvivenza dei Nove è 1 - Pk/n.

Se Primo decide di scegliere un bigliettino a caso senza guardare allora P=0.1 e k=1 da cui la sua probabilità di sopravvivenza è dell'1%.

Se P sceglie la strategia ottimale allora P tende a 1/e e la sua probabilità di sopravvivenza tende a k/10e.

Se Primo adotta invece la seguente strategia suicida (di peggiori non me ne sono venuti in mente): osservare la sequenza di bigliettini e scegliere il primo numero inferiore al precedente, le probabilità di azzeccare il massimo si riducono al solo caso sfortunato (dal punto di vista di un aspirante suicida) in cui i numeri vengono esibiti in sequenza ordinata dal più piccolo al più grande.
Ciò può capitare solo in un caso su n! casi possibili (tanti quanti le permutazioni di n oggetti).
Quindi con tale strategia suicida la probabilità P di azzeccare il massimo scende a 1/10!
Poiché se il massimo viene azzeccato ciò avviene solo con l'ultimo bigliettino (k=10), Primo ha visto tutte e dieci i numeri. Quindi la sua probabilità di sopravvivenza con tale strategia suicida resta 1/10!

Se abbiamo n condannati allora possiamo dire che al crescere di n la probabilità di sopravvivenza varia tra un minimo che tende a 0 e un massimo che tende a 1/e.

Per chiudere manca solo una cosa: ai Nove non serve a nulla conoscere l'esito dei preliminari perché, in ogni caso, se Primo ha azzeccato il massimo, non collaborerà con essi. Quindi a loro non resta che considerare il numero dichiarato da Primo come utile per la loro sopravvivenza.

Altra storia se la richiesta non è di salvare i Nove tutti insieme ma di garantire il massimo numero di sopravvissuti...
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