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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 24 Ott 2009 10:13 Oggetto: * Le coccinelle innamorate |
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Quattro coccinelle (A, B, C, D) occupano i vertici di un quadrato di venti centimetri di lato.
A e C, che stanno su vertici opposti, sono maschi, B e D femmine. Contemporaneamente la coccinella A si sposta verso la coccinella B, B verso C, C verso D e D verso A.
Supponendo che tutte e quattro si spostino costantemente con la stessa velocità, che figura percorrono nel loro cammino?
E, ancora, quando deve camminare ogni coccinella prima dell'eventuale incontro con le altre, o con almeno una delle altre? |
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Zeus
Amministratore
Registrato: 21/10/00 01:01
Messaggi: 12771
Residenza: San Junipero
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| Inviato: 24 Ott 2009 10:42 Oggetto: |
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| Citazione: | | La figura è un quarto di circonferenza. Segue che il cammino percorso è 2πr/4=31,4 cm |
| Citazione: | | Queste coccinelle sono un po' troppo politically correct, ci vorrebbe una coccinella gay. Va beh che quando si incontrano fanno una cosa a quattro. |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 24 Ott 2009 11:27 Oggetto: |
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| zeussino ha scritto: | | Citazione: | | La figura è un quarto di circonferenza. Segue che il cammino percorso è 2πr/4=31,4 cm |
 (ma l'idea non è da buttare  )
| Citazione: | | Queste coccinelle sono un po' troppo politically correct, ci vorrebbe una coccinella gay. Va beh che quando si incontrano fanno una cosa a quattro. |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 24 Ott 2009 12:29 Oggetto: Re: Le coccinelle innamorate |
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A me viene in mente | Citazione: | l'avatar di zeussino....
e le coccinelle non si incontreranno mai!
Però non l'ho dimostrato...  |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 24 Ott 2009 12:36 Oggetto: Re: Le coccinelle innamorate |
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| Jowex ha scritto: | A me viene in mente | Citazione: | l'avatar di zeussino....
e le coccinelle non si incontreranno mai!
Però non l'ho dimostrato... |
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bella idea  (ma devo focalizzarlo meglio )
per la risposta 2: (ma è tutto da vedere ) |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 25 Ott 2009 02:06 Oggetto: Re: Le coccinelle innamorate |
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| salmastro ha scritto: |
Quattro coccinelle (A, B, C, D) occupano i vertici di un quadrato di venti centimetri di lato.
A e C, che stanno su vertici opposti, sono maschi, B e D femmine. Contemporaneamente la coccinella A si sposta verso la coccinella B, B verso C, C verso D e D verso A.
Supponendo che tutte e quattro si spostino costantemente con la stessa velocità, che ?figura? percorrono nel loro cammino?
E, ancora, quando deve camminare ogni coccinella prima dell?eventuale incontro con le altre, o con almeno una delle altre? |
DAi dati forni è ovvio che:
| Citazione: |
1-LA figura percorsa è lungo il quadrato quindi se fanno solo un trasferimento (cioè chi è in A va in B; chi è in B passa in C, chi in C va in D e chi era in D ora si trova in A ) allorala figura disegnata è un segmento rettilineo di 20 cm se ricordo bene il lato del quadrato su menzionato.
Se invece il movimento è perpetuo allora compieranno la figura di un quadrato di lato 20 cm.
Per quando una o più coccinelle incontrerà un o più delle altre coccinelle; anche quì la risposta è gia nei dati. Se si muovono all' onisono e di moto costante ed uguale allora nessuno incntrerà nessuno. |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 25 Ott 2009 11:22 Oggetto: |
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Attenzione, Scrigno...
i dati non indicano che chi si trova in A vada verso il punto B, ma che la coccinella A si diriga verso quella B etc: le lettere sono relative agli insetti, non ai vertici del quadrato! |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 25 Ott 2009 18:40 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | Attenzione, Scrigno...
i dati non indicano che chi si trova in A vada verso il punto B, ma che la coccinella A si diriga verso quella B etc: le lettere sono relative agli insetti, non ai vertici del quadrato! |
cavoli! Capisco sempre orecchie per mastelle....
Ad occhio e croce direi:
| Citazione: |
Una spirale ma mi sa che devo cercare di disegnarla per capirne mene l' andamento. perchè le 4 coccinelle si avvicinerebbero al centro formando qualcosa con 4 bracci un pò come un diaframma di una macchina fotografica... quindi direi che si incontranno allo stesso momento tutte e 4 al centro del quadrato....
Mi sta venendo in mente anche un altro disegno dove c'erano molti quadrati spiraleggianti uno dentro l' altro .. chissà.. vabbè ci provo... |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 26 Ott 2009 00:51 Oggetto: |
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link
| Citazione: |
Essendo la velocità costante tra loro resta sempre un quadrato che ruota, ogni 1/4 di giro del quadrato le coccinelle sono lontane 1/4 della distanza precedente ed anno percorso 3/4 della distanza totale.
Alla fine si incontreranno al centro percorrendo ognuna 20cm e ruotando infinite volte attorno al centro, ma forse si fermeranno prima di toccarsi per evitare inutili giramenti di testa.
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 26 Ott 2009 12:40 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | | link |
sì, ma di che "tipo"? e perchè?
| massive X ha scritto: |
Essendo la velocità costante tra loro resta sempre un quadrato che ruota, ogni 1/4 di giro del quadrato le coccinelle sono lontane 1/4 della distanza precedente ed anno percorso 3/4 della distanza totale.
Alla fine si incontreranno al centro percorrendo ognuna 20cm e ruotando infinite volte attorno al centro, ma forse si fermeranno prima di toccarsi per evitare inutili giramenti di testa.
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vero che si può fare senza calcoli, ma non ho compreso la ratio  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 26 Ott 2009 13:09 Oggetto: |
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| Citazione: |
Spirale mirabils o logaritmica per i non adepti alla setta, ecco un documento esauriente sull'argomento, utile anche a chi volesse cimentarsi nella navigazione dei missili:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmica-DeFusco.pdf
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 26 Ott 2009 13:13 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | | Citazione: |
Spirale mirabils o logaritmica per i non adepti alla setta, ecco un documento esauriente sull'argomento, utile anche a chi volesse cimentarsi nella navigazione dei missili:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmica-DeFusco.pdf
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sì, ma perchè proprio questa e non quell'altra ? |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 29 Ott 2009 11:09 Oggetto: |
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mi permetto di insistere:
è vero quello intuito da Jowex e quello che ci dice Massive sulla natura della figura percorsa dalle quattro coccinelle (nel suo link se ne parla a pg.11 e, fra parentesi, a pag. 32 c'è una figura che giustifica il fatto che l'idea di Zeussino non era da buttare ), ma, mi chiedo, perchè proprio quella è la figura?
perchè proprio la
| Citazione: | | spirale logaritmica, la cui equazione è r = abθ |
e non:
| Citazione: | la spirale archimedea: r = a + bθ oppure
la spirale di Fermat: r = √θ oppure
la spirale iperbolica: r = a/θ oppure
il lituo: r = 1/(θ^1/2) |
Rimane, secondo me, anche irrisolto il quesito sulla lunghezza del percorso, se non sul risultato quantomeno sulla sua giustificazione.
Del caso, prometto di postare la mia idea nel fine settimana |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 02 Nov 2009 12:53 Oggetto: |
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Espongo, come promesso, le mie idee a riguardo
QUI la mia solita brutta figura...
| Citazione: | come tutti hanno evidenziato, si tratta di un problema a simmetria centrale, laddove il centro di simmetria è quello del quadrato (punto d’incontro delle diagonali) ovvero, ma è la stessa cosa, il centro della circonferenza circoscritta al poligono. In virtù di tale simmetria il percorso di tutti e quattro insetti sarà lo stesso ed è lecito affermare che, istante per istante, essi si troveranno ai vertici di un quadrato (contenuto nel “precedente”) ovvero sulla circonferenza ad esso circoscritta (concentrica alla “precedente”). Che il singolo percorso sia un qualcosa con andamento spiraleggiante e che i quadrati diventino sempre più piccoli sino a “collassare” nel centro è cosa evidente, non altrettanto palese è la natura della spirale ed è quello che cercherò di mostrare, riferendomi alla figura linkata.
All’istante t=0 le coccinelle sono nei vertici A,B,C,D; all’istante t=1 possiamo ritenere che il vettore R (che congiunge A al centro O) sia ruotato di un angolo α. Possiamo ritenere che il movimento di A verso B si svolga lungo il lato AB (corda della circonferenza) e che A si trovi, adesso, nella posizione A’.
Esaminando il triangolo OAA’, si nota che esso è completamente determinato, poiché conosciamo i tre angoli (vedi figura) ed un lato (OA = 10*sqr[2]), da cui otteniamo che R(1)=K*R(0).
Ruotiamo ancora di un angolo α: all’istante t=2, avremo un nuovo triangolo OA’A”, simile al precedente, per il quale R(2)=K*R(1)=R(0)*K^2 e così via.
Per un t generico potremo scrivere che R(t)=R(0)*K^t, che è l’equazione di una spirale logaritmica. |
Per quanto riguarda, invece, la lunghezza del percorso:
| Citazione: | poiché a qualsiasi istante le 4 coccinelle individuano i vertici di un quadrato che si restringe e ruota a mano a mano che si avvicinano tra loro , il percorso di ogni inseguitore sarà sempre perpendicolare a quello dell’inseguito. Questo ci dice che mentre A, per esempio, si avvicina a B non vi è alcuna componente del moto di B che lo avvicini o lo allontani da A (sono moti fra loro perpendicolari); di conseguenza A raggiungerà B nello stesso tempo che occorrerebbe se B rimanesse fermo. La lunghezza di ogni braccio di spirale è la stessa del lato del quadrato: 20 centimetri.
N.B.: tale risultato è vero solo nel caso del quadrato, se le coccinelle fossero N, disposte sui vertici di un poligono di N lati, il risultato non sarebbe pari al lato del poligono, ma, comunque, ad esso proporzionale e dipendente dall’ampiezza degli angoli interni.
Secondo me, magari limitandoci al triangolo, sarebbe un calcolo da fare… |
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