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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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 Inviato: 30 Set 2009 18:00 Oggetto: Dalle nove alle dieci |
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La mia amica Agatina mi ha raccontato questa breve vicenda che si svolge a King?s Abbot, un ameno paesino inglese, ed io, a mia volta, ve la propongo.
Due amici, Mr. Roger Ackroyd, ricco proprietario, ed il Dr. James Sheppard, si danno appuntamento per la sera del giorno dopo: si troveranno fra le 9 e le 10 davanti al ristorante.
L?accordo è che il primo che arriva aspetterà il secondo per, al massimo, 10 minuti e poi, se l?altro non si è ancora presentato, se ne andrà.
Un loro conoscente, un pensionato belga che passa il tempo coltivando zucche, ascolta la discussione e si chiede quale sia la probabilità che i due amici si incontrino.
Lo vogliamo aiutare a risolvere questo "misterioso" problema? |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 30 Set 2009 22:23 Oggetto: |
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ben volentieri.
| Citazione: | | carissimi roger e james, che ne dite di fissare un appuntamento più preciso? tipo dalle 9 alle 9 e un quarto? |
seriamente, adesso ci penso un po' su.
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uomodeighiacci
Dio minore
Registrato: 01/01/09 19:29
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| Inviato: 01 Ott 2009 08:27 Oggetto: |
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do una "quasi" soluzione (non sono tanto bravo con le probabilità..)
| Citazione: | | Io arrivo diciamo alle 9:20 e aspetto 10 minuti, incontrerò il mio amico se lui arriva in un intervallo compreso tra le 9:10 e le 9:30, infatti anche lui mi aspetta per 10 minuti. Quindi ho 20 possibilità su 60 di incontrarlo = 1/3. Io però non so se mi troverò davanti al ristorante mentre anche il mio amico si trova lì. La possibilità che 2 eventi si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle singole probabilità. (1/3)*(1/3)=1/9 |
Ora mi chiedo: e se io arrivassi alle 9:00? Ora avrei solo 10 minuti per incontrare il mio amico non più 20 minuti. La propbabilità che ho di incontrarlo dalle 9:00 alle 9:10 è diversa da quella che ho dalle 9:10 alle 10:00? E se arrivassi alle 9:03? Quante probabilità avrei? 13 su 60?? meglio non pensare troppo..  |
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spikexx84
Dio minore
Registrato: 15/09/09 08:58
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Residenza: Darfo Boario Terme (BS)
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| Inviato: 01 Ott 2009 10:08 Oggetto: |
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Umhh per me
| Citazione: | | Mhh.... ms sembra troppo semplice, la cosa importante è che il secondo che arriva arrivi entro dieci minuti da quando è arrivato il primo quindi abbiamo che su 60 possibilità (60 minuti) 50 sono negative e 10 positive, falciamo gli zeri e abbiamo 1/6 |
No no troppo facile, dove sbaglio? |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 01 Ott 2009 14:13 Oggetto: |
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| Citazione: | Supponendo che il primo dei due amici arrivi alle 9:00 in punto; il secondo può arrivare, al massimo entro le 9:10
se il primo arriva alle 9:10 l' altro dovra arrivare entro le 9e20... e così via dicendo...
Credo che si possa semplificare la cosa dicendo che ci sono 6 spezzoni di tempo, entro i quali i due amici possono incontrarsi...
1° 09:00 - 09:10
2° 09:10 - 09:20
3° 09:20 - 09:30
4° 09:30 - 09:40
5° 09:40 - 09:50
6° 09:50 - 10:00
Quindi la probabilità che uno dei due amici rientri in un certo spezzone è di 1 su 6
e lo è anche per il secondo amico
(Se Fossi il DM di D&D userei due dadi a sei facce per definire l'esito di questo avvenimento  )
Se le mie considerazioni sono giuste; direi che le possibilità che si incontrino sono 6 su 36 quindi 100/36*6= 16,6...6%
Si noti che se gli spezzoni si, ad esempio, raddoppiano (12 spezzoni da 5 minuti.)
1° 09:00 - 09:05
2° 09:05 - 09:10
3° 09:10 - 09:15
4° 09:15 - 09:20
5° 09:20 - 09:25
6° 09:25 - 09:30
...
12° 09:55 - 10:00
Il primo che arriva, Naturalmente arriverà in uno solo di questi spezzoni quindi 1 su 12
Ma il secondo, avendo a disposizione 10 minuti potrà arrivare, sui 12 a disposizione, su due spezzoni (quello di arrivo del primo amiico e quello successivo).
Se per esmpio il primo arriva tra le 09:20 e le 09:25 il suo amico potrà arrivare sia tra le 09:20 - 09:25 ma anche tra le 09:25 - 09:30 e questo lo porta a poter azzeccare 2 possibilità sulle 12 possibili
in soldoni porta questa nuova configuarazione a 24 possibili riuscite su 144 complessive che, guarda caso sono sempre = 6/36 = 16,6...6%
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Zeus
Amministratore
Registrato: 21/10/00 01:01
Messaggi: 12771
Residenza: San Junipero
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| Inviato: 01 Ott 2009 15:03 Oggetto: |
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| Citazione: | | Quasi una probabilità su tre |
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Zeus
Amministratore
Registrato: 21/10/00 01:01
Messaggi: 12771
Residenza: San Junipero
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| Inviato: 01 Ott 2009 15:31 Oggetto: |
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| Citazione: | Il primo che arriva si ferma ad aspettare l'altro.
Se A arriva al minuto 0, B puo' incontrarlo se arriva dai minuti 0 a 9. Quindi 10 volte su 60 si incontrano.
Se A arriva al minuto 1, B puo' incontrarlo se arriva dai minuti 1 a 10, ma i due si incontrano anche se B era gia' li' al primo minuto. Quindi si incontrano 11 volte su 60.
Se A arriva al minuto 2, B puo' incontrarlo se arriva dai minuti 2 a 11, ma si incontrano anche se B era gia' li' ai minuti 1 e 2. Quindi in questo caso 12 volte su 60.
[...]
Se A arriva al minuto 10, B puo' incontrarlo se arriva dai minuti 10 a 19, ma si incontrano anche se B era gia' li' dal minuto 0 al minuto 9. Quindi in questo caso 20 volte su 60.
[...]
Quindi se A arriva tra i minuti 10 e 49, le probabilita' che incontri B sono 20/60 cioe' 2/3.
Negli altri minuti (tra 0 e 9 e poi tra 50 e 59) le probabilità scendono gradatamente a 1/3.
Quindi la probabilita' totale è (2*10/60 + 2*11/60 + 2*12/60 + 2*13/60 + 2*14/60 + 2*15/60 + 2*16/60 + 2*17/60 + 2*18/60 + 2*19/60 + 40*20/60)/60
cioe'
2*(10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20*20)/(60*60)
cioe'
2*(145+400)/3600 = 0.30277
cioe' un po' più di 3 probabilità su 10, o quasi una probabilità su 3
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 01 Ott 2009 16:07 Oggetto: |
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Ma dobbiamo considerare i calcoli al minuto o al secondo?
| Citazione: |
Prendiamo in considerazione il momento di arrivo di entrambi. Nel caso uno arrivi tra le 9.10 e le 9.50 le probabilità di incontrarsi sono 1/3. Nei casi tra le 9.00 e le 9.10 le probabilità vanno da 1/6 ad 1/3 con media di poco meno di 1/4 (24.2%). Lo stesso vale per gli ultimi 10 minuti, quindi una media totale sarebbe quasi 11/36.
Se però considerassimo che sia davvero molto stupido arrivare dopo le 9.50 sapendo di dover aspettare 10 minuti, si possono escludere questi ultimi e la media si alzerebbe a quasi 19/60, praticamente 1/3, precisamente 31.5%.
Suppongo il problema possa concludersi con una risposta di 31.5% di incontro, però se entrambi fossero intelligenti, sapendo che nessuno dei due arriverà dopo le 9.50 giungerebbero alla conclusione che sia intelligente non giungere dopo le 9.40 per lo stesso motivo di prima; a questo punto cosa vieterebbe di iterare il ragionamento e far scegliere ad entrambi di non arrivare dopo le 9.10?
Dato che sono così furbi immagineranno che si incontreranno sicuramente e dunque perché arrivare tanto prima delle 9.10 e rischiare di aspettare ogni giorno fino a 10 minuti?
Morale della storia se sono intelligenti si incontreranno sicuramente sempre (escluso grandi imprevisti non contemplati dal quesito) e molto probabilmente attorno alle 9.10 in base a quanto sapranno essere precisi.
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Che ve ne pare come soluzione? Vi aspetto tutti a quell'ora!  |
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Zeus
Amministratore
Registrato: 21/10/00 01:01
Messaggi: 12771
Residenza: San Junipero
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| Inviato: 01 Ott 2009 16:19 Oggetto: |
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Non concordo.
| Citazione: | Se entrambi fossimo davvero così intelligenti, arriveremo tutti e due alle 9:59:59 e, se l'altro non c'è, alle 10:00:00 andremmo via. In questo modo rischieremmo di aspettare fuori al freddo soltanto un secondo anziché 10 minuti, e anche in questo caso ci incontreremmo sempre
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 01 Ott 2009 16:25 Oggetto: |
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| zeussino ha scritto: | Non concordo.
| Citazione: | Se entrambi fossimo davvero così intelligenti, arriveremo tutti e due alle 9:59:59 e, se l'altro non c'è, alle 10:00:00 andremmo via. In questo modo rischieremmo di aspettare fuori al freddo soltanto un secondo anziché 10 minuti, e anche in questo caso ci incontreremmo sempre
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Questo sarebbe essere furbi, non intelligenti, altrimenti converrebbero che sia stupido fare in quel modo se realmente si volessere incontrare, tanto varrebbe non andarci proprio....
| Citazione: |
Almeno concorderai che sia più plausibile 63/200 anziché 109/360 come risposta.
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 01 Ott 2009 16:32 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: |
| Citazione: |
Almeno concorderai che sia più plausibile 63/200 anziché 109/360 come risposta.
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Vi ho letto dopo aver postato e mi chiedevo se volevate discuterne visto che i vostri risultati sono completamente discordanti dai miei. |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 01 Ott 2009 16:43 Oggetto: |
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In realtà facendo i calcoli in continuo anziché discreto verrebbe:
| Citazione: |
11/36 (30.5555%) considerando gli ultimi 10 minuti e 19/60 (31.6666%) non considerandoli.
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I tuoi calcoli non considerano che potrebbero arrivare in momenti non rientranti in spezzoni eppure incontrarsi, ad esempio 9.04 e 9.13, quindi le probabilità aumentano... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 01 Ott 2009 19:21 Oggetto: |
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interessante discussione 
il numero magico è, comunque, apparso
perdonatemi, ma devo leggere con calma tutti gli interventi prima di postare un "ponderato" commento (e magari un disegnino ) |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 01 Ott 2009 19:54 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | In realtà facendo i calcoli in continuo anziché discreto verrebbe:
| Citazione: |
11/36 (30.5555%) considerando gli ultimi 10 minuti e 19/60 (31.6666%) non considerandoli.
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I tuoi calcoli non considerano che potrebbero arrivare in momenti non rientranti in spezzoni eppure incontrarsi, ad esempio 9.04 e 9.13, quindi le probabilità aumentano... |
Vedi Massivex.... Forse sto per dire la cavolata del secolo ma...
| Citazione: | | Il mio calcolo discreto da lo stesso risultato, (ho provato solo con i due esempi postati e non oltre) qualsiasi sia il livello raggiunto quindi, e quì potrebbe nascere lo strafalcione, se si porta il numero di spezzoni all' infinito la valutazione non sarebbe più discreta ma continua. No? |
... purtroppo non riesco a scrivere oltre.. ho il turno alle 22 .. scappo ...  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 01 Ott 2009 22:48 Oggetto: |
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| Citazione: |
Tra le 9.10 e le 9.50 la funzione è costante, mentre tra le 9.00 e le 9.10 la derivata della funzione è costante, quindi non serve fare l'integrale per sapere la media in quanto questa corrisponde con il valore mediano del tempo, cioè le 9.05, dove appunto la probabilità è 1/4; stessa cosa per il tempo tra le 9.50 e 10.00, quindi non ci resta che fare la media totale.
Media tra le 9.00 e le 10.00 = 1/4*1/6 + 1/3*4/6 + 1/4*1/6 in quanto il tempo tra le 9.10 e le 9.50 è 4/6 del totale.
Media tra le 9.00 e le 9.50 = 1/4*1/5 + 1/3*4/5.
Non c'è bisogno di complicarsi la vita ovviamente facendo calcoli con unità discrete la media si abbasserà all'aumentare delle dimensioni dell'unità.
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 01 Ott 2009 23:25 Oggetto: |
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Concordo con il primo dei due risultati di Massive:
| Citazione: | - se il primo arriva tra le 9.10 e le 9.50, la probabilità che i due si incontrino è 20/60
- se il primo arriva alle 9 e X minuti oppure alle 10 meno X minuti, con X<10, la probabilità di incontro è (10+x)/60=1/6+X/60
Disegnando in un grafico (qua) la funzione di densità di probabilità, con in ascissa il tempo normalizzato, e in ordinata la probabilità corrispondente, la probabilità complessiva si ottiene calcolando l'area della figura (scomponendola in triangoli e quadrati), ovvero: 11/36 |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 02 Ott 2009 06:43 Oggetto: |
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| Jowex ha scritto: | Concordo con il primo dei due risultati di Massive:
| Citazione: | - se il primo arriva tra le 9.10 e le 9.50, la probabilità che i due si incontrino è 20/60
- se il primo arriva alle 9 e X minuti oppure alle 10 meno X minuti, con X<10, la probabilità di incontro è (10+x)/60=1/6+X/60
Disegnando in un grafico (qua) la funzione di densità di probabilità, con in ascissa il tempo normalizzato, e in ordinata la probabilità corrispondente, la probabilità complessiva si ottiene calcolando l'area della figura (scomponendola in triangoli e quadrati), ovvero: 11/36 |
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Anche il fatto che i primi e gli ultimi 10 minuti devono essere trattati in modo differente dai restanti centrali non riesco a capirla...
... Non riesco a trovare un punto di forza per controbattere il tuo risultato e avvalorare il mio... vedo di rileggermi tutto da capo per vedere cosa ho dimenticato oppure cosa mi sono perso.... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 02 Ott 2009 10:23 Oggetto: |
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...e stavolta la  va a...
Massive!!! 
che, nel corso dei suoi interventi, ha completamente dipanato l'apparentemente ingarbugliata matassa: fondamentale il passaggio al continuo per la risoluzione, come ben mostrato da Jowex con la sua ultima immagine.
Discreto ( ) il metodo di zeussino, che, però ha il difetto di sottostimare (e non poteva essere altrimenti) il corretto risultato.
Nel tentativo di dissipare i dubbi di Scrigno e degli altri amici che sono intervenuti, posto QUI un disegnino, spero comprensibile ed esauriente.
E' sostanzialmente una soluzione meramente grafica al quesito, che parte dallo studio della seguente relazione:
| Citazione: | 0 < | x - y | < 10
ricercando, cioè, fra i numeri compresi fra 0 e 60, quelle coppie che la soddisfano |
su quale sia il timing più "intelligente" non mi sento di dare una mia risposta, ma mi piace quella di zeussino
concludo osservando che, come narratomi dalla mia citata amica, poi i due si sono effettivamente incontrati, ma non è stata per niente un evento fortunato per il signor Roger Ackroyd... |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 02 Ott 2009 11:45 Oggetto: |
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Bel disegno ma che è successo al signor Roger Ackroyd?
Comunque ho ancora un dubbio, sapendo che se non vedi arrivare l'altro dovrai aspettare 10 minuti e che l'altro sicuramente non verrà dopo le 10, che senso ha arrivare dopo le 9.50? |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 02 Ott 2009 12:05 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | Bel disegno ma che è successo al signor Roger Ackroyd?
Comunque ho ancora un dubbio, sapendo che se non vedi arrivare l'altro dovrai aspettare 10 minuti e che l'altro sicuramente non verrà dopo le 10, che senso ha arrivare dopo le 9.50? |
se gugli "dalle nove alle dieci" lo scopri subito
...se si arriva dopo le 9.50 è vero che, qualora si giunga per primi, si riduce il range in avanti, ma se si arriva per secondi...
P.S.: e grazie per aver gradito il disegnino |
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