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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 14 Lug 2009 11:58 Oggetto: Come costruire un ponte! |
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Per la costruzione di un certo ponte si prevede che il costo di ogni arcata sarà di 18*(S^2) milioni di euro, dove S è la distanza in chilometri fra i due piloni di sostegno di quell?arcata,
mentre il costo di ogni pilone sarà di mezzo milione.
Se il ponte deve essere lungo 3 chilometri quale sarà il minimo costo dell?opera?
P.S.: per intenderci, il ponte sarà costruito così:
P(0)__^___P(1)__^___P(2)__.....__P(n-1)__^___P(n)
dove gli P(i) sono i piloni e le [ __^__ ] sono le arcate,
mentre la distanza fra P(0) e P(n) è pari a 3 Km
scusatemi per la "rozzezza" del disegno  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 14 Lug 2009 16:54 Oggetto: |
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| Citazione: |
Il costo minimo si ha quando un'arcata costa quanto un pilone, quindi sarà lunga RADQ( 0.5/18 ) = 166.66666m
Il costo totale è dunque 18 arcate e 19 piloni da 0.5, cioè 18.5 milioni di euro.
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 14 Lug 2009 17:17 Oggetto: |
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perchè?  |
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Jacap
Mortale devoto
Registrato: 06/07/09 15:48
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| Inviato: 18 Lug 2009 17:08 Oggetto: |
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Il risultato trovato da Massive X è corretto.  Posto qui di seguito la procedura formale che ho impiegato io per trovare tale risultato:
| Citazione: | Sia n=L/x il numero di arcate di lunghezza costante x (in km) in cui suddividiamo il ponte lungo L. Occorre a questo punto esplicitare il costo complessivo dell'opera in funzione dell'unica variabile x. Derivando poi tale funzione si potrà calcolare il valore particolare di x che la minimizza.
Il costo complessivo (in mln di euro) per costruire tutte le n arcate è:
C_arc(x)=18(x^2)*n;
Il costo complessivo per costruire gli n+1 piloni è:
C_pil(x)=0.5*(n+1);
Il costo complessivo sarà:
C(x)=C_arc(x)+C_pil(x)=18Lx+0.5*(L/x+1)
Calcoliamo la derivata prima C'(x):
C'(x)=[36L(x^2)-L]/2(x^2)
Essa si annulla per x=+/-1/6;
La derivata seconda C''(x)=L/(x^3) risulta positiva per x=1/6, che è dunque il punto di minimo cercato!
Il costo minimo dell'opera si avrà dunque realizzando il ponte con 18 arcate e 19 piloni. Il costo sarà di C(1/6)=37/2=18.5 mln di euro. |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 18 Lug 2009 17:54 Oggetto: |
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| Jacap ha scritto: |
| Citazione: | | Sia n=L/x il numero di arcate di lunghezza costante x (in km) in cui suddividiamo il ponte lungo L. |
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bisognerebbe preliminarmente dimostrare che costruire le arcate nel modo da te indicato sia quello più economico. Magari è intuitivo, ma nel testo del problema non è esplicitamente indicato. |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 26 Lug 2009 12:24 Oggetto: Re: Come costruire un ponte! |
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| salmastro ha scritto: | Per la costruzione di un certo ponte si prevede che il costo di ogni arcata sarà di 18*(S^2) milioni di euro, dove S è la distanza in chilometri fra i due piloni di sostegno di quell?arcata,
mentre il costo di ogni pilone sarà di mezzo milione.
Se il ponte deve essere lungo 3 chilometri quale sarà il minimo costo dell?opera?
P.S.: per intenderci, il ponte sarà costruito così:
P(0)__^___P(1)__^___P(2)__.....__P(n-1)__^___P(n)
dove gli P(i) sono i piloni e le [ __^__ ] sono le arcate,
mentre la distanza fra P(0) e P(n) è pari a 3 Km
scusatemi per la "rozzezza" del disegno |
Non mi pare che ci siano legami matematici tra pilone ed arcate... Nel senso che se aggiungo un opilone la distanza in arcate da pagare diminuisce.... e nemmeno è specificato una lunghezza max per le arcate .... il che mi fa rispondere:
| Citazione: | Una arcata unica di 3km che dovrei comunque pagare del valore di 3km in quanto nella formula i piloni non tolgono distanza dal conteggio delle arcate più il minor numero di piloni possibili che possono essere 2 se facciamo un pilone all' inizio ed uno alla fine oppure 1 se all' inizio e alla fine non ci sono piloni ma solo in mezzo oppure 3 se vogliamo che ci siano in mezzo all' inizio e fine...
Praticamente chi decide il prezzo sono i piloni e, più piloni = più soldi da spendere |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 26 Lug 2009 18:14 Oggetto: |
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beh, la relazione fra piloni ed arcate esiste e la relativa funzione già studiata esplicitamente da Jacap e implicitamente da Massive
quello che mi chiedevo è il perchè fosse proprio quella la funzione da usare |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 26 Lug 2009 23:26 Oggetto: |
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CHE STUPIDO CHE SONO !!!! 
Adesso ho capito...
Non tenevo in considerazione una cosa importante...
Purtroppo non so se ho gli strumenti per dimostrare in modo formale quanto vado dicendo comunque ho creato una tabella semplice dove si tiene conto:
| Citazione: | Numero arcate = x appartenente ad N partendo da 1
Numero di Piloni = x+ 1
Costo delle arcate = 18*(lunghezza arcate al quadrato)*Numero di arcate
Costo dei piloni = costo del singolo pilone per il numero dei piloni
Costo complessivo = costo arcate + Costo piloni
Se ho impostato tutto giusto dalla tabella si nota che:
il costo delle arcate diminuisce sempre all' aumentare delle stesse
il costo dei piloni aumenta Sempre
il prezzo parte dai 221,5 mil per un arcata e due piloni; diminuisce fino ad arrivare a 21,9... mil per 26 arcate e 27 piloni
e poi aumenta sempre
Mi spiace non conoscere bene i limiti 
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 27 Lug 2009 09:10 Oggetto: |
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@ scrigno:
il numero giusto di arcate e piloni, nonchè la lunghezza di igni singola arcata, è quello indicato da Massive e da Jacap, che, ahimè, non coincide con il tuo.
il mio ulteriore quesito era di dimostrare il perchè fossero proprio quelle le lunghezze associate alle singole arcate |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 27 Lug 2009 10:14 Oggetto: |
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Chiedo scusa 
Facevo i conti su una lunghezza complessiva di 3,5 Km re non su 3 ... non so il perchè 
| Citazione: |
Confermo ... 18 arcate e 19 piloni con un costo complessivo di 18.5 mil |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 27 Lug 2009 11:05 Oggetto: |
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Io lo so spiegare solo così
Con l' ausiglio di questa immagine
| Citazione: |
Il punto indicato è quello dei 18 piloni dove le arcate costano 9 mil
.... il punto comune tra i due andamenti delle due funzioini ...
Prima di questo punto il costo dei piloni è minore del costo delle arcate. dopo questo punto l' incremento dato dall' aggiunta di un pilone è sempre maggiore del decremento dato dall' utilizzo di un' arcata più corta è quindi sfavorevole. |
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IvoFaArtiInvano
Eroe
Registrato: 02/12/07 16:59
Messaggi: 62
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| Inviato: 27 Lug 2009 23:30 Oggetto: |
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Cerco di contribuire con il pezzo di dimostrazione mancante ...
| Citazione: | Siano P(1), P(2), ... , P(n) le posizioni degli n piloni della configurazione ottimale cercata.
Siano S(i)=P(i+1)-P(i); 1<=i<=n-1 le ampiezze delle campate.
Prendiamo 3 piloni consecutivi in maniera arbitraria: P(i-1), P(i), P(i+1) e chiamiamo L(i)=S(i-1)+S(i) l'ampiezza totale di questo "pezzo di ponte a tre piloni" con 2<=i<=n-1.
Dalla definizione di L(i) si ha:
S(i-1)=L(i)-S(i) [a]
Il costo dell'i-esimo pezzo di ponte tri-pilonico è quindi:
C(i)=3/2+18[S(i-1)^2+S(i)^2]
per la [a] quest'ultima può rendersi come:
C(i)=3/2+18[(L(i)-S(i))^2+S(i)^2]=
=3/2+18[2S(i)^2-2L(i)S(i)+L(i)^2]
Calcoliamo la derivata di C(i) rispetto a S(i) per trovare un minimo per C(i):
C(i)'=18[4S(i)-2L(i))=0 per S(i)=L(i)/2 [b]
Studiando la funzione C(i) e notando che L(i) è costante, si vede che il minimo per C(i) si ha quando S(i) è proprio la metà di L(i) ovvero per S(i-1)=S(i).
Data l'arbitrarietà di i nella [b], ovvero per ogni 2<=i<=n-1, si deduce:
S(i)=S(j) per ogni coppia i,j
donde il fatto che la miglior configurazione abbia tutte le campate equivalenti.
Da qui in poi si prosegue per le vie già battute da Massive e Jacap ... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 28 Lug 2009 11:13 Oggetto: |
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ciao Ivo
poiché sono dubbioso su un piccolo particolare e cioè che
| Citazione: | tu dimostri che presi a tre a tre i piloni, ma consecutivi, per ogni "ponticello" il costo minimo si ha quando le due campate hanno lunghezza uguale: concordo!
ma mi sfugge, al momento, che ciò possa implicare che tutte le campate del ponte debbano essere di pari lunghezza
al momento, in sostanza, ho ancora il tarlo che in una più complessa struttura ad N-campate possa esistere una distribuzione dei piloni, legata chessò a medie armoniche o geometriche, a rapporti aurei o a chissà cosa, che minimizzi il costo e che, oltretutto, sia valida nel caso tripilonico. |
posto quella che era la mia idea:
| Citazione: | Per prima cosa [cfr. Ivo] mostriamo che con almeno due arcate , di lunghezza opportuna, il costo del ponte è inferiore a quello che si avrebbe con una sola arcata (e due soli piloni)
Basta porre banalmente la lunghezza delle due arcate pari l?una ad 1 km e l?altra a due per verificarlo:
caso una sola arcata: costo = C(0)=18*3^2 + 2*(1/2)=163
caso 2 arcate (1__2): C(1) = 18*1+ 18*2^2 +3*(1/2)=91,5
se il terzo pilone è posto genericamente ad una distanza x dal primo (e 3-x dall?altro), avremo:
C(1)=18*x^2 + 18*(3-x)^2 +3/2 = 163 + ½ +36*x^2 -108*x
Sottraiamo a C(0) il valore di C(1) ed imponiamo che la differenza sia maggiore di zero:
D = C(0) ? C(1) = -36*x^2 + 108*x -1/2 > 0
La funzione D è una parabola, che andremo a studiare nell?intervallo che ci interessa: [0, 3]
Agli estremi, come ci aspettiamo, vale -1/2 e vale zero nei punti x(1)=0.0046? e x(2)=2,9954?
Per mera simmetria, ovvero studiando la derivata della funzione, si trova che il massimo si ha per x=3/2: questo fatto ci induce a pensare che, se costruiamo più arcate (inserendo lo stesso numero di piloni meno uno), tutte le arcate dovranno avere la stessa lunghezze ed i piloni essere, pertanto equidistanti. Lo intuiamo, dicevo, ma sarà vero? Dimostriamolo!
Sia L(i) la lunghezza della generica arcata, con (i) che va da 1 a N, tali che S[L(i)]=3
Sia M la media di tali lunghezze, cioè M=3/N (n.b.= S sta per sommatoria)
Sia d(i) è la differenza fra il generico L(i) e M, cioè L(i) = M + d(i)
Riscriviamo il costo totale del ponte: C = S{18*[M + d(i)]^2} + (N+1)/2, da cui
C = N*18*(M^2) + 36*M*S[d(i)] +18* S[d(i)^2] + (N+1)/2
Il quarto termine è una costante e non ci interessa, il primo termine è esso stesso una costante, per N dato, per cui esaminiamo gli altri due termini.
Quello di primo grado in d(i) altro non è, a parte un fattore moltiplicativo, che la sommatoria degli scostamenti dalla media e sappiamo che esso è uguale a zero.
L?altro è una somma di quadrati: affinché sia il minimo possibile tutti i d(i) devono essere nulli, per cui tutte le arcate devono essere pari a M = 3/N
Per inciso, la sommatoria dei quadrati dei vari d(i) altro non è (a parte un fattore N) che la varianza della ?popolazione? lunghezza delle arcate, la cui radice è, in statistica, lo scarto quadratico medio (o deviazione standard, ?sigma?), che per l?appunto, è l?indice di dispersione intorno alla media. |
da qui in poi torniamo a Jacap e Massive |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 28 Lug 2009 12:03 Oggetto: |
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Vediamo se il Toro è pronto a perdere la testa...
| Citazione: |
Il costo totale dell'opera C è dato da (18*(3/N)^2+0,5)*N+0,5 dove N è il numero di arcate e 3/N la lunghezza in Km di un'arcata, derivando si ha -2*3^4/N^2 + 0,5 poniamo =0 e facciamo pulizia ottenendo N^2=2^2*3^4.
Quindi il minimo (o massimo, facile stabilirlo) si ha con N=18.
Il fatto che convenga utilizzare arcate di lunghezza uguale lo si deduce dal fatto che il loro costo è esponenziale alla lunghezza e il totale della lunghezza è fissa (mi pare non ci siano dubbi su ciò).
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 28 Lug 2009 12:43 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | Vediamo se il Toro è pronto a perdere la testa...
| Citazione: |
Il fatto che convenga utilizzare arcate di lunghezza uguale lo si deduce dal fatto che il loro costo è esponenziale alla lunghezza e il totale della lunghezza è fissa (mi pare non ci siano dubbi su ciò).
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mi permetto di insistere che si "intuisce" |
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IvoFaArtiInvano
Eroe
Registrato: 02/12/07 16:59
Messaggi: 62
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| Inviato: 28 Lug 2009 14:36 Oggetto: |
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Per Salmastro.
Vediamo se così ti convinco:
| Citazione: | | Supponiamo che esista una configurazione ottimale che preveda arcate non tutte uguali. Esisterà quindi una tripla di piloni consecutivi che individua due campate diseguali: prendo il pilone di mezzo e lo sposto nel punto centrale. Per le conclusioni precedenti e per il fatto che il resto del ponte rimane invariato, il costo di questa parte del ponte diventa minore, quindi il costo totale diminuisce: di qui la contraddizione con l'ipotesi iniziale che si trattasse di una configurazione ottimale. |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 28 Lug 2009 16:51 Oggetto: |
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certo che lo sono
tant'è che mi sono affannato a dimostrarlo per via puramente matematica, in maniera, lo ammetto, di certo più prolissa e, quindi, meno fulminante della tua |
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