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* Ol' Man River
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Autore Messaggio
Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 15 Mar 2010 13:11    Oggetto: * Ol' Man River Rispondi citando

Uno show boat, il tipico battello del Mississippi, scende lungo il grande fiume.
Sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Il vecchio capitano, chi si diletta di giochi matematici, ci ha informato che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, sfidandoci a determinare il numero delle stazioni.

Lo vogliamo battere?
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Nemrod
Mortale devoto
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Registrato: 24/02/10 17:10
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MessaggioInviato: 15 Mar 2010 14:43    Oggetto: Rispondi citando

Allora...
Citazione:
Posto n+1 il numero di stazioni, alla partenza salgono n passeggeri (il numero di stazioni rimanenti), alla stazione successiva ne salgono n-1, che si sommano agli n già presenti, e ne scende uno (ogni passeggero scende ad una stazione diversa, per cui per ogni gruppo imbarcato ad ogni stazione scenderà un passeggero): totale 2(n-1) passeggeri.

La sequenza prosegue quindi così:
[Stazione] passeggeri
[0] n
[1] 2(n-1)
[2] 3(n-2)
[3] 4(n-3)
...
[n-1] n(n-n+1) = n
[n] n+1(n-n) = 0 ---> sono scesi tutti!!

Cercando di formalizzare, avrò che il numero di passeggeri alla fermata k è pari a
(k)(n-(k-1)), ponendo sempre n = n. fermate rimanenti.

Carcando il punto massimo della parabola -k^2 + (n+1),
ottengo (derivata prima) -2k + n + 1 = 0
da cui k = (n+1)/2, ossia la fermata a metà (o le due fermate al centro del percorso, qualora n sia pari)

Per il momento mi sono accontentato di risolvere enumerando le soluzioni: per ogni n, ho trovato i valori relativi alle fermate centrali, e la soluzione risulta essere 38 fermate (cioè 39 stazioni contando anche la partenza).

Naturalmente ci dovrebbe essere un modo per non dover andare a tentativi neanche nell'ultimo passaggio... ci penserò su, ma se qualcuno vuole anticiparmi è il benvenuto... Very Happy
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Nemrod
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MessaggioInviato: 15 Mar 2010 14:44    Oggetto: Rispondi citando

Bastava un attimo di tempo....

Citazione:
Mi basta sostituire il valore di k nell'equazione iniziale, e ottengo
-((n+1)^2)/4 + (n+1)(n+1)/2 = 380
da cui
(n+1)^2 = 380*4 = 1520

E quindi n+1 = 39
(anche se per essere un risultato perfetto avrei dovuto avere 1521, e non 1520... dove ho sbagliato?)
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Sir Jo
Mortale pio
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Registrato: 24/11/09 18:16
Messaggi: 21
Residenza: Napoli

MessaggioInviato: 16 Mar 2010 15:23    Oggetto: Re: Ol' Man River Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Uno show boat, il tipico battello del Mississippi, scende lungo il grande fiume.
Sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Il vecchio capitano, chi si diletta di giochi matematici, ci ha informato che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, sfidandoci a determinare il numero delle stazioni.

Lo vogliamo battere?

Citazione:
Ragionando molto empiricamente, cosa mia solita visto le carenze teoriche delle quali sono affetto, ho pensato che subito dopo la stazione intermedia c'è il massimo dei passeggeri, quindi ho pensato che la stazione intermedia fosse la radice quadrata di 380 (perchè subito dopo ogni fermata il numero di passeggeri è pari alle stazioni passate moltiplicate per le stazioni mancanti), e moltiplicando per 2 il risultato della radice quadrata si ottiene il numero di stazioni, che è 39.
Troppo dozzinale come ragionamento? E soprattutto....è giusto?
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Salmastro
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Messaggi: 883
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MessaggioInviato: 17 Mar 2010 11:30    Oggetto: Rispondi citando

Nemrod ha scritto:
Allora...
Citazione:
Posto n+1 il numero di stazioni, alla partenza salgono n passeggeri (il numero di stazioni rimanenti), alla stazione successiva ne salgono n-1, che si sommano agli n già presenti, e ne scende uno (ogni passeggero scende ad una stazione diversa, per cui per ogni gruppo imbarcato ad ogni stazione scenderà un passeggero): totale 2(n-1) passeggeri.

La sequenza prosegue quindi così:
[Stazione] passeggeri
[0] n
[1] 2(n-1)
[2] 3(n-2)
[3] 4(n-3)
...
[n-1] n(n-n+1) = n
[n] n+1(n-n) = 0 ---> sono scesi tutti!!

Cercando di formalizzare, avrò che il numero di passeggeri alla fermata k è pari a
(k)(n-(k-1)), ponendo sempre n = n. fermate rimanenti.

Carcando il punto massimo della parabola -k^2 + (n+1),
ottengo (derivata prima) -2k + n + 1 = 0
da cui k = (n+1)/2, ossia la fermata a metà (o le due fermate al centro del percorso, qualora n sia pari)

Per il momento mi sono accontentato di risolvere enumerando le soluzioni: per ogni n, ho trovato i valori relativi alle fermate centrali, e la soluzione risulta essere 38 fermate (cioè 39 stazioni contando anche la partenza).

Naturalmente ci dovrebbe essere un modo per non dover andare a tentativi neanche nell'ultimo passaggio... ci penserò su, ma se qualcuno vuole anticiparmi è il benvenuto... Very Happy


la mia soluzione è diversa Rolling Eyes
probabilmente il tuo errore dipende dal range in cui fai variare k...

@ Sir Jo:
attenzione, non c'è bisogno di particolari conoscenze per affrontare il quesito.
secondo me, bastano poche nozioni di geometria analitica elementare.
ritengo poi che il tuo ragionamento sia intuitivamente corretto (ma questo dipende, a posteriori, dalla particolare natura della relazione che lega il numero totale di fermate alla singola fermata) e che, però, dia solo un ordine di grandezza, chè il numero che vien fuori dal tuo calcolo non è intero Rolling Eyes
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Sir Jo
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MessaggioInviato: 17 Mar 2010 22:53    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:
@ Sir Jo:
attenzione, non c'è bisogno di particolari conoscenze per affrontare il quesito.
secondo me, bastano poche nozioni di geometria analitica elementare.
ritengo poi che il tuo ragionamento sia intuitivamente corretto (ma questo dipende, a posteriori, dalla particolare natura della relazione che lega il numero totale di fermate alla singola fermata) e che, però, dia solo un ordine di grandezza, chè il numero che vien fuori dal tuo calcolo non è intero Rolling Eyes

Citazione:
Nel caso specifico il problema è che non c'è un numero di stazioni passate pari a quelle ancora da raggiungere (compreso partenza e arrivo); con 39 stazioni totali (compreso arrivo e partenza) ci saranno 19 stazioni passate e 20 ancora da raggiungere, o 20 passate e 19 da raggiungere; e sia dopo la 19 che dopo la 20 ci saranno sempre 380 viaggiatori (19*20 o 20*19 è uguale), e facendo la radq di 380 e moltiplicato per 2 vien fuori un numero non intero; nel caso invece di di 38 stazioni totali subito dopo la stazione 19 la situazione sarà di 19 stazioni passate e 19 stazioni ancora da raggiungere, e in questo caso infatti il numero massimo di passeggeri è 361, la cui radq è 19 che moltiplicato per 2 fa esattamente 38 stazioni (comprese partenza e arrivo); mi chiedo come spiegare teoricamente questa leggera mancanza rispetto al numero intero nel caso di stazioni dispari (per es nel caso di 39 stazioni vengono fuori 38,987 stazioni...)
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Nemrod
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MessaggioInviato: 18 Mar 2010 09:22    Oggetto: Rispondi citando

Sir Jo ha scritto:

Citazione:
Nel caso specifico il problema è che non c'è un numero di stazioni passate pari a quelle ancora da raggiungere (compreso partenza e arrivo); con 39 stazioni totali (compreso arrivo e partenza) ci saranno 19 stazioni passate e 20 ancora da raggiungere, o 20 passate e 19 da raggiungere; e sia dopo la 19 che dopo la 20 ci saranno sempre 380 viaggiatori (19*20 o 20*19 è uguale), e facendo la radq di 380 e moltiplicato per 2 vien fuori un numero non intero; nel caso invece di di 38 stazioni totali subito dopo la stazione 19 la situazione sarà di 19 stazioni passate e 19 stazioni ancora da raggiungere, e in questo caso infatti il numero massimo di passeggeri è 361, la cui radq è 19 che moltiplicato per 2 fa esattamente 38 stazioni (comprese partenza e arrivo); mi chiedo come spiegare teoricamente questa leggera mancanza rispetto al numero intero nel caso di stazioni dispari (per es nel caso di 39 stazioni vengono fuori 38,987 stazioni...)


Citazione:
Lo stesso valore che risulta a me calcolando la radice quadrata di 1520 e non di 1521... Qualcosa non torna allo stesso identico modo... Sad
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Salmastro
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MessaggioInviato: 18 Mar 2010 12:01    Oggetto: Rispondi citando

Nemrod ha scritto:


Citazione:
Lo stesso valore che risulta a me calcolando la radice quadrata di 1520 e non di 1521... Qualcosa non torna allo stesso identico modo... Sad


come dicevo prima, c'è qualcosa di errato nel tuo risultato, dal punto di vista formale, più che numerico.

qualora nessun altro intervenisse, posterò domani la mia opinione sul quesito.


L'ultima modifica di Salmastro il 19 Mar 2010 12:26, modificato 1 volta
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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MessaggioInviato: 18 Mar 2010 21:58    Oggetto: Rispondi citando

Provo ad anticipare Salmastro... Wink
Citazione:
Numeriamo le stazioni da 0 a N, dove 0 è la partenza e N è l'arrivo. Il numero totale di stazioni è N+1.
Stazione 0 (partenza): salgono N passeggeri, ne scendono 0
Stazione 1: salgono N-1, scendono 1
Stazione 2: salgono N-2, scendono 2
...
Stazione N-1: salgono 1, scendono N-1
Stazione N: salgono 0, scendono N
Alla stazione i-esima il numero di passeggeri aumenta di (N-i)-i = N-2i
Il numero di passeggeri sul battello dopo la stazione n-esima si ottiene facendo la sommatoria per i da 0 a n di (N-2i):
P(n) = sum(i da 0 a n) di (N-2i) = N(n+1)-2n(n+1)/2 = (n+1)(N-n)
Derivando come se fosse una funzione continua si ottiene il massimo per n=(N-1)/2, valido se N è dispari. Se N è pari, invece, il massimo si ottiene per n=N/2 e n=N/2-1.
N dispari: sostituendo n=(N-1)/2 si ottiene: P(n) = (N+1)(N+1)/4 = 380 che non ha soluzioni intere
N pari: sostituendo n=N/2 si ottiene: P(n) = (N+2)N/4 = 380 che ha soluzioni N = -40 e N=38.
Ovviamente l'unica accettabile è N=38 e il numero totale di stazioni compresa la partenza risulta N+1 = 39
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Salmastro
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MessaggioInviato: 19 Mar 2010 12:40    Oggetto: Rispondi citando

Jowex ha scritto:
Provo ad anticipare Salmastro... Wink
Citazione:
Numeriamo le stazioni da 0 a N, dove 0 è la partenza e N è l'arrivo. Il numero totale di stazioni è N+1.
Stazione 0 (partenza): salgono N passeggeri, ne scendono 0
Stazione 1: salgono N-1, scendono 1
Stazione 2: salgono N-2, scendono 2
...
Stazione N-1: salgono 1, scendono N-1
Stazione N: salgono 0, scendono N
Alla stazione i-esima il numero di passeggeri aumenta di (N-i)-i = N-2i
Il numero di passeggeri sul battello dopo la stazione n-esima si ottiene facendo la sommatoria per i da 0 a n di (N-2i):
P(n) = sum(i da 0 a n) di (N-2i) = N(n+1)-2n(n+1)/2 = (n+1)(N-n)
Derivando come se fosse una funzione continua si ottiene il massimo per n=(N-1)/2, valido se N è dispari. Se N è pari, invece, il massimo si ottiene per n=N/2 e n=N/2-1.
N dispari: sostituendo n=(N-1)/2 si ottiene: P(n) = (N+1)(N+1)/4 = 380 che non ha soluzioni intere
N pari: sostituendo n=N/2 si ottiene: P(n) = (N+2)N/4 = 380 che ha soluzioni N = -40 e N=38.
Ovviamente l'unica accettabile è N=38 e il numero totale di stazioni compresa la partenza risulta N+1 = 39


...e bene fai! Very Happy Applause Applause Applause

in effetti è paro paro quello che avrei scritto io, osservando che anche Nemrod era arrivato vicinissimo alla formula corretta (nella sua, non so perchè, c'è un segno errato), ma aveva fornito il risultato numerico corretto...per cui un Applause lo merita pure lui!

@ Sir Jo: la tua osservazione sulla relazione fra il massimo dei presenti ed il numero delle stazioni è corretta, diciamo...a metà, ché bisogna distinguere due casi (quelli di cui parla Jowex alla fine del suo post)
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ulisse
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MessaggioInviato: 29 Mar 2010 18:49    Oggetto: Re: Ol' Man River Rispondi citando

Stavo leggendo il quesito e facendo conti su conti per risolverlo, quando alle mie spalle è comparso il signor Sgasu, il portiere sardo, per consegnarmi un telegramma.
Ecco cosa mi ha detto:
"Mi scusi signor Ulisse se mi permetto. 380 è il doppio di 190 che "non a caso" è la somma dei primi 19 interi. Il suo doppio è esattamente il numero di stazioni esclusa una. Quindi in totale ci sono 39 stazioni. Perché tutti quei conti per arrivarci?"
Shocked Shocked Shocked Shocked Shocked
Ho provato a chiedere spiegazioni ma Sgasu non mi ha più parlato.
Qualcuno sa dirmi da dove ha tirato fuori questa soluzione?
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Salmastro
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MessaggioInviato: 31 Mar 2010 10:56    Oggetto: Rispondi

Beh, Sir Jo aveva già notato che 380=19*20 e gli bastava un passettino per mostrare che, dividendo a membro a membro per 2 si otteneva:

380/2 = 190 = [19*(19+1)]/2, che è la somma “gaussiana" dei primi 19 interi.

Credo che la ratio del tutto derivi da quanto scrive Jowex e cioè che

Citazione:
il numero dei passeggeri presenti P(n), ove n è la stazione n-sima dopo quella di partenza è dato da:

P(n) = sum(i da 0 a n) di (N-2i) = N(n+1)-2n(n+1)/2 = (n+1)(N-n)

che, è una parabola, con massimo “centrale” ed, in particolare, se N è pari (nel nostro caso, s’è visto, vale 38, 39 essendo tutte le stazioni, partenza ed arrivo comprese) il massimo si ha per n=N/2
Sostituendo nel grassettato, e imponendo P(N/2)=380, otteniamo:
380 = (N/2 + 1)*(N – N/2) = (N/2 + 1)*(N/2)
Dividendo entrambi i membri per 2, si ha: (N/2 + 1)*(N/2) = 190,
vale a dire si verifica che 190 (=380/2) è la somma dei primi N/2 interi.


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