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La pulce ballerina
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Autore Messaggio
Zeus
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Registrato: 21/10/00 01:01
Messaggi: 12715
Residenza: San Junipero

MessaggioInviato: 12 Gen 2010 22:36    Oggetto: La pulce ballerina Rispondi citando

Una pulce si muove con salti di 1 cm in avanti o in indietro. La probabilità di fare un salto 1 cm in avanti è p; la probabilità di fare un salto 1 cm all'indietro è (1-p). Sappiamo anche che p è compresa tra 0,5 e 1 (esclusi gli estremi).

1) Qual è la velocità della pulce (espressa in funzione di p)?

2) Quante volte (in media) la pulce si troverà lontana 1 cm dal punto iniziale? E 2 cm? E n cm?

3) Qual è la probabilità che, dopo 2n salti, la pulce si trovi nuovamente al punto di partenza?
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dart
Eroe
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Registrato: 24/02/09 12:06
Messaggi: 74

MessaggioInviato: 13 Gen 2010 23:54    Oggetto: Rispondi citando

Un enigma ancora senza risposta!! Smile
Probabilmente risponderò poi anche qualche enigma già risolto, per ora spero di non fare una brutta figura! Smile

Le formule non sono certo il mio forte, comunque...

Riguardo la prima domanda, penso che la pulce si muova ad una velocità di:
Citazione:
2(p-0.5)cm ad ogni passo


Alle altre domande temo di non saper rispondere...
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 14 Gen 2010 00:25    Oggetto: Rispondi citando

dart ha scritto:
Riguardo la prima domanda, penso che la pulce si muova ad una velocità di:
Citazione:
2(p-0.5)cm ad ogni passo

Alle altre domande temo di non saper rispondere...


secondo me, hai ragione Very Happy

o, almeno, il tuo risultato coincide col mio Rolling Eyes ...infatti:

Citazione:
per prima cosa, senza perdere in generalità, poniamo come unitario il tempo che la pulce impiega per compiere un salto, detto questo osserviamo che in n salti la pulce ne compirà np in avanti e n(1-p) all'indietro, ognuno di 1 cm.
attribuiamo il segno più ai primi (in ogni salto la pulce avanza di un cm.), il segno meno a quelli del secondo tipo (in ognuno di questi indietreggia di un cm).
Alla fine la distanza percorsa S, nel tempo T=n, è data da S=np-n(1-p)=2np-n=n(2p-1)
da cui V=S/T= n(2p-1)/n = 2p -1


per gli altri due quesiti credo che

Citazione:
un sapiente uso del triangolo di Tartaglia/Pascal/Newton possa tornare utile...
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Salmastro
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Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 15 Gen 2010 11:58    Oggetto: Rispondi

Dato che nessuno si fa avanti, vi sottopongo una mia proposta di soluzione dei punti 2 e 3

Si chiedeva: 2) Quante volte (in media) la pulce si troverà lontana 1 cm dal punto iniziale? E 2 cm? E n cm?

Citazione:
Direi per prima cosa di distinguere i casi in cui la distanza è espressa da un numero pari da quella data da un numero dispari.

il primo caso (d=pari) sarà possibile solo con un numero pari di salti, vale a dire con N=2k (e con d=2h)

in questo caso la pulce dovrà compiere un numero di salti “positivi” (in avanti) tali che la differenza con quelli “negativi” (all’indietro) sia pari a d, vale a dire S(+)=k+h e S(-)=k-h
Infatti la somma S(+)+S(-)=2k=N, mentre la differenza S(+)-S(-)=2h=d.
Se la distanza dal punto zero è intesa in valore assoluto dovremo considerare anche il caso inverso:
S(-)=S(+)+d.

Detto questo, il passaggio alla distribuzione binomiale è naturale:

P(d) = C(N, k+h)*p^(k+h)*(1-p)^(k-h)

e

P(-d) = C(N, k-h)*p^( k-h)^(1-p)^(k+h)

La somma dei due ci dà P(|d|)

C(a,b) sono i coefficienti binomiali, desumibili dal noto triangolo, e tali che C(a,b)=a!/[b!*(a-b)!]

Se d è dispari, allora N=2k+1 e d=2h+1, da cui S(+)=k+h+1; S(-)=k-h
Tutti ragionamenti e le formule sono formalmente analoghe a quelle del caso d=pari.

Il quesito 3), alla luce di quanto sopra, è un caso particolare di d=pari

In particolare, avremo S(+)=n; S(-)=n, da cui

P(0)= C(2n,n)*p^n*(1-p)^n
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