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* Figlie femmine, che problema
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Autore Messaggio
dart
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MessaggioInviato: 08 Lug 2010 21:48    Oggetto: Rispondi citando

ah, ok... mi sembrava strano! (era strana la frase)

per quanto riguarda il bastoncino, credo che

Citazione:
bisogna calcoare quali sono le probabilità che almeno un pezzettino sia lungo almeno la metà del bastoncino intero.
ma ci penserò meglio...
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Salmastro
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MessaggioInviato: 09 Lug 2010 10:29    Oggetto: Rispondi citando

dart ha scritto:
per quanto riguarda il bastoncino, credo che
Citazione:
bisogna calcoare quali sono le probabilità che almeno un pezzettino sia lungo almeno la metà del bastoncino intero.
ma ci penserò meglio...


perfetto: sei a metà dell'opera Very Happy

(il prosieguo, però, non l'ho trovato per niente banale Rolling Eyes )
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Jowex
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MessaggioInviato: 11 Lug 2010 10:55    Oggetto: Rispondi citando

Nonostante il caldo, provo a rispondere
Citazione:
Come è stato detto, affinché i tre pezzi possano formare un triangolo occorre che il maggiore sia lungo al massimo metà del bastoncino intero.
Considero un bastoncino lungo 1 e suppongo di fissare a caso il primo punto a distanza x da una estremità, con 0 < x < 1/2
Se suppongo che anche il secondo punto y venga scelto a caso con distribuzione uniforme, occorre che sia 1/2 < y < 1/2 + x, ovvero il punto y deve cadere all'interno di un segmento lungo x: quindi la probabilità è x.
Qui sotto uno schema che "dovrebbe" rappresentare il bastoncino lungo 1, il punto x scelto, e l'intervallo in cui occorre scegliere il punto y.
Il punto di mezzo del bastoncino è quello indicato con |
[0]____x___________|yyyy____________[1]
Per trovare la probabilità complessiva occorre variare x tra 0 e 1 e trovare la media. Ma per simmetria è sufficiente integrare da 0 a 1/2 e raddoppiare il risultato.
P = 2 * integrale da 0 a 1/2 (x dx) = 2*(1/2)^2/2 = 1/4
Il risultato vale se i due punti x e y vengono scelti in modo indipendente e con distribuzione uniforme su tutta la lunghezza del bastoncino.

Un procedimento alternativo che porterebbe a risultati diversi potrebbe essere quello di:
Citazione:
1. scegliere un punto x a caso e rompere il bastoncino (e potremmo anche supporre che la distribuzione non sia uniforme, dato che in pratica sarà più probabile rompere il bastoncino circa a metà)
2. scegliere a caso uno dei due pezzi risultanti (con probabilità 1/2)
3. rompere di nuovo il pezzo scelto (usando la stessa distribuzione di probabilità usata per il punto 1)

Tuttavia in questo caso i conti sarebbero un po' più laboriosi
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Salmastro
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MessaggioInviato: 12 Lug 2010 11:39    Oggetto: Rispondi citando

Jowex ha scritto:
Nonostante il caldo, provo a rispondere
Citazione:
Come è stato detto, affinché i tre pezzi possano formare un triangolo occorre che il maggiore sia lungo al massimo metà del bastoncino intero.
Considero un bastoncino lungo 1 e suppongo di fissare a caso il primo punto a distanza x da una estremità, con 0 < x < 1/2
Se suppongo che anche il secondo punto y venga scelto a caso con distribuzione uniforme, occorre che sia 1/2 < y < 1/2 + x, ovvero il punto y deve cadere all'interno di un segmento lungo x: quindi la probabilità è x.Qui sotto uno schema che "dovrebbe" rappresentare il bastoncino lungo 1, il punto x scelto, e l'intervallo in cui occorre scegliere il punto y.
Il punto di mezzo del bastoncino è quello indicato con |
[0]____x___________|yyyy____________[1]
Per trovare la probabilità complessiva occorre variare x tra 0 e 1 e trovare la media. Ma per simmetria è sufficiente integrare da 0 a 1/2 e raddoppiare il risultato.
P = 2 * integrale da 0 a 1/2 (x dx) = 2*(1/2)^2/2 = 1/4
Il risultato vale se i due punti x e y vengono scelti in modo indipendente e con distribuzione uniforme su tutta la lunghezza del bastoncino.

Un procedimento alternativo che porterebbe a risultati diversi potrebbe essere quello di:
Citazione:
1. scegliere un punto x a caso e rompere il bastoncino (e potremmo anche supporre che la distribuzione non sia uniforme, dato che in pratica sarà più probabile rompere il bastoncino circa a metà)
2. scegliere a caso uno dei due pezzi risultanti (con probabilità 1/2)
3. rompere di nuovo il pezzo scelto (usando la stessa distribuzione di probabilità usata per il punto 1)

Tuttavia in questo caso i conti sarebbero un po' più laboriosi


non mi torna la frase cho ho grassettato nel primo "messaggio nascosto": di sicuro è un mio limite, ma se spendi qualche altra parola, magari, ci arrivo Very Happy

in ogni caso, il risultato è numericamente corretto Wink

per il caso #2, la situazione è para para quella da te prospettata!

con la soluzione "grafica" in mio possesso il risultato sarebbe immediato: è mio dovere, a brevissimo, dare un suggerimento a riguardo Very Happy
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Jowex
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MessaggioInviato: 12 Lug 2010 21:49    Oggetto: Rispondi citando

Jowex ha scritto:
Se suppongo che anche il secondo punto y venga scelto a caso con distribuzione uniforme, occorre che sia 1/2 < y < 1/2 + x, ovvero il punto y deve cadere all'interno di un segmento lungo x: quindi la probabilità è x

Per spiegarmi meglio questa volta allego una figura
Citazione:
Il primo taglio (in blu) viene fatto nel punto x, che supponiamo sia compreso tra 0 e 1/2 (il caso di x compreso tra 1/2 e 1 è simmetrico)
Affinché i 3 segmenti siano tutti minori di 1/2, il punto y deve cadere nell'intervallo in rosso:
- l'estremo inferiore è dato da 1/2 (perché se fosse scelto più a sinistra, il terzo segmento risulterebbe più lungo di 1/2)
- e l'estremo superiore è dato da 1/2+x (perché se fosse scelto più a destra, il secondo segmento risulterebbe più lungo di 1/2)
Di conseguenza il segmento rosso è lungo 1/2 + x - 1/2 = x, e dividendolo per la lunghezza del bastoncino (che é 1, se si considera nella sua interezza) si ottiene la probabilità che il punto y venga effettivamente scelto all'interno del segmento rosso


Invece per completare la soluzione con il secondo procedimento:
Citazione:
Il primo taglio genera due pezzi, supponiamo che il primo sia lungo x < 1/2 e il secondo 1-x > 1/2 (il caso contrario è simmetrico)
Se il secondo taglio viene fatto sul primo pezzo, il segmento più a destra è maggiore di 1/2 e non è possibile costruire un triangolo
Se invece il secondo taglio viene fatto sul secondo pezzo, occorre che cada nell'intervallo compreso tra 1/2 e 1/2+x (per lo stesso ragionamento fatto nel caso precedente, vedi figura)
Tuttavia in questo caso la probabilità si ottiene dividendo (1/2+x-1/2) = x per (1-x), che è la lunghezza del segmento, ovvero è x/(1-x).
Quindi la probabilità di riuscire a costruire un triangolo in funzione del primo taglio (con x<1/2) questa volta è:
P(x) = P(scegliere il pezzo più lungo dopo il primo taglio) * P(scegliere il secondo punto di taglio all'interno di un segmento lungo x) = 1/2 * x/(1-x)
Integrando per x tra 0 e 1/2 e moltiplicando per 2 il risultato (per tenere conto del caso simmetrico in cui x>1/2), si ottiene:
P=integrale da 1 a 1/2 [x/(1-x)] = [- x - ln(1-x)] = -1/2 -ln(1/2) = 0.193

In questo caso, il risultato è inferiore rispetto al caso considerato in precedenza, e mi sembra giustificabile per il fatto che la scelta del bastoncino dopo il primo taglio può portare subito all'impossibilità di costruire il triangolo.
Se c'e' una soluzione grafica sono curioso di vederla Smile
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Salmastro
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MessaggioInviato: 13 Lug 2010 12:21    Oggetto: Rispondi citando

@ Jowex:
Perfetto: mi sono convinto della bontà della ratio legata al caso #1 e ho, infine, compreso la tua soluzione.

complimenti Applause Applause Applause

Per il caso #2 ho delle perplessità (non a caso la tua soluzione e quella in mio possesso sono discordanti).

Non ho alcuna remora nel premettere che sono assai scarso nel comparto “densità di probabilità”, ma, mi pare, che con la funzione da integrare da te indicata

Citazione:
x/ (1-x)


venga meno lo spezzare “a caso”, ché certi valori di x son più probabili di altri e non dovrebbe essere così Rolling Eyes

per quanto riguarda la soluzione grafica, eccola qui Very Happy

(N.B.: contiene, almeno, un errore di stampa…nel quartultimo rigo si legga SOLO, anziché SONO)
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Jowex
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MessaggioInviato: 14 Lug 2010 00:15    Oggetto: Rispondi citando

Nel dubbio ho pensato di fare una verifica sperimentale (ma senza rompere o sprecare bastoncini Very Happy )
Questo semplice script in python (che ho commentato e spero risulti comprensibile anche per chi non conosce questo linguaggio) ripete l'esperimento un numero arbitrario (tries) di volte.

Qualche nota per chi non conosce python:
- L'indentazione dei blocchi di codice è obbligatoria
- Le righe che iniziano con # sono commenti
- L'istruzione "for i in xrange(tries)" esegue il ciclo per "tries" volte
- random() restituisce un numero decimale casuale tra 0 incluso e 1 escluso
- choice((0, 1)) restituisce un numero intero a caso scelto tra 0 e 1
- uniform(a, b) restituisce un numero decimale casuale tra a e b inclusi con distribuzione uniforme

Per ogni tentativo, se e' possibile costruire il triangolo, viene incrementata la variabile success.
Alla fine la probabilità stimata si ottiene dividendo success per tries

Per esempio eseguendo 3 serie da 10 milioni di tentativi l'una ho ottenuto:
(ho eseguito dal prompt/terminale: python test.py 3 10000000)
10000000 1933064 0.193306 16.05
10000000 1931687 0.193169 16.19
10000000 1932565 0.193256 16.13
dove i numeri in ogni riga sono in ordine: tentativi totali, tentativi riusciti, rapporto tra riusciti e totali, tempo impiegato in secondi
Il terzo numero confermerebbe che usando questo procedimento la probabilità è proprio P = -0.5 - ln 0.5 = ln 2 - 0.5 = 0.193147

Quello che invece non mi è chiaro nel procedimento grafico dell'ultimo post è che cosa rappresenti il trapezio B'C'BC e perché.

Per chi vuole eseguire il test, questo è lo script, puo' essere copiato e incollato in un file di testo con un nome a piacere (test.py). Puo' essere eseguito da terminale scrivendo:
python test.py 3 1000000
è importante mantenere sempre il corretto numero di spazi di indentazione!
Codice:
import sys
import time

def test(tries):
    from random import uniform, choice, random
    # numero di tentativi riusciti
    success = 0
    for i in xrange(tries):
        # restituisce la posizione del primo taglio tra 0 e 1
        x = random()
        # restituisce 0 (primo pezzo) o 1 (secondo pezzo)
        p = choice((0, 1))
        # se il primo taglio e' nella prima meta'
        if x < 0.5:
            # se viene scelto il secondo pezzo
            if p == 1:
                # se il secondo taglio ricade nell'intervallo valido
                if 0.5 < uniform(x, 1) < 0.5 + x:
                    # allora e' possibile costruire il triangolo
                    success += 1
        # altrimenti il primo taglio e' nella seconda meta'
        else:
            # se viene scelto il primo pezzo
            if p == 0:
                # se il secondo taglio ricade nell'intervallo valido
                if x - 0.5 < uniform(0, x) < 0.5:
                    # allora e' possibile costruire il triangolo
                    success += 1
    return success

def main():
    for i in xrange(int(sys.argv[1])):
        start = time.time()
        tries = int(sys.argv[2])
        success = test(tries)
        stop = time.time()
        print '%-10s %-10s %10.6f %10.2f' % (tries, success, float(success) / tries, stop - start)

if __name__ == '__main__':
    main()
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Salmastro
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MessaggioInviato: 14 Lug 2010 09:56    Oggetto: Rispondi citando

Jowex mi chiede:

Citazione:
Quello che invece non mi è chiaro nel procedimento grafico dell'ultimo post è che cosa rappresenti il trapezio B'C'BC e perché.


cerco di spiegare la cosa come meglio mi è possibile Rolling Eyes

Citazione:
in sostanza, AH rappresenta il ns. bastoncino (di lunghezza unitaria): spezziamolo a caso in un punto O. Avremo due pezzi: AO e e OH. Se OH è minore di 1/2 (ovvero è inferiore alla metà di AH) è un pezzo "buono", altrimenti, ahnoi, non ci è utile. Gli OH non "buoni" son quelli racchiusi nel triangolino (AB'C') in alto (N.B.: non sono solo quelli appartenenti all'altezza, ma tutti i punti del detto triangolo). Gli OH "buoni" son quelli che appartengono al detto trapezio: il triangolo iniziale "amputato" del triangolino in alto. Del trapezio, come detto, i punti utili son solo quelli dell'area gialla (1/3, che moltiplicato per 1/2 ci dà il valore di 1/6)


a questo punto, ci son due risultati, uno grafico ed uno formale, purtroppo, discordanti. Crying or Very sad
Non sono in grado di trovare un eventuale errore di impostazione nel "python test",
per cui prego Jowex di scovare l'eventuale errore presente nella soluzione grafica Rolling Eyes
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MessaggioInviato: 14 Lug 2010 22:00    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Gli OH non "buoni" son quelli racchiusi nel triangolino (AB'C') in alto

Citazione:

Vero, ma anche questi vanno contati tra gli eventi sfavorevoli, perché sono comunque possibili.

A mio parere l'unica cosa che si può dire è che 1/3 è la probabilità di avere successo condizionata al fatto che il primo pezzo del bastoncino alla fine risulti lungo meno di 1/2, ovvero:
- suppongo di rompere il bastoncino, usando il metodo #1, in 3 pezzi ordinati ed etichettati a, b, c in tutti i modi possibili (o in un numero sufficientemente alto, dato che sono infiniti...)
- alla fine butto via tutti i casi in cui a>1/2 e chiamo N il numero totale dei casi restanti
- conto tutti i casi in cui anche b e c sono minori di 1/2 e li divido per N, ottenendo 1/3

Ma sarebbe interessante sentire anche il parere di qualcun altro... Rolling Eyes
Invece sulla soluzione grafica per il primo metodo non ho nulla da dire, molto originale e interessante Wink

Per concludere provo anche a esporre il metodo "formale" in modo "ancora più formale":
Citazione:
Condizionando la probabilità P al fatto che il primo taglio x cada prima o dopo la metà del bastoncino si ottiene:
P(successo) = P(successo | x<1/2)P(x<1/2) + P(successo | x>1/2)P(x>1/2) =
= 1/2 * [P(successo | x<1/2) + P(successo | x>1/2)]
che per simmetria risulta uguale a:
= P(successo | x<1/2) =
poi condizioniamo al fatto di scegliere il primo o il secondo pezzo per effettuare il secondo taglio:
= P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 1) * P(scelgo il pezzo 1) + P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 2) * P(scelgo il pezzo 2)
in cui P(scelgo il pezzo 1) = P(scelgo il pezzo 2) = 1/2, ma P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 1) = 0, perché alla fine resterà un pezzo>1/2. Quindi risulta:
= 1/2 * P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 2) =
A questo punto il ragionamento è lo stesso dell'altro post: occorre integrare la probabilità x/(1-x) per x da 0 a 1/2
= 1/2 * {integrale da 0 a 1/2 di [x/(1-x) dx]} / {integrale da 0 a 1/2 di [1 * dx]}
dove l'integrale a denominatore serve per normalizzare l'integrale a numeratore, dato che stiamo condizionando a x < 1/2. Quindi risulta:
= integrale da 0 a 1/2 di [x/(1-x) dx] = ln 2 - 1/2 = 0.193 come nell'altro post
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whitesquall
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MessaggioInviato: 14 Lug 2010 23:36    Oggetto: Rispondi

zeussino ha scritto:
(dalla 2° prova maturità 2010 per licei scientifici PNI)

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche l'altro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta.


zeus, hai beccato proprio quello giusto... è l'unica cosa che ho sbagliato in tutto il compito Confused

Citazione:

per la cronaca, io avevo detto 0.5 , che poi è sbagliata... a parer mio comunque il testo dà adito a fraintendimenti...

mi spiego meglio: la domanda è "qual è la probabilità che anche l'altro figlio della sig.ra Anna sia femmina?"

ciò per me si è tradotto nell'assegnare al "primo" figlio il sesso femminile, in modo che i casi risultanti fossero

FF FM

escludendo così MF... non so se mi sono spiegato, quel giorno ovviamente avevo motivato in maniera molto più esauriente...
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