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* Scacchiere again
Nuovo argomento   Rispondi    Indice del forum -> Enigmi e giochi matematici
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Autore Messaggio
Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 17 Dic 2009 13:35    Oggetto: * Scacchiere again Rispondi citando

Abbiamo davanti la solita scacchiera 8x8, di forma, evidentemente, quadrata, ma..., ci chiediamo, quanti quadrati ci sono in una scacchiera?

Non dovrebbe essere difficile generalizzare ad una scacchiera NxN, forse è più difficile trovare una formula "semplice", che contenga solo N...

(N.B.: si precisa che, per quanto ovvio, i quadrati da cercare hano i vertici sui vertici delle singole caselle e che i loro lati sono paralleli a quelli della scacchiera stessa)
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Scrigno
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MessaggioInviato: 17 Dic 2009 19:50    Oggetto: Re: Scacchiere again Rispondi citando

Dovrebbero essere:
Citazione:

204

Sommatoria dei quadrati da 1 a n dove n è il numero di quadretti.


quest' immagine contiene la soluzione
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 18 Dic 2009 14:17    Oggetto: Rispondi citando

ciao Scrigno

non mi dispiacerebbe qualche parola in più a corredo dell'immagine Wink

e, poi, a parte la (banale) generalizzazione, sarebbe interessante trovare la "formula" Rolling Eyes
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Scrigno
Semidio
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MessaggioInviato: 18 Dic 2009 19:41    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
ciao Scrigno

non mi dispiacerebbe qualche parola in più a corredo dell'immagine Wink

e, poi, a parte la (banale) generalizzazione, sarebbe interessante trovare la "formula" Rolling Eyes


Hai ragione...

Proviamo a spiegarla così:

Citazione:
Prendi il primo quadratino dove c'è scritto 64. Immagina che sia una piastrellina che puoi muovere dove vuoi. Ora immagina di spostarla verso l' alto di una casella. e poi ancora di una e così via fino a che non sei arrivato attaccato al bordo superiore. Conterai sicuramente 8 quadretti di quelle dimensioni. Ora che sei arrivato in cima, spostati a destra di una casella. Ti trovi sulla seconda colonna e su una casella che prima non avevi calcolato. Bene, quella è la nona casellaed in quella colonna, se fai la stessa cosa che hai fatto nella prima, ma verso il basso , ti accorgerai altre 8 caselle. Benone, se procedi fino alla fine ne avrai coperte 64 (come c'è scritto sul quadratino appena menzionato).

Ora tieni in "memoria" 64 perchè hai appena processato 64 quadratini di lato unitario (una casella della scacchiera).

Prendi il quadrato appena più grande (2 case x 2 case) dove c'è scritto 49. Immagina che anche questa sia una piastrella che puoi muovere e spostala di una cas verso l' alto. e poi ancora di un o verso l' lòato e poi ancora di uno verso l' alto fino a che non vai a sbattere contro il bordo alto della scacchiera. Ti renderai conto che puoi farlo 7 volte e, come prima verso destra, lo potrai fare altre 7 volte per un totale di 49 quadrati di lato 2 x 2 case della scacchiera....

Se fai la stessa cosa per tutti i quadrati fino a quello 8 per 8 avrai processato TUTTI i quadrati possibili nella scacchiera. i quali, se sommi tuti i numeri che ti escono fuori come rappresentato nella figura sopra citata, sono:
Laa sommatoria dei quadrati da 1 a n in una scacchiera ad n case di lato
Questa è la formula ma non so scriverla in matematichese Razz ... dovrei andare a cercare in rete come si scrive la sommatoria ma ora devo scppare .. magari lunedì Smile

Se invece vuoi la formula bruta tipo (n^2+n)/2 per una successione di n numeri allora ci devo pensare un attimo perchè devo costruirla Smile


Scappo ... ciao Smile
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Salmastro
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MessaggioInviato: 19 Dic 2009 23:39    Oggetto: Rispondi citando

ottimo Scrigno Very Happy

veramente impeccabile! Applause Applause Applause

e per la formula, l'ultima che hai detto. aspetto la tua "costruzione" Wink
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Roberto1960
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MessaggioInviato: 22 Dic 2009 00:43    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
ottimo Scrigno Very Happy
veramente impeccabile! Applause Applause Applause
e per la formula, l'ultima che hai detto. aspetto la tua "costruzione" Wink

Ormai Scrigno ha già dato la soluzione giusta, però ci sarebbe ancora la formula generale da dare.
Come ha scritto Scrigno la soluzione è:
Citazione:
la sommatoria da 1 a N dei quadrati dei primi N interi

Esisteva una bellissima dimostrazione di una formula che determina in funzione della sola N la somma soluzione del quesito generale per la scacchiera NxN.
Era veramente una bella dimostrazione perché si basava su una immagine in qualche modo simile a quella linkata da Scrigno.
Purtroppo la incrociai molti anni fa e adesso non me la ricordo più e non sono riuscito a ritrovarla nei meandri del mio hard disk esterno (l'appendice del mio cervello).

Però non mi andava di dare la soddisfazione a salmastro di cantare vittoria Wink e allora mi sono messo a ravanare...
Ed ecco la formula e la relativa costruzione:
Citazione:
in generale le sommatorie, come è noto a chi ha studiato l'analisi matematica, sono parenti strette degli integrali.
L'integrale di x^2 è x^3/3.
Quindi, pur non potendo generalizzare da ciò la formula per la sommatoria in questione si può ipotizzare che tale formula sia un polinomio di terzo grado in N.
Qualcosa del tipo S(N) = AN^3 + BN^2 + CN + D.
Per trovare i quattro coefficienti A, B, C, D basta calcolare
S(1)=1, S(2)=5, S(3)=14, S(4)=30.
Si trova un sistema di quattro equazioni in quattro incognite che risolto fornisce:
A=1/3, B=1/2, C=1/6, D=0,
da cui la formula cercata che si scrive:
S(N)=(1/3)N(N + 1)(N + 1/2)
Poi mi sono detto: e se qualcuno chiede "chi ci assicura che questa sia la soluzione generale del problema posto, per tutti gli N"?
Allora ho provato ad applicare il principio di induzione e ho verificato che supposta vera la formula per S(N) si ottiene per S(N+1)=S(N) + (N+1)^2 proprio l'espressione prevista dalla formula:
S(N+1)=(1/3)(N+1)(N + 2)(N + 3/2)
Provare per credere!
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Scrigno
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MessaggioInviato: 22 Dic 2009 15:10    Oggetto: Rispondi citando

Erano due giorni che cercavo di mettere insieme quetsi due concetti..
il cuadrato di un numero e la sommatoria di n numeri..
niente da fare.. poi.. arriva Roberto e mi da il lampo per digitare su google una cosa molto banael Razz
Somma di quadrati

Che porta alla formula che credo sia ricercata.
E' un peccato non averla potuta trovare con le mie mani Sad perchè è proprio la strada che aveveo imboccato ma io le sommatorie e tutti quegli scarabocchi non li capisco Sad
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Salmastro
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MessaggioInviato: 22 Dic 2009 19:24    Oggetto: Rispondi citando

@ Roberto: bene! Very Happy

bel metodo, ma la formula si vede "meglio" nel link di Scrigno, cui prometto, se nessun altro interviene, di postare due ulteriori metodi alternativi, dei quali uno ha come premessa quella della dimostrazione di Roberto e l'altra, quella che mi piace di più, è... insospettabile (o quasi Wink )
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Roberto1960
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MessaggioInviato: 23 Dic 2009 12:15    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
...di postare due ulteriori metodi alternativi, dei quali uno ha come premessa quella della dimostrazione di Roberto e l'altra, quella che mi piace di più, è... insospettabile (o quasi Wink )

Attendiamo a pié fermo!
In particolare siamo in fervida attesa di quella "insospettabile"...
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Salmastro
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MessaggioInviato: 24 Dic 2009 18:38    Oggetto: Rispondi citando

per ora, primo metodo:

Citazione:
si parte dalla considerazione-ipotesi, già fatta da Roberto, che la somma dei primi N^k sia data un (e uno solo) polinomio di grado k+1.

Infatti, per gli interi Gauss aveva trovato la formula [N*(N+1)]/2 = (N^2 + N)/2

Per i quadrati, sfruttiamo questa uguaglianza, riveniente dai prodotti notevoli:

(n + 1)^3 – n^3 = 3n^2 + 3n +1

e scriviamo N uguaglianze dello stesso tipo:

(N+1)^3 – N^3 = 3N^2 + 3N + 1
N^3 – (N-1)^3 = 3(N-1)^2 + 3(N-1) + 1
(N-1)^3 – (N-2)^3 = 3(N-2)^2 + 3(N-2) +1
……
3^3 – 2^3 = 3*2^2 +3*2 + 1
2^3 – 1^3 = 3*1^2 + 3*1 +1

Se sommiamo membro a membro, si ottiene:

(N+1)^3–1^3=SUM(n)[3n^2]+SUM(n)[3n]+SUM(n)[1]=3*SUM[n^2]+3*SUM(n)[n]+SUM(n)[1]

Dove con SUM(n)[Xn] si indica la sommatoria dei vari Xn, con n che va da 1 a N.

Riscrivendo e sfruttando la “formula” di Gauss, si ottiene (indicheremo con SQ la somma dei quadrati, nostra incognita):

N^3 + 3N^2 +3N = 3*SQ +3*[N*(N+1)]/2 + N = 3*SQ + 3(N^2)/2 + 3N/2 + N

Da cui

SQ = 1/3*(N^3 + 3(N^2)/2 + N/2 = 1/6*(2N^3 + 3N^2 +N) = N*(N+1)(2N+1)/6

che è il risultato cercato!

Per il secondo metodo, do un indizio: 2N + 1 = (N+2) + (N-1) per cui possiamo riscrivere il risultato trovato in questo modo:

SQ = N*(N+1)*(N+2)/6 + (N-1)*N*(N+1)/6…
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Salmastro
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MessaggioInviato: 30 Dic 2009 12:50    Oggetto: Rispondi citando

E veniamo, con colpevole ritardo, al secondo metodo, che, onestamente, più che una dimostrazione è quasi una constatazione.

In sostanza il problema originale è analogo a quello del fruttivendolo che costruisce una piramide a base quadrata con le sue arance e vuole sapere quante gliene servono per ottenerne una di N piani.
Sta di fatto che, dopo un po’, il negoziante si accorge che…

Citazione:
con lo stesso numero di arance riesce a costruire ben due piramidi a base triangolare (due tetraedri) delle quali una con N piani e l’altra con N-1. Come mai?
Semplice: se nel primo caso usiamo dei quadrati, nel secondo dei triangoli (equilateri, o, per “comodità”, è meglio dire rettangoli isosceli), ed è praticamente ovvio affermare che con due triangoli rettangoli e isosceli (e congruenti) si possa ottenere un quadrato. Nel nostro caso doppiamo, però, apportare una piccola correzione.
Per prima cosa diciamo che un numero naturale Q è un numero quadrato se e solo se è possibile disporre Q punti a formare un quadrato ed inoltre che un numero T è un numero triangolare se è rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme formato da Q punti con è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo equilatero. In sostanza a partire da 1, per ottenere il numero triangolare di ordine k, aggiungiamo a mano a mano “strisce” formate da punti la cui quantità è data dagli interi comprese fra 1 e k.

Numeri triangolari: qui Numeri quadrati: qua

Il valore del numero triangolare di ordine k ci è noto, ché trattandosi, sostanzialmente, della somma dei primi k interi Gauss ci insegna essere pari a k*(k+1)/2.

Nel nostro caso, unendo lungo la diagonale due di questi triangoli con l’accortezza che se uno è di ordine k l’altro deve essere di ordine k-1, otteniamo un quadrato.

Infatti: k*(k+1)/2 + (k-1)*k/2 = k*(k+1 + k-1)/2 = k^2

Per cui il nostro fruttivendolo per ricavare due piramidi usa questo trucco: “taglia” i quadrati!
Se riusciamo a calcolare la somma dei primi numeri triangolari, otterremo anche la somma dei quadrati: Q(k) = T(k) + T(k-1) e, magari, è più agevole!

Beh, tutto parte dall’unità: aggiungendo unità ad unità si ottengono gli interi, aggiungendo intero ad intero i numeri triangolari, aggiungendo triangoli a triangoli i numeri “tetraedrici”…

Ora un intero n si può scrivere come C(n,1) = n![(n-1)!*1!] = n {C sono i coefficienti binomiali}
L’n-simo triangolare come C(n+1, 2) = (n+1)!/[(n+1-2)!*2!] = (n+1)*n/2
…e se i tetraedrici fossero dati da C(n+2, 3)?

Ebbene, sì: per come sono costruiti i coefficienti binomiali (o, per meglio dire, per come è costruito il triangolo di Tartaglia-Newton-Pascal) accade proprio quello che avevamo subdorato:

un’immagine è meglio di tante parole: QUI

vale giusto rimarcare che il triangolo di TNP si costruisce in modo tale che C(n,k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)

per cui, l’n-simo tetraedrico vale n*(n+1)*(n+2)/6 e l’n-simo “piramidale a base quadrata” (la somma dei primi n quadrati) vale:

n*(n-1)*(n+2)/6 + (n-1)*n*(n+1)/6 = n*(n+1)*(2n+1)/6


mi scuserete per la prolissità (ma anche per la mancanza di un "vero" colpo di scena), e per farmi perdonare, vogliate gradire i miei auguri per un giocoso ed enigmatico 2010 Very Happy
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MessaggioInviato: 05 Gen 2010 21:02    Oggetto: Rispondi

P.S.:

ho ritrovato un mio vecchio appunto Rolling Eyes

buona Epifania a tutti! Very Happy
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