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* Figlie femmine, che problema
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dart
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MessaggioInviato: 08 Lug 2010 21:48    Oggetto: Rispondi citando

ah, ok... mi sembrava strano! (era strana la frase)

per quanto riguarda il bastoncino, credo che

Citazione:
bisogna calcoare quali sono le probabilità che almeno un pezzettino sia lungo almeno la metà del bastoncino intero.
ma ci penserò meglio...
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MessaggioInviato: 09 Lug 2010 10:29    Oggetto: Rispondi citando

dart ha scritto:
per quanto riguarda il bastoncino, credo che
Citazione:
bisogna calcoare quali sono le probabilità che almeno un pezzettino sia lungo almeno la metà del bastoncino intero.
ma ci penserò meglio...


perfetto: sei a metà dell'opera Very Happy

(il prosieguo, però, non l'ho trovato per niente banale Rolling Eyes )
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Jowex
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MessaggioInviato: 11 Lug 2010 10:55    Oggetto: Rispondi citando

Nonostante il caldo, provo a rispondere
Citazione:
Come è stato detto, affinché i tre pezzi possano formare un triangolo occorre che il maggiore sia lungo al massimo metà del bastoncino intero.
Considero un bastoncino lungo 1 e suppongo di fissare a caso il primo punto a distanza x da una estremità, con 0 < x < 1/2
Se suppongo che anche il secondo punto y venga scelto a caso con distribuzione uniforme, occorre che sia 1/2 < y < 1/2 + x, ovvero il punto y deve cadere all'interno di un segmento lungo x: quindi la probabilità è x.
Qui sotto uno schema che "dovrebbe" rappresentare il bastoncino lungo 1, il punto x scelto, e l'intervallo in cui occorre scegliere il punto y.
Il punto di mezzo del bastoncino è quello indicato con |
[0]____x___________|yyyy____________[1]
Per trovare la probabilità complessiva occorre variare x tra 0 e 1 e trovare la media. Ma per simmetria è sufficiente integrare da 0 a 1/2 e raddoppiare il risultato.
P = 2 * integrale da 0 a 1/2 (x dx) = 2*(1/2)^2/2 = 1/4
Il risultato vale se i due punti x e y vengono scelti in modo indipendente e con distribuzione uniforme su tutta la lunghezza del bastoncino.

Un procedimento alternativo che porterebbe a risultati diversi potrebbe essere quello di:
Citazione:
1. scegliere un punto x a caso e rompere il bastoncino (e potremmo anche supporre che la distribuzione non sia uniforme, dato che in pratica sarà più probabile rompere il bastoncino circa a metà)
2. scegliere a caso uno dei due pezzi risultanti (con probabilità 1/2)
3. rompere di nuovo il pezzo scelto (usando la stessa distribuzione di probabilità usata per il punto 1)

Tuttavia in questo caso i conti sarebbero un po' più laboriosi
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MessaggioInviato: 12 Lug 2010 11:39    Oggetto: Rispondi citando

Jowex ha scritto:
Nonostante il caldo, provo a rispondere
Citazione:
Come è stato detto, affinché i tre pezzi possano formare un triangolo occorre che il maggiore sia lungo al massimo metà del bastoncino intero.
Considero un bastoncino lungo 1 e suppongo di fissare a caso il primo punto a distanza x da una estremità, con 0 < x < 1/2
Se suppongo che anche il secondo punto y venga scelto a caso con distribuzione uniforme, occorre che sia 1/2 < y < 1/2 + x, ovvero il punto y deve cadere all'interno di un segmento lungo x: quindi la probabilità è x.Qui sotto uno schema che "dovrebbe" rappresentare il bastoncino lungo 1, il punto x scelto, e l'intervallo in cui occorre scegliere il punto y.
Il punto di mezzo del bastoncino è quello indicato con |
[0]____x___________|yyyy____________[1]
Per trovare la probabilità complessiva occorre variare x tra 0 e 1 e trovare la media. Ma per simmetria è sufficiente integrare da 0 a 1/2 e raddoppiare il risultato.
P = 2 * integrale da 0 a 1/2 (x dx) = 2*(1/2)^2/2 = 1/4
Il risultato vale se i due punti x e y vengono scelti in modo indipendente e con distribuzione uniforme su tutta la lunghezza del bastoncino.

Un procedimento alternativo che porterebbe a risultati diversi potrebbe essere quello di:
Citazione:
1. scegliere un punto x a caso e rompere il bastoncino (e potremmo anche supporre che la distribuzione non sia uniforme, dato che in pratica sarà più probabile rompere il bastoncino circa a metà)
2. scegliere a caso uno dei due pezzi risultanti (con probabilità 1/2)
3. rompere di nuovo il pezzo scelto (usando la stessa distribuzione di probabilità usata per il punto 1)

Tuttavia in questo caso i conti sarebbero un po' più laboriosi


non mi torna la frase cho ho grassettato nel primo "messaggio nascosto": di sicuro è un mio limite, ma se spendi qualche altra parola, magari, ci arrivo Very Happy

in ogni caso, il risultato è numericamente corretto Wink

per il caso #2, la situazione è para para quella da te prospettata!

con la soluzione "grafica" in mio possesso il risultato sarebbe immediato: è mio dovere, a brevissimo, dare un suggerimento a riguardo Very Happy
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Jowex
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MessaggioInviato: 12 Lug 2010 21:49    Oggetto: Rispondi citando

Jowex ha scritto:
Se suppongo che anche il secondo punto y venga scelto a caso con distribuzione uniforme, occorre che sia 1/2 < y < 1/2 + x, ovvero il punto y deve cadere all'interno di un segmento lungo x: quindi la probabilità è x

Per spiegarmi meglio questa volta allego una figura
Citazione:
Il primo taglio (in blu) viene fatto nel punto x, che supponiamo sia compreso tra 0 e 1/2 (il caso di x compreso tra 1/2 e 1 è simmetrico)
Affinché i 3 segmenti siano tutti minori di 1/2, il punto y deve cadere nell'intervallo in rosso:
- l'estremo inferiore è dato da 1/2 (perché se fosse scelto più a sinistra, il terzo segmento risulterebbe più lungo di 1/2)
- e l'estremo superiore è dato da 1/2+x (perché se fosse scelto più a destra, il secondo segmento risulterebbe più lungo di 1/2)
Di conseguenza il segmento rosso è lungo 1/2 + x - 1/2 = x, e dividendolo per la lunghezza del bastoncino (che é 1, se si considera nella sua interezza) si ottiene la probabilità che il punto y venga effettivamente scelto all'interno del segmento rosso


Invece per completare la soluzione con il secondo procedimento:
Citazione:
Il primo taglio genera due pezzi, supponiamo che il primo sia lungo x < 1/2 e il secondo 1-x > 1/2 (il caso contrario è simmetrico)
Se il secondo taglio viene fatto sul primo pezzo, il segmento più a destra è maggiore di 1/2 e non è possibile costruire un triangolo
Se invece il secondo taglio viene fatto sul secondo pezzo, occorre che cada nell'intervallo compreso tra 1/2 e 1/2+x (per lo stesso ragionamento fatto nel caso precedente, vedi figura)
Tuttavia in questo caso la probabilità si ottiene dividendo (1/2+x-1/2) = x per (1-x), che è la lunghezza del segmento, ovvero è x/(1-x).
Quindi la probabilità di riuscire a costruire un triangolo in funzione del primo taglio (con x<1/2) questa volta è:
P(x) = P(scegliere il pezzo più lungo dopo il primo taglio) * P(scegliere il secondo punto di taglio all'interno di un segmento lungo x) = 1/2 * x/(1-x)
Integrando per x tra 0 e 1/2 e moltiplicando per 2 il risultato (per tenere conto del caso simmetrico in cui x>1/2), si ottiene:
P=integrale da 1 a 1/2 [x/(1-x)] = [- x - ln(1-x)] = -1/2 -ln(1/2) = 0.193

In questo caso, il risultato è inferiore rispetto al caso considerato in precedenza, e mi sembra giustificabile per il fatto che la scelta del bastoncino dopo il primo taglio può portare subito all'impossibilità di costruire il triangolo.
Se c'e' una soluzione grafica sono curioso di vederla Smile
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MessaggioInviato: 13 Lug 2010 12:21    Oggetto: Rispondi citando

@ Jowex:
Perfetto: mi sono convinto della bontà della ratio legata al caso #1 e ho, infine, compreso la tua soluzione.

complimenti Applause Applause Applause

Per il caso #2 ho delle perplessità (non a caso la tua soluzione e quella in mio possesso sono discordanti).

Non ho alcuna remora nel premettere che sono assai scarso nel comparto “densità di probabilità”, ma, mi pare, che con la funzione da integrare da te indicata

Citazione:
x/ (1-x)


venga meno lo spezzare “a caso”, ché certi valori di x son più probabili di altri e non dovrebbe essere così Rolling Eyes

per quanto riguarda la soluzione grafica, eccola qui Very Happy

(N.B.: contiene, almeno, un errore di stampa…nel quartultimo rigo si legga SOLO, anziché SONO)
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MessaggioInviato: 14 Lug 2010 00:15    Oggetto: Rispondi citando

Nel dubbio ho pensato di fare una verifica sperimentale (ma senza rompere o sprecare bastoncini Very Happy )
Questo semplice script in python (che ho commentato e spero risulti comprensibile anche per chi non conosce questo linguaggio) ripete l'esperimento un numero arbitrario (tries) di volte.

Qualche nota per chi non conosce python:
- L'indentazione dei blocchi di codice è obbligatoria
- Le righe che iniziano con # sono commenti
- L'istruzione "for i in xrange(tries)" esegue il ciclo per "tries" volte
- random() restituisce un numero decimale casuale tra 0 incluso e 1 escluso
- choice((0, 1)) restituisce un numero intero a caso scelto tra 0 e 1
- uniform(a, b) restituisce un numero decimale casuale tra a e b inclusi con distribuzione uniforme

Per ogni tentativo, se e' possibile costruire il triangolo, viene incrementata la variabile success.
Alla fine la probabilità stimata si ottiene dividendo success per tries

Per esempio eseguendo 3 serie da 10 milioni di tentativi l'una ho ottenuto:
(ho eseguito dal prompt/terminale: python test.py 3 10000000)
10000000 1933064 0.193306 16.05
10000000 1931687 0.193169 16.19
10000000 1932565 0.193256 16.13
dove i numeri in ogni riga sono in ordine: tentativi totali, tentativi riusciti, rapporto tra riusciti e totali, tempo impiegato in secondi
Il terzo numero confermerebbe che usando questo procedimento la probabilità è proprio P = -0.5 - ln 0.5 = ln 2 - 0.5 = 0.193147

Quello che invece non mi è chiaro nel procedimento grafico dell'ultimo post è che cosa rappresenti il trapezio B'C'BC e perché.

Per chi vuole eseguire il test, questo è lo script, puo' essere copiato e incollato in un file di testo con un nome a piacere (test.py). Puo' essere eseguito da terminale scrivendo:
python test.py 3 1000000
è importante mantenere sempre il corretto numero di spazi di indentazione!
Codice:
import sys
import time

def test(tries):
    from random import uniform, choice, random
    # numero di tentativi riusciti
    success = 0
    for i in xrange(tries):
        # restituisce la posizione del primo taglio tra 0 e 1
        x = random()
        # restituisce 0 (primo pezzo) o 1 (secondo pezzo)
        p = choice((0, 1))
        # se il primo taglio e' nella prima meta'
        if x < 0.5:
            # se viene scelto il secondo pezzo
            if p == 1:
                # se il secondo taglio ricade nell'intervallo valido
                if 0.5 < uniform(x, 1) < 0.5 + x:
                    # allora e' possibile costruire il triangolo
                    success += 1
        # altrimenti il primo taglio e' nella seconda meta'
        else:
            # se viene scelto il primo pezzo
            if p == 0:
                # se il secondo taglio ricade nell'intervallo valido
                if x - 0.5 < uniform(0, x) < 0.5:
                    # allora e' possibile costruire il triangolo
                    success += 1
    return success

def main():
    for i in xrange(int(sys.argv[1])):
        start = time.time()
        tries = int(sys.argv[2])
        success = test(tries)
        stop = time.time()
        print '%-10s %-10s %10.6f %10.2f' % (tries, success, float(success) / tries, stop - start)

if __name__ == '__main__':
    main()
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MessaggioInviato: 14 Lug 2010 09:56    Oggetto: Rispondi citando

Jowex mi chiede:

Citazione:
Quello che invece non mi è chiaro nel procedimento grafico dell'ultimo post è che cosa rappresenti il trapezio B'C'BC e perché.


cerco di spiegare la cosa come meglio mi è possibile Rolling Eyes

Citazione:
in sostanza, AH rappresenta il ns. bastoncino (di lunghezza unitaria): spezziamolo a caso in un punto O. Avremo due pezzi: AO e e OH. Se OH è minore di 1/2 (ovvero è inferiore alla metà di AH) è un pezzo "buono", altrimenti, ahnoi, non ci è utile. Gli OH non "buoni" son quelli racchiusi nel triangolino (AB'C') in alto (N.B.: non sono solo quelli appartenenti all'altezza, ma tutti i punti del detto triangolo). Gli OH "buoni" son quelli che appartengono al detto trapezio: il triangolo iniziale "amputato" del triangolino in alto. Del trapezio, come detto, i punti utili son solo quelli dell'area gialla (1/3, che moltiplicato per 1/2 ci dà il valore di 1/6)


a questo punto, ci son due risultati, uno grafico ed uno formale, purtroppo, discordanti. Crying or Very sad
Non sono in grado di trovare un eventuale errore di impostazione nel "python test",
per cui prego Jowex di scovare l'eventuale errore presente nella soluzione grafica Rolling Eyes
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MessaggioInviato: 14 Lug 2010 22:00    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Gli OH non "buoni" son quelli racchiusi nel triangolino (AB'C') in alto

Citazione:

Vero, ma anche questi vanno contati tra gli eventi sfavorevoli, perché sono comunque possibili.

A mio parere l'unica cosa che si può dire è che 1/3 è la probabilità di avere successo condizionata al fatto che il primo pezzo del bastoncino alla fine risulti lungo meno di 1/2, ovvero:
- suppongo di rompere il bastoncino, usando il metodo #1, in 3 pezzi ordinati ed etichettati a, b, c in tutti i modi possibili (o in un numero sufficientemente alto, dato che sono infiniti...)
- alla fine butto via tutti i casi in cui a>1/2 e chiamo N il numero totale dei casi restanti
- conto tutti i casi in cui anche b e c sono minori di 1/2 e li divido per N, ottenendo 1/3

Ma sarebbe interessante sentire anche il parere di qualcun altro... Rolling Eyes
Invece sulla soluzione grafica per il primo metodo non ho nulla da dire, molto originale e interessante Wink

Per concludere provo anche a esporre il metodo "formale" in modo "ancora più formale":
Citazione:
Condizionando la probabilità P al fatto che il primo taglio x cada prima o dopo la metà del bastoncino si ottiene:
P(successo) = P(successo | x<1/2)P(x<1/2) + P(successo | x>1/2)P(x>1/2) =
= 1/2 * [P(successo | x<1/2) + P(successo | x>1/2)]
che per simmetria risulta uguale a:
= P(successo | x<1/2) =
poi condizioniamo al fatto di scegliere il primo o il secondo pezzo per effettuare il secondo taglio:
= P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 1) * P(scelgo il pezzo 1) + P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 2) * P(scelgo il pezzo 2)
in cui P(scelgo il pezzo 1) = P(scelgo il pezzo 2) = 1/2, ma P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 1) = 0, perché alla fine resterà un pezzo>1/2. Quindi risulta:
= 1/2 * P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 2) =
A questo punto il ragionamento è lo stesso dell'altro post: occorre integrare la probabilità x/(1-x) per x da 0 a 1/2
= 1/2 * {integrale da 0 a 1/2 di [x/(1-x) dx]} / {integrale da 0 a 1/2 di [1 * dx]}
dove l'integrale a denominatore serve per normalizzare l'integrale a numeratore, dato che stiamo condizionando a x < 1/2. Quindi risulta:
= integrale da 0 a 1/2 di [x/(1-x) dx] = ln 2 - 1/2 = 0.193 come nell'altro post
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MessaggioInviato: 14 Lug 2010 23:36    Oggetto: Rispondi citando

zeussino ha scritto:
(dalla 2° prova maturità 2010 per licei scientifici PNI)

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche l'altro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta.


zeus, hai beccato proprio quello giusto... è l'unica cosa che ho sbagliato in tutto il compito Confused

Citazione:

per la cronaca, io avevo detto 0.5 , che poi è sbagliata... a parer mio comunque il testo dà adito a fraintendimenti...

mi spiego meglio: la domanda è "qual è la probabilità che anche l'altro figlio della sig.ra Anna sia femmina?"

ciò per me si è tradotto nell'assegnare al "primo" figlio il sesso femminile, in modo che i casi risultanti fossero

FF FM

escludendo così MF... non so se mi sono spiegato, quel giorno ovviamente avevo motivato in maniera molto più esauriente...
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MessaggioInviato: 15 Lug 2010 10:41    Oggetto: Rispondi citando

continuo ad essere convinto della "mia" soluzione grafica ed a sostegno di ciò posto un'altra immagine, con un commento più "verboso"

(La prima immagine da me postata era questa)

ribadisco la mia inabilità nel mondo delle densità di probabilità, ma mi sono divertito a scovare, per mera via...euristica le seguenti formule:

Citazione:
Con INT si indica l’integrale; con (a, b) gli estremi di integrazione.

Caso #1

P = INT (0, ½) [x dx] / INT (0, 1) [x dx] = ¼

Caso #2

P = (1/2)* INT (0, ½) [x dx] / INT (0, ½) [(1-x) dx] = ½*1/3 = 1/6


non garantisco sulla loro bontà e riconosco che, per dirimere la querelle, ci sarebbe bisogno di una terza autorevole opinione Rolling Eyes
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MessaggioInviato: 18 Lug 2010 15:17    Oggetto: Rispondi citando

cerco di scrivere più in dettaglio ciò che non mi convince... magari con qualche chiarimento in più riusciamo a capire se c'e' qualche diversità di interpretazione della figura
Citazione:
Ogni punto interno al triangolo ABC rappresenta un modo di spezzare il bastoncino in 3 parti, ma non ci dice in quale ordine sono stati fatti i tagli.
Per questo motivo, secondo la mia interpretazione, la figura non è adatta per risolvere il quesito nel caso #2

Per es. il punto O della prima figura corrisponde alla rottura del bastoncino in 3 segmenti lunghi a=FO, b=DO, c=EO, ma non ci dice se la prima rottura è avvenuta tra a e b, oppure tra b e c: entrambi i casi ci portano allo stesso punto O.

Prendendo come altro esempio il punto Z della seconda figura, il pezzo più lungo (a) potrebbe essere il risultato della prima rottura:
1a rottura: (a), (b+c)
2a rottura: (a), (b), (c)
ma potrebbe essere anche il risultato della seconda rottura applicata al segmento (a+b) (ovvero scegliendo di rompere il pezzo più lungo, anche se il punto Z è fuori dal trapezio):
1a rottura: (a+b), (c)
2a rottura: (a), (b), (c)

Per quanto riguarda gli integrali dell'ultimo post, invece, non capisco come vadano interpretati...
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MessaggioInviato: 18 Lug 2010 23:13    Oggetto: Rispondi citando

assodato che la soluzione grafica soddisfa il caso #1, secondo me funziona anche per il caso #2, a patto di tener presente questa accortezza:

Citazione:
e cioè che, effettuata la prima rottura, il pezzo che (casualmente) non andiamo a spezzare sia quello a tratto intero nella figura (o, meglio, lo si posizioni in cotal guisa), per cui quello che, invece, spezzeremo sarà quello indicato col tratteggio (N.B.: spostando il segmento a tratto intero parallelamente all'altezza del triangolo otterremo tutte le possibili "seconde" rotture).
Affinchè il punto di prima rottura sia "buono" non deve stare nel triangolino in alto (altrimenti il pezzo che andremo a spezzare sarà minore di 1/2), ma deve necessiamente trovarsi nei tre triangolini in basso, da cui le conseguenze già tratte.


per quanto riguardi gli integrali,

Citazione:
quello per il caso #1 coincide con quello di Jowex:
a numeratore l'integrale della funzione x, calcolato nell'intervallo [0, 1/2]; a denominatore lintegrale della stessa funzione, calcolata, però, fra [0, 1]

per il caso #2, invece:
a numeratore sempre l'integrale di x, fra [0, 1/2], ma a denominatore l'integrale di (1-x), calcolato fra [0, 1/2]

in sostanza, nei due casi figura sempre lo stesso denominatore, ma la normalizzazione (denominatore) è diversa.
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MessaggioInviato: 19 Lug 2010 19:02    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
e cioè che, effettuata la prima rottura, il pezzo che (casualmente) non andiamo a spezzare sia quello a tratto intero nella figura (o, meglio, lo si posizioni in cotal guisa), per cui quello che, invece, spezzeremo sarà quello indicato col tratteggio (N.B.: spostando il segmento a tratto intero parallelamente all'altezza del triangolo otterremo tutte le possibili "seconde" rotture).

Citazione:
ok, quindi possiamo dire che con il procedimento descritto si sceglie di rompere sempre il secondo pezzo (che per questioni di simmetria anche secondo me puo' essere corretto, a patto di tenerne conto)

poi:
salmastro ha scritto:
Affinchè il punto di prima rottura sia "buono" non deve stare nel triangolino in alto (altrimenti il pezzo che andremo a spezzare sarà minore di 1/2), ma deve necessiamente trovarsi nei tre triangolini in basso, da cui le conseguenze già tratte.

Citazione:
questo è un punto su cui non sono d'accordo: anche se il punto di rottura non è buono, nel calcolo della probabilità non può essere escluso e deve essere considerato tra i casi sfavorevoli.
In nessun punto del procedimento si dice di escludere i casi in cui il secondo bastoncino (che verrà rotto) è < 1/2, anche se tutti questi casi saranno sempre sfavorevoli


che fatica quotare in questo modo! Very Happy
(e forse anche leggere...)
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MessaggioInviato: 19 Lug 2010 23:36    Oggetto: Rispondi citando

Jowex ha scritto:

poi:
salmastro ha scritto:
Affinchè il punto di prima rottura sia "buono" non deve stare nel triangolino in alto (altrimenti il pezzo che andremo a spezzare sarà minore di 1/2), ma deve necessiamente trovarsi nei tre triangolini in basso, da cui le conseguenze già tratte.

Citazione:
questo è un punto su cui non sono d'accordo: anche se il punto di rottura non è buono, nel calcolo della probabilità non può essere escluso e deve essere considerato tra i casi sfavorevoli.
In nessun punto del procedimento si dice di escludere i casi in cui il secondo bastoncino (che verrà rotto) è < 1/2, anche se tutti questi casi saranno sempre sfavorevoli



vediamola così:

Citazione:
quando il punto si trova nel triangolino in alto rientra nel 50% di casi sicuramente sfavorevoli;
quando non è lì, ma nel "trapezio" formato dai tre triangolini in basso, sì è nel restante 50% di casi "potenzialmente" favorevoli e dovremo determinare quanti sono quelli veramente buoni. Graficamente verifichiamo sia solo 1/3 di questo potenziale 50% (solo il triangolo centrale), vale a dire 1/6
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MessaggioInviato: 20 Lug 2010 18:23    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:

vediamola così:

Citazione:
quando il punto si trova nel triangolino in alto rientra nel 50% di casi sicuramente sfavorevoli;
quando non è lì, ma nel "trapezio" formato dai tre triangolini in basso, sì è nel restante 50% di casi "potenzialmente" favorevoli e dovremo determinare quanti sono quelli veramente buoni. Graficamente verifichiamo sia solo 1/3 di questo potenziale 50% (solo il triangolo centrale), vale a dire 1/6

Dunque, forse stiamo parlando di un procedimento che chiamo #3, in cui:
1. si rompe il bastoncino in un punto a caso
2. si sceglie in modo intelligente il pezzo da rompere di nuovo (ovvero scegliamo sempre il pezzo più lungo)
3. rompiamo il pezzo scelto

La differenza sta solo nel secondo punto, dato che nel procedimento #2 supponevo di scegliere in modo stupido il pezzo da rompere di nuovo (P=1/2)
Tuttavia anche in questo caso (#3) i conti non mi tornano. Per un motivo intuitivo e più immediato:
Citazione:
se scelgo in modo intelligente il pezzo su cui effettuare la seconda rottura, la probabilità finale non potrà essere inferiore a quella del caso #1, in cui sceglievo due punti di rottura completamente a caso

ma anche per un motivo più formale,
ovvero, ripetendo i passaggi che avevo fatto per il caso #2, l'unica differenza è quella evidenziata in grassetto che prende il posto di quella in corsivo:
Citazione:
Condizionando la probabilità P al fatto che il primo taglio x cada prima o dopo la metà del bastoncino si ottiene:
P(successo) = P(successo | x<1/2)P(x<1/2) + P(successo | x>1/2)P(x>1/2) =
= 1/2 * [P(successo | x<1/2) + P(successo | x>1/2)]
che per simmetria risulta uguale a:
= P(successo | x<1/2) =
poi condizioniamo al fatto di scegliere il primo o il secondo pezzo per effettuare il secondo taglio:
= P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 1) * P(scelgo il pezzo 1) + P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 2) * P(scelgo il pezzo 2)
[in cui P(scelgo il pezzo 1) = P(scelgo il pezzo 2) = 1/2, ma P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 1) = 0, perché alla fine resterà un pezzo>1/2]
in cui P(scelgo il pezzo 1)=0 e P(scelgo il pezzo 2)=1, perché scelgo in modo intelligente sempre il pezzo più lungo (ovvero il secondo)
Questa volta risulta:
= P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 2)
ovvero il doppio di quanto trovato per il procedimento #2, quindi
P = 2 * (ln 2 - 1/2) = 0.386

Adattando (e semplificando) lo script in python postato in precedenza:

Codice:
import sys
import time

def test3(tries):
        from random import uniform, choice, random
        # numero di tentativi riusciti
        success = 0
        for i in xrange(tries):
                # restituisce la posizione del primo taglio tra 0 e 1
                x = random()
                # se il primo taglio e' nella prima meta' si sceglie il secondo pezzo
                if x < 0.5:
                        # se il secondo taglio ricade nell'intervallo valido
                        if 0.5 < uniform(x, 1) < 0.5 + x:
                                # allora e' possibile costruire il triangolo
                                success += 1
                # altrimenti il primo taglio e' nella seconda meta' e si sceglie il primo pezzo
                else:
                        # se il secondo taglio ricade nell'intervallo valido
                        if x - 0.5 < uniform(0, x) < 0.5:
                                # allora e' possibile costruire il triangolo
                                success += 1
        return success

def main():
        test = test3
        for i in xrange(int(sys.argv[1])):
                start = time.time()
                tries = int(sys.argv[2])
                success = test(tries)
                stop = time.time()
                print '%-10s %-10s %10.6f %10.2f' % (tries, success, float(success) / tries, stop - start)

if __name__ == '__main__':
        main()


ottengo i numeri attesi:

10000000 3862413 0.386241 10.13
10000000 3861491 0.386149 10.16
10000000 3861469 0.386147 10.18

Salmastro, per provare "sperimentalmente" il tuo risultato, riusciresti a descrivere in pseudo-codice o in un qualche modo semi-formale il procedimento da eseguire per la rottura di un bastoncino? Potrei provare io a trasformarlo in codice. Ovviamente se conosci un altro linguaggio e vuoi pensarci tu non mi offendo... Wink
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Salmastro
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MessaggioInviato: 20 Lug 2010 19:06    Oggetto: Rispondi citando

Ritorniamo alla figura

Citazione:
Il nostro bastoncino è uguale all’altezza del triangolo grande.
Ogni punto interno al triangolo rappresenta un modo di spezzare il triangolo: vale a dire le tre perpendicolari condotte da un determinato punto rappresentano i tre pezzi ottenuti dopo le canoniche rotture, giacché, come è facile dimostrare, la somma di tali tre segmenti è pari all’altezza del triangolo.

Nel caso #1, dovunque siano stati effettuate le due rotture, siamo in grado di trovare un punto O, interno al triangolo, in modo tale che i tre segmenti siano uguali ai tre “pezzi”.
Per esempio, basta prendere un pezzo a caso e, tenendone sempre un estremo sulla base del traingolone, spostarlo parallelamente all’altezza dello stesso triangolone. Prima o poi, per continuità, otterremo i tre segmenti che cercavamo.
Alla fine, icto oculi, i punti “buoni” saranno solo quelli del triangolino giallo (1/4): sono quelli la cui lunghezza è per tutti inferiore a 1/2.

Nel caso #2, spezziamo casualmente il bastoncino in un punto e casualmente prendiamo uno dei due pezzi per la successiva rottura. Abbiamo il 50% di probabilità di scegliere quello che ha lunghezza superiore ad 1/2, il che ci condurrà, inevitabilmente al fallimento, ed il 50% di scegliere quello con lunghezza inferiore ad 1/2: si tratta di vedere, all’interno di tale 50% , quante sono le eventualità favorevoli.
A tale scopo, prendiamo il pezzo che casualmente non abbiamo scelto per effettuare la seconda rottura e mettiamolo lungo l’altezza del triangolo con un estremo sulla base. Nel 50% dei casi l’altro estremo si troverà nel triangolino in alto (per cui la seconda rottura la effettueremo su un pezzo lungo meno di 1/2: non otterremo triangoli!), nell’altro 50% l’altro estremo si troverà nel “trapezio” in basso, quello formato da tre triangolini (per cui la seconda rottura la effettueremo su un pezzo più lungo di 1/2: potremo ottenere dei triangoli!). Procedendo come nel caso #1, icto oculi, ci si rende conto che i punti buoni sono solo quelli del solito triangolino giallo, vale a dire 1/3 del 50%, pari a 1/6.

Per quanto riguarda la formalizzazione, ripropongo gli integrali postati qualche messaggio fa:

per il caso #1, INT(0,1/2) x dx / INT (0,1) x dx
per il caso #2, (1/2) * INT(0,1/2) x dx / INT (0,1/2) x dx

cioè la funzione da integrare a numeratore è uguale nei due casi: f(x)=x, sempre fra 0 e 1/2
ma a denominatore (quella “normalizzante”) cambia: nel caso #1 è f(x)=x, da integrare fra 0 e 1;
nel caso #2 è f(x)=(1-x), da integrare fra 0 e 1/2.

P.S.: mi pare che tu, nel caso #2, integri la f(x)=x/(1-x)...forse l'errore è lì...
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Jowex
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MessaggioInviato: 20 Lug 2010 19:44    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Ritorniamo alla figura
...

Vista l'impossibilità da parte mia di spiegarmi in altro modo, alla fine mi affido a S. Google, che mi restituisce tra i risultati questa interessante pagina (in inglese) in cui viene esaminato proprio questo problema:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml

Vengono identificati 4 casi distinti (tra cui i 3 che ho elencato nei post precedenti)
#1: rottura casuale e contemporanea del bastoncino in 2 punti
#2: rottura casuale in un punto, scelta casuale di uno dei due pezzi (P=1/2), rottura del pezzo scelto
#3: rottura casuale in un punto, scelta intelligente del pezzo più lungo e rottura di questo pezzo
#4: rottura casuale in un punto, scelta casuale di uno dei due pezzi con probabilità proporzionale alla lunghezza del pezzo, rottura del pezzo scelto
Nel link postato i casi #2 e #3 compaiono in ordine invertito, mentre il #4 è nuovo.

I risultati a cui si giunge sono quelli che ho postato precedentemente, ovvero:
Citazione:
#1: P = 1/4 = 0.25
#2: P = ln 2 - 1/2 = 0.193
#3: P = 2 ln 2 - 1 = 0.386

e viene anche detto che diversi matematici, tra cui un certo Martin Gardner sono stati ingannati dal problema, concludendo erroneamente che la probabilità risultante nel caso #3 fosse "1/3".
Altre due pagine collegate alla precedente, in cui il problema viene affrontato in modo diverso (ma non le ho lette in dettaglio) sono queste:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbCartesian.shtml
http://www.cut-the-knot.org/triangle/geoprobability.shtml

p.s. forse il thread meriterebbe uno split, visto che ci siamo un po' allontanati dal topic originale...
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Salmastro
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MessaggioInviato: 21 Lug 2010 10:32    Oggetto: Rispondi citando

@ Jowex:

OK! Perfetto! Mi sono convinto!! Very Happy

Ti ringrazio per aver insistito, con il tuo consueto garbo, sulle “sottigliezze” della questione, per niente banale, ribadisco. Wink

La visione della figura inserita nel link da te postato, quella associata al caso #2, ha cancellato ogni mia pregressa convinzione ed eliminato, per la sua lampante immediatezza, ogni possibile dubbio a riguardo.

Per quanto riguarda un eventuale split, non mi trovi d’accordo: in realtà, secondo me, è tutto IT, ché scopo del topic era mostrare trappole e paradossi della probabilità, materia spesso ostica da affrontare, nella quale non è difficile sbagliare l’approccio, giungendo a conclusioni fallaci.

Al limite, se zeussino vorrà, potrebbe bastare un piccolo richiamo nel titolo alla questione che così tanto ci ha appassionato e, per quanto mi riguarda, assai divertito. Very Happy
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giovanni56
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MessaggioInviato: 23 Lug 2010 04:10    Oggetto: Rispondi

Ritornando alla domanda iniziale

[quote="dart"]
zeussino ha scritto:

Secondo me 1/3.
I casi possibili sono 4:
MF - MM - FM - FF.
Il caso MM non è possibile, quindi la sig.ra Anna si ritrova in una di queste situazioni: MF - FM - FF.
Quindi la possibilità che l'altro figlio sia femmina è solo 1 su 3.


salmastro ha scritto:
ok, dart, "corretta" la tua risposta, ma...


Scusatemi, perchè i casi possibili sono 4?
Qual'è la differenza fra i casi 1 e 3?
O forse mi sono perso qualcosa?
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