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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 01 Set 2009 18:13 Oggetto: * Un problema satellitare |
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Si vogliono disporre alcuni satelliti, fissi rispetto alla Terra, in modo che da ogni punto della superficie terrestre se ne veda almeno uno.
Si supponga per semplicità che la Terra sia perfettamente sferica e i satelliti puntiformi.
Quanti satelliti occorrono, come minimo, per ottenere lo scopo e perchè? |
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dart
Eroe
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| Inviato: 01 Set 2009 22:49 Oggetto: |
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senza pensarci troppo:
| Citazione: | quattro.
perchè?
immaginiamo di metterne due, lungo l'asse terrestre e quindi "sopra" ai poli.
per quanto lontani siano, dall'equatore non si vedrebbero.
immaginiamo allora di metterne tre, intorno all'equatore.
non si vedrebbero dai poli.
quindi tre sono troppo pochi.
con quattro invece, possiamo metterli in modo da formare un tetraedro, e dovrebbero essere visibili da ogni punto della terra... |
però ci penserò meglio... |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 01 Set 2009 22:51 Oggetto: |
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| Citazione: |
Se per fissi rispetto a terra intendi geostazionari la cosa non è fattibile in quanto i poli rimarranno sempre scoperti.
Trascurando i poli, se immaginiamo la proiezione dei coni di due satelliti contrapposti (180°) sulla terra si nota che rimarrà una fascia scoperta (che comprende i poli), quindi saranno necessari 3 satelliti in orbita geostazionaria nei vertici di un triangolo isoscele (120°), in tal modo i satelliti si vedranno anche tra loro risolvendo problemi di comunicazione tra gli antipodi terrestri. Da considerare che nella realtà una sola antenna non copre tutto ciò che è visibile sulla terra da satellite.
Se si escludono i problemi di gravità, l'intera superficie di una sfera può essere coperta da 4 satelliti.
PS: se i satelliti si vedono tra loro coprono anche tutta la superficie terrestre tra loro
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edit: anticipato di poco mentre scrivevo... cmq per i collegamenti bidirezionali meglio via terra  |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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| Inviato: 02 Set 2009 11:59 Oggetto: |
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secondo me il testo è da interpretare come se tutto fosse "cristallizzato":
la Terra è una sfera ferma (non puntiforme) ed i satelliti (puntiformi) sono fermi nello spazio circostante
P.S.: so la soluzione, ma non so (ancora...) il perchè  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 02 Set 2009 14:00 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | secondo me il testo è da interpretare come se tutto fosse "cristallizzato":
la Terra è una sfera ferma (non puntiforme) ed i satelliti (puntiformi) sono fermi nello spazio circostante
P.S.: so la soluzione, ma non so (ancora...) il perchè |
| Citazione: |
In tal caso mettendo i satelliti ai vertici di un solido regolare, questi saranno visibili da qualsiasi punto della superficie di un solido convesso contenuto nel primo, il solido con meno vertici è appunto il tetraedro.
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Però in tal caso non si doveva prendere ad esempio la terra e i satelliti secondo me... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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| Inviato: 02 Set 2009 17:38 Oggetto: |
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la disposizione di Massive è la stessa cui avevo pensato, però...
...manca ancora una dimostrazione rigorosa...
nel senso: va bene, ok, ma perchè non va bene una con un satellite in meno? |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 02 Set 2009 18:06 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | la disposizione di Massive è la stessa cui avevo pensato, però...
...manca ancora una dimostrazione rigorosa...
nel senso: va bene, ok, ma perchè non va bene una con un satellite in meno? |
| Citazione: |
Perchè con 3 vertici non si può disegnare un solido, ma un piano e da qualsiasi punto del piano ci sarà un punto dell'altro solido (terra) non visibile. Immagina che l'equatore si trovi su un piano finito, facendo partire una retta (o un piano) tangente alla terra che interseca il piano è evidente che non potrà mai passare per i poli poichè li la derivata è un piano parallelo a quello dell'equatore.
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Nel disegno seguente c'è il caso di 3 satelliti, in verde le zone coperte da 2 satelliti, in giallo le zone coperte da 1 satellite in rosso le zone coperte da nessun satellite.
link |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 03 Set 2009 18:30 Oggetto: |
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Sì, Massive mi ha convinto!
Comunque traduco in salmastrese la sua soluzione, così mi capisco
| Citazione: | Supponiamo di disporre 3 satelliti intorno alla terra nei punti A, B, C. I detti punti individueranno un piano <ABC>, che ovviamente, è unico.
Dal centro della sfera O conduciamo la retta perpendicolare al detto piano: siano S e N le intersezioni con la sfera.
Ci sono due casi:
1) il segmento NS (il che equivale a dire tutta la sfera) si trova in uno dei due semispazi determinati dal piano <ABC>;
2) il segmento NS interseca il piano, cioè la sfera è attraversata dal piano.
Vediamo il caso 1): diciamo che fra N ed S sia N quello con maggior distanza dal piano <ABC>.
A questo punto è immediato verificare che qualsiasi segmento che congiunga N con un punto qualsiasi del piano <ABC> (ed in particolare proprio dai punti A,B e C) intersecherà la sfera in un altro punto. Infatti N appartiene al piano tangente alla sfera e parallelo al piano <ABC>.
Per quelli che come me hanno difficoltà a ragionare in 3D, dico che in 2D la situazione è questa:
si traccino due rette parallele ed una circonferenza interamente contenuta nella striscia individuata dalle due rette e che sia tangente ad una delle rette. Qualsiasi segmento condotto da un punto dell?altra retta verso il punto di tangenza interseca la circonferenza.
Nel caso 2), invece i punti ?irraggiungibili? sono 2: N ed S. |
Fin qui, niente di nuovo?ma a questo punto mi chiedo:
supponiamo che posizionare un satellite abbia un costo proporzionale alla distanza dalla terra (diciamo dal centro, per comodità di calcolo), qual è la disposizione che rende minima la spesa?
(magari in prima battuta limitiamoci a quelle "simmetriche") |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 04 Set 2009 00:38 Oggetto: |
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| Citazione: |
Da quanto già detto si evince che, piazzando sempre i satelliti nei vertici, la soluzione è un tetraedro circoscritto alla terra e quindi con i piani passanti per tre satelliti tangenti alla terra. In tal caso ci sarebbero quattro punti coperti da tre satelliti e alcune zone da due.
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cmq il disegno di prima oltre a non essere in scala rispetto all'orbita geostazionaria è anche un po' troppo approssimato, magari domani ne faccio uno preciso di questa soluzione.... |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 04 Set 2009 09:46 Oggetto: |
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concordo con Massive 
ed avendo dimenticato di farlo prima, mi domando ora:
nella soluzione ottimale, quanto distano i satelliti dal centro della terra? |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 04 Set 2009 14:32 Oggetto: |
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| Citazione: |
Il rapporto tra raggio di una sfera inscritta nel tetraedro e il raggio della sfera circoscritta è 1/3. Quindi i satelliti distano 3 volte il raggio terrestre.
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 04 Set 2009 15:36 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | | Citazione: |
Il rapporto tra raggio di una sfera inscritta nel tetraedro e il raggio della sfera circoscritta è 1/3. Quindi i satelliti distano 3 volte il raggio terrestre.
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sarebbe bello dimostrarlo |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 04 Set 2009 15:43 Oggetto: |
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Sono andato a memoria sulle formule del tetraedro, poi invece di dimostrarlo ho iniziato a fare il disegno, ma sono un po arrugginito sul 3D ed ho fatto la proiezione di un solo satellite...
link
ecco invece la copertura sul suolo:
link
- azzurro -> satelliti
- rosso -> copertura di 3 satelliti (ci sono altri 3 punti che non si vedono)
- giallo -> copertura di 1 satellite
- verde -> copertura di 2 satelliti
ovviamente ogni satellite vede tutti gli altri
PS: link alle proprietà metriche dei solidi platonici, conoscendo lo spigolo si può calcolare il raggio della sfera inscritta, circoscritta, di quella tangente agli spigoli, nonché l'area S della superficie ed il volume V, quindi basta fare r/R. |
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dart
Eroe
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| Inviato: 08 Set 2009 22:11 Oggetto: Re: Un problema satellitare |
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| salmastro ha scritto: | Si vogliono disporre alcuni satelliti, fissi rispetto alla Terra, in modo che da ogni punto della superficie terrestre se ne veda almeno uno.
Si supponga per semplicità che la Terra sia perfettamente sferica e i satelliti puntiformi.
Quanti satelliti occorrono, come minimo, per ottenere lo scopo e perchè? |
dipende da come si interpreta il testo, la risposta potrebbe anche essere "due". come? perchè? |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 08 Set 2009 22:31 Oggetto: |
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| In tal caso i due non potrebbero essere più vicini di infinito e dunque non sarebbero visibili. |
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dart
Eroe
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| Inviato: 09 Set 2009 10:24 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | | In tal caso i due non potrebbero essere più vicini di infinito e dunque non sarebbero visibili. |
No, se si tiene conto di un particolare... o meglio, dipende come si "interpreta" la frase da ogni punto della superficie terrestre se ne veda almeno uno.
O meglio... se la si vede da un punto di vista "matematico" (geometrico) allora la risposta è quattro come avevo detto fin dall'inizio... |
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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 09 Set 2009 10:55 Oggetto: |
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ringrazio Massive per le consuete esaurienti immagini, che parlano più di mille discorsi
P.S.: chi volesse può consultare la dispensa, dedicata ai poliedri, di cui a questo link:
http://www.itgcanova.it/docenti/prof_berto/I%20Poliedri.pdf
a pag. 2 ci sono una serie di formule legate al nostro problema
PP.S: dart..non tenermi sulle spine! qual è l'altro senso, non matematico, che si può dare al testo del problema? |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 09 Set 2009 11:42 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ringrazio Massive per le consuete esaurienti immagini, che parlano più di mille discorsi
P.S.: chi volesse può consultare la dispensa, dedicata ai poliedri, di cui a questo link:
http://www.itgcanova.it/docenti/prof_berto/I%20Poliedri.pdf
a pag. 2 ci sono una serie di formule legate al nostro problema
PP.S: dart..non tenermi sulle spine! qual è l'altro senso, non matematico, che si può dare al testo del problema? |
Credo che come nel problema dell'orizzonte si può considerare una persona molto alta e con la vista acuta oppure considerare torri e telescopi... io ho considerato solo la superficie della sfera, così come ho capito dalla domanda.
PS: Interessante documento e Grazie! |
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dart
Eroe
Registrato: 24/02/09 12:06
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| Inviato: 09 Set 2009 22:28 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | Credo che come nel problema dell'orizzonte si può considerare una persona molto alta e con la vista acuta oppure considerare torri e telescopi... io ho considerato solo la superficie della sfera, così come ho capito dalla domanda.
PS: Interessante documento e Grazie! |
Esatto... era a quello che avevo pensato. 
Beh, anch'io ho pensato come prima cosa ai punti della sfera, però tecnicamente... dice "da ogni punto della superficie terrestre se ne veda almeno uno" e per vedere bisogna usare gli occhi (difficilmente guardi da sdraiato) o altri strumenti, che sono più alti.
Volendo, si potrebbe calcolare a che distanza dovrebbero essere i satelliti per essere visti per esempio da 1.80 (altezza a caso). Cosa che io non sono assolutamente in grado di fare. |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 10 Set 2009 12:05 Oggetto: |
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| Mettendo 2 satelliti in orbita geostazionaria (42.168km) mancherebbero la terra di poco meno di 80km all'equatore (cioè considerando 90°E e 90°W mettendo i satelliti a 0° e 180°) e di 100km ai poli, con 3 satelliti si ha la stessa situazione ai poli, il segnale si perde dopo gli 80-81°N/S al suolo. Mettere satelliti più lontano non ha senso in pratica. |
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