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* QUIZ: I dodici fiammiferi
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Autore Messaggio
ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 18 Mar 2006 21:30    Oggetto: * QUIZ: I dodici fiammiferi Rispondi citando

Ammesso che i fiammiferi siano di lunghezza unitaria, è possibile disporre dodici fiammiferi su un piano in modo da formare vari tipi di poligoni che abbiano area a valori interi.
Ad esempio, il quadrato in figura ha area pari a 9 mentre la croce ha area pari a 5. Sapreste disporre i dodici fiammiferi in modo da formare un poligono di area 4?
Niente trucchi, fiammiferi rotti o altro.
La soluzione non è unica ma, anzi, ce ne sono tante. Trovatene almeno un paio!

Qual è la massima area possibile (non intera) e quale poligono ottenuto con i dodici fiammiferi la realizza?
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madvero
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 16:19    Oggetto: Re: * QUIZ: I dodici fiammiferi Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Sapreste disporre i dodici fiammiferi in modo da formare un poligono di area 4?
vale?
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madvero
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 16:29    Oggetto: Re: * QUIZ: I dodici fiammiferi Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Qual è la massima area possibile (non intera) e quale poligono ottenuto con i dodici fiammiferi la realizza?
vale?
(risposta con domanda annessa)
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Benny
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 17:08    Oggetto: Re: * QUIZ: I dodici fiammiferi Rispondi citando

madvero ha scritto:
ulisse ha scritto:
Sapreste disporre i dodici fiammiferi in modo da formare un poligono di area 4?
vale?

Per questo concordo con Mad...

ulisse ha scritto:
Qual è la massima area possibile (non intera) e quale poligono ottenuto con i dodici fiammiferi la realizza?

In questo caso invece direi che è questo, con area di circa 11,25
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madvero
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 17:11    Oggetto: Rispondi citando

avevo pensato anch'io alla soluzione che hai postato tu, benny, ma quell'area mi sembra assolutamente intera... o forse con intera si intendeva "pari ad un numero intero"?
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Benny
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 17:36    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
forse con intera si intendeva "pari ad un numero intero"?

Boh, io l'avevo interpretata proprio così!
Ho una mente a volte troppo schematica, perciò le interpretazioni ne risentono!
Devo dire però che la tua capacità di estrapolare soluzioni astratte è notevole!
E con questo non volgio dire che inventi le soluzioni, ma che hai una grande capacità di vedere oltre gli schemi!
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madvero
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 19:54    Oggetto: Rispondi citando

Benny ha scritto:
Devo dire però che la tua capacità di estrapolare soluzioni astratte è notevole!
E con questo non voglio dire che inventi le soluzioni, ma che hai una grande capacità di vedere oltre gli schemi!

Squeeze Squeeze Squeeze
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ulisse
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 20:44    Oggetto: Rispondi citando

Ciao Mad! Era un po' che non ti leggevo da queste parti...
Da quando sei Mod sei diventata meno Mad... Very Happy

Poligoni, Mad, poligoni!
Nei poligoni i lati non possono incrociarsi.
Possono essere concavi, convessi, equilateri, equiangoli ma non incrociati!

La soluzione di area massima è effettivamente il dodecagono regolare proposto da Benny.
Per area intera intendevo proprio il cui valore è un numero intero.

Mi associo all'osservazione di Benny su Mad: la fantasia non ti manca!

(chissà che non arrivi anche a me qualche abbraccio... è così tanto che non sento il calore di una donna che mi accontento di quello virtuale...)
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ZapoTeX
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 22:15    Oggetto: Rispondi citando

Così può andare?

http://img352.imageshack.us/img352/407/poligono7lc.jpg

Ciao!
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Benny
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 23:56    Oggetto: Rispondi citando

Urca! Direi di si!
Visto che
Citazione:
(3*4)/2 - 2 = 4


Applause
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madvero
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MessaggioInviato: 20 Mar 2006 10:36    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Ciao Mad! Era un po' che non ti leggevo da queste parti...
Da quando sei Mod sei diventata meno Mad... Very Happy

no no, sono sempre mad uguale !!!
stai tranquillo, leggo sempre tutti i nuovi topic del tuo forum, ma quando non mi vengono idee creative non posto nulla... tutto qui !!!
e poi ultimamente ho pochissimo tempo libero...
ulisse ha scritto:
Mi associo all'osservazione di Benny su Mad: la fantasia non ti manca!

Mr. Green Mr. Green Mr. Green
ulisse ha scritto:
(chissà che non arrivi anche a me qualche abbraccio... è così tanto che non sento il calore di una donna che mi accontento di quello virtuale...)

Squeeze Squeeze Squeeze Squeeze Squeeze Squeeze Wink
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ulisse
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MessaggioInviato: 20 Mar 2006 21:48    Oggetto: Rispondi citando

ZapoTex ha scritto:
Così può andare?

http://img352.imageshack.us/img352/407/poligono7lc.jpg

Ciao!


Yessir!
Ma c'era bisogno di bruciarli quei cerini prima di disporli a poligono? Very Happy
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ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 20 Mar 2006 21:50    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
Squeeze Squeeze Squeeze Squeeze Squeeze Squeeze Wink

Embarassed Embarassed Embarassed sono commosso! Embarassed Embarassed Embarassed
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den
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MessaggioInviato: 20 Nov 2006 12:50    Oggetto: Rispondi citando

Scusate se riprendo questo post, ma il problema non mi dispiaceva:

Volevo prima fare i complimenti a Zapotex per la soluzione, che è allo stesso tempo semplice ma non banale, anzi molto ingegnosa (io non ci sarei arrivato a
Citazione:
utilizzare la nota terna pitagorica 3-4-5 con perimetro 12 e poi toglierci i 2 quadratini unitari lasciando il perimetro invariato per ottenere area 4
)

Poi (visto che tra l'altro la richiesta era almeno di 2 soluzioni) volevo suggerire
Citazione:
una parte dell'insieme dei parallelogrammi di perimetro 12, nel senso che:

basta prendere un parallelogramma di base 1 e diagonale 5, e inclinare (in pratica diminuire l'ampiezza dell'angolo acuto alla base) la diagonale stessa fino a ottenere l'altezza desiderata per ottenere area 4.

Lo stesso dicasi per un parallelogramma di base 2 e diagonale 4 e per un'altro ancora di base 3 e diagonale 3 (le coppie base-diagonale 4-2 e 5-1 sono in pratica uguali alle coppie 2-4 e 1-5, in quanto la base sostituisce la diagonale e viceversa)

Posto il calcolo nel caso di base 1 e diagonale 5:
Il perimetro è palesemente 12, qualunque sia l'angolo alla base.
Quindi l'altezza voluta dovrà essere
Altezza = Area/base = 4/1 = 4

Quindi l'angolo acuto alla base dovrà essere di ampiezza ArcSin(Altezza/Diagonale) = ArcSin(4/5) = circa 53,13°

Quindi un parallelogramma di area 4 e perimetro 12 avrà base 1, diagonale 5 e uno degli angoli alla base di circa 53,13°

Gli stessi ragionamenti sono validi anche per le altre coppie base-diagonale sopraddette ovviamente.

Spero di essermi spiegato bene, che la chiarezza non è proprio il mio forte Embarassed ...


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ulisse
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MessaggioInviato: 25 Nov 2006 07:58    Oggetto: Rispondi citando

Altro che scuse! Grazie invece per il tuo post che fornisce un gruppo di soluzioni!
Il ragionamento è chiaro e corretto! Applause
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Salmastro
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MessaggioInviato: 31 Dic 2006 13:04    Oggetto: cold case: da zero in su Rispondi citando

riprendo questo bellissimo rompicapo per segnalare che
Citazione:
in realtà si possono ottenere tutte le aree possibili, da zero, fino a quella massima legata al dodecagono regolare, con questa "semplicissima" costruzione: costruiamo, con i dodici fiammiferi, una stella a sei punte "regolare", poi, variando a piacere gli angoli delle punte (di tutte le punte) otteniamo l'area che vogliamo. Da zero a 11 e qualcosa


Naturalmente non è crusca del mio sacco, ma farina di Martin Gardner.

Auguri a tutti per un 223*3*3 pieno di piacevoli enigmi!!!

Salmastro
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ulisse
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MessaggioInviato: 06 Gen 2007 15:56    Oggetto: Re: cold case: da zero in su Rispondi

salmastro ha scritto:
Naturalmente non è crusca del mio sacco, ma farina di Martin Gardner.


Da Mg, appunto, attinsi il rompicapo.

E devo dire che, anche se ormai ho parecchie fonti a disposizione alle quali attingere per nuovi rompicapo, difficilmente MG non ne ha già parlato da qualche parte!


p.s.: e così 2007 non è primo, eh?
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