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ulisse
Dio maturo
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Residenza: Bagnone (MS)
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 Inviato: 19 Feb 2006 20:08 Oggetto: * QUIZ: le frazioni di Dudeney |
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Trovare due frazioni i cui cubi diano come somma esattamente 6.
Nonostante Adrien Marie Legendre (matematico francese del XIX secolo) abbia pubblicato una dimostrazione sull'impossibilità di trovare frazioni del genere, Henry Dudeney scoprì una soluzione in cui ogni frazione ha solo due cifre al numeratore e due al denominatore.
L'ultima modifica di ulisse il 25 Feb 2006 21:25, modificato 1 volta |
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madvero
Amministratore
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Residenza: Sono brusco con voi solo perchè il tempo è a sfavore. Penso in fretta, quindi parlo in fretta
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| Inviato: 21 Feb 2006 03:37 Oggetto: |
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non ho capito la domanda.
valgono i numeri negativi?
valgono le frazioni con numeri radicali? |
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Eugy
Eroe
Registrato: 15/01/06 02:27
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| Inviato: 21 Feb 2006 14:53 Oggetto: SOLUZIONE |
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Tanto perchè nessuno mi freghi...
Per adesso non chiedetemi il perchè. Ma lo scoprirò !
Ovviamente valgono anche le frazioni in cui numeratore e denominatore sono multipli di quelli, ovvio--> sono le stesse frazioni...
OVVIAMENTE me li sono trovati da solo, a modo mio, non li ho trovati in Internet !
Edit...
Non esistono soluzioni diverse usando i numeri da 1 a 1000 come denominatore, tranne quello già indicato.
La sua derivazione da un banale conticino sui due numeratori potrebbe NON essere casuale [den=num1-num2+1]
I due numeratori sono primi... boh... ad intuito non credo sia casuale |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 21:42
Messaggi: 19507
Residenza: Sono brusco con voi solo perchè il tempo è a sfavore. Penso in fretta, quindi parlo in fretta
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| Inviato: 21 Feb 2006 16:06 Oggetto: |
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stavolta mi hai fregato...
complimentoni !!!
ps: qua dentro nessuno googla alla ricerca di soluzioni !!!
non hai bisogno di excusatio inutili, si sa che è farina del tuo sacco !!! |
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Eugy
Eroe
Registrato: 15/01/06 02:27
Messaggi: 65
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| Inviato: 21 Feb 2006 17:41 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: |
stavolta mi hai fregato...
complimentoni !!!
ps: qua dentro nessuno googla alla ricerca di soluzioni !!!
non hai bisogno di excusatio inutili, si sa che è farina del tuo sacco !!! |
Si, ma 'sto cippo di Dudeney... che razza di mente aveva ?? |
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Daviz
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 31/01/06 17:02
Messaggi: 133
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| Inviato: 22 Feb 2006 16:45 Oggetto: |
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Scusa, ma per curiosità... la somma del cubo delle 2 frazioni di cui sopra, non mi risulta avere come risultato 6 O_o
Edit: e neanche la somma delle 2 frazioni al cubo, tra l'altro... |
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ioSOLOio
Amministratore
Registrato: 12/09/03 19:01
Messaggi: 16342
Residenza: in un sacco di...acqua
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| Inviato: 22 Feb 2006 16:50 Oggetto: |
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| Daviz ha scritto: | Scusa, ma per curiosità... la somma del cubo delle 2 frazioni di cui sopra, non mi risulta avere come risultato 6 O_o
Edit: e neanche la somma delle 2 frazioni al cubo, tra l'altro... |
il quesito chiede:
Trovare due frazioni i cui cubi diano come somma esattamente 6.
| Citazione: |
Eugy posta le due frazioni 17/21 e 37/21, infatti:
(17/21)^3 + (37/21)^3 = (4913/9261) + ( 50653/9261) = 55566/9261 = 6
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Daviz
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 31/01/06 17:02
Messaggi: 133
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| Inviato: 22 Feb 2006 22:20 Oggetto: |
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Boh, allora era impazzita la mia calcolatrice, che, inserita la frazione alla terza, mi dava altri risultati assurdi. KK  |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 02:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 24 Feb 2006 01:53 Oggetto: |
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Tra le tante pippe che si tirano i matematici c'è stata pure la seguente:
| Citazione: | | Ogni numero razionale positivo può essere espresso come somma di cubi di numeri razionali positivi. Qual è il minor numero di addendi per cui tale affermazione è vera? |
Un teorema garantisce che ogni razionale possa essere espresso come somma di tre cubi di razionali.
Se la somma si riduce a due addendi il teorema perde di generalità.
Ad esempio il numero n=3 non può essere espresso come somma di due cubi di razionali.
Il caso n=6 è quello qui proposto.
Un modo per impostare la soluzione è quello di scrivere un'equazione diofantina (che, sostanzialmente, sono equazioni algebriche con soluzioni in Q) che però presuppone che le frazioni soluzione abbiano il medesimo denominatore (ne sai qualcosa Eugy?)
Sfrugugliando su internet ho trovato questo:
| Citazione: | >>8. Solve the equation, A^3/B^3 + C^3/D^3 = 6 where A, B, C, D are all
>>positive whole numbers below 100.
>>9. A special question with a L450 prize. Either give a second solution
>>to the above equation where the four variables are all whole numbers
>>above 100 (A,B and C,D relatively prime), or demonstrate that no such
>>second solution can exists.
>Well, the first equation has the solution A=17, C=37, B=D=21. And no others
>I think in naturals below 1000. |
Uhm...  sento puzza di googlate a paletta!  |
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Eugy
Eroe
Registrato: 15/01/06 02:27
Messaggi: 65
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| Inviato: 24 Feb 2006 17:58 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | Un modo per impostare la soluzione è quello di scrivere un'equazione diofantina (che, sostanzialmente, sono equazioni algebriche con soluzioni in Q) che però presuppone che le frazioni soluzione abbiano il medesimo denominatore (ne sai qualcosa Eugy?)
Sfrugugliando su internet ho trovato questo:
| Citazione: | >>8. Solve the equation, A^3/B^3 + C^3/D^3 = 6 where A, B, C, D are all
>>positive whole numbers below 100.
>>9. A special question with a L450 prize. Either give a second solution
>>to the above equation where the four variables are all whole numbers
>>above 100 (A,B and C,D relatively prime), or demonstrate that no such
>>second solution can exists.
>Well, the first equation has the solution A=17, C=37, B=D=21. And no others
>I think in naturals below 1000. |
Uhm... sento puzza di googlate a paletta! |
NO.
Non ho googolato, come ho già detto.
Ovviamente io sono ingegnere informatico, prima che matematico, quindi intanto ho trovato la soluzione... e poi mi sono messo a ragionare su come arrivarci...
Dai miei ragionamenti ho INTUITO che il denominatore dovesse essere lo stesso, pur non conoscendo Diofanto di Alessandria (!)... e questo a causa della forma che assumevano le equazioni da me usate per generalizzare il problema, nel caso di denominatore diverso.
Quando mi sono "in....to" e sono passato a Visual Basic ( ) ... ed ho visto la soluzione, quello che prima era intuizione è diventato certezza!
Di qui a trovare la soluzione per via analitica ce ne corre...
Cmq non ho ancora googolato, perchè ci volevo picchiare ancora un po'... intanto ho un'equazione, che può essere in tre variabili intere o un'altra che ne ha due razionali (quella di partenza) volevo vedere se trovavo un modo di estrarre le soluzioni razionali, e devono essercene, e pure tante, visto che ho una curva continua...
Per quanto riguarda i primi 1000 numeri... è facile... prima ho usato excel, poi VB, un bel for next nidificato... e via ! (con l'ipotesi dello stesso denominatore, che riduce la complessità e consente velocità superiori. |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 02:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 24 Feb 2006 18:48 Oggetto: |
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Eheheh... Scusa. Volevo solo "pungolarti" un pochetto!
Per la cronaca (che io sappia): metodi risolutivi per le equazioni diofantine (o diofanteee che dir si voglia) non ne esistono se non in rarissimi casi particolari.
Addirittura la non risolubilità di x^n+y^n=z^n è oggetto dell'ultimo teorema di Fermat... |
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Daviz
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 31/01/06 17:02
Messaggi: 133
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| Inviato: 24 Feb 2006 22:11 Oggetto: |
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| Citazione: |
Per quanto riguarda i primi 1000 numeri... è facile... prima ho usato excel, poi VB, un bel for next nidificato... e via ! (con l'ipotesi dello stesso denominatore, che riduce la complessità e consente velocità superiori. |
Ehm...
Sì sì... vero... boh!  |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 21:42
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Residenza: Sono brusco con voi solo perchè il tempo è a sfavore. Penso in fretta, quindi parlo in fretta
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| Inviato: 26 Feb 2006 16:49 Oggetto: |
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io invece avevo tirato giù le diofantee giuste, e mentre le scrivevo mi picchiava in testa il numero 17...
poi mi sono accorta che quelle equazioni non le so risolvere e ho aspettato che qualcuno mi scrivesse la soluzione (preferibilmente non una chiosa a margine del testo, visto che lo spazio è piccolo e le dimostrazioni non ci stanno !!!  ) |
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