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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 26 Giu 2009 19:15 Oggetto: Quanti triangoli? |
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Si scelgano a caso tre punti distinti tra i vertici di un poligono regolare di 2002 lati.
Determinare la probabilità che i tre punti scelti siano a loro volta vertici di
(a) un triangolo rettangolo;
(b) un triangolo ottusangolo;
(c) un triangolo acutangolo.
N.B.: ogni terna di punti distinti ha la stessa probabilità di essere scelta |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 27 Giu 2009 09:22 Oggetto: |
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| Citazione: |
per questioni di simmetria un vertice lo si può prendere fisso
per avere un triangolo rettangolo il secondo vertice deve essere opposto al primo, dunque 1/2001, quasi 0,5%
il restante 2000/2001 è da dividere tra acuto ed ottuso, per essere ottusangolo il triangolo non deve comprendere il centro, la probabilità che entrambi i punti siano dallo stesso lato è di 999/2000, quindi 49,95% ottuso e 50,05% acuto (del restante 2000/2001)
ricapitolando:
(a) 1/2001
(b) 999/2001
(c) 1001/2001
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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| Inviato: 27 Giu 2009 11:08 Oggetto: |
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@ Massive:
premetto che non conosco la soluzione "ufficiale", purtuttavia, la tua non mi convince 
(p.es.: a me la P(rett.) verrebbe di meno) |
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dart
Eroe
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| Inviato: 27 Giu 2009 11:10 Oggetto: |
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non si fa in tempo a pensare che c'è già una soluzione!! 
comunque piccola correzione.
| Citazione: | le possibilità che sia rettangolo, sono il doppio.
il terzo vertice deve essere opposto al primo oppure al secondo vertice.
per la parte "ottusangolo/acutangolo" ci devo ancora pensare meglio... |
edit:
| Citazione: | | e direi 2/2000 = 1/1000 = 1% (che sia un triangolo rettangolo) |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 27 Giu 2009 14:27 Oggetto: |
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| Citazione: |
in effetti ho calcolato solo metà del cerchio, dando per scontato che l'altra metà fosse tutto di acutangoli, invece c'è una doppia simmetria e calcolando anche l'altro lato mi viene:
(a) 2/2001
(b) 75% dei rimanenti di a
(c) 25% dei rimanenti di a
mi sa che devo fare un disegno altrimenti non si capisce molto...
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 27 Giu 2009 15:05 Oggetto: |
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link
| Citazione: |
Per comodità disegnamo tutti i possibili 2001 lati A dei triangoli e numeriamoli da 1 a 2001, ognuno di questi ha 2000 vertici non in comune con il lato A, quindi il totale dei triangoli è 4.002.000.
Ogni lato A(N<1001) forma 1 triangolo rettangolo, N triangoli acutangoli, 1999-N triangoli ottusangoli.
Il lato A(1001) forma 2000 triangoli rettangoli.
Ogni lato A(N>1001) forma gli stessi triangoli di A(N<1001) considerando la simmetria rispetto al lato A(1001).
Sommando dovrebbero essere 4000 triangoli rettangoli, 999.000 triangoli acutangoli e 2.999.000 triangoli ottusangoli.
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
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| Inviato: 27 Giu 2009 18:13 Oggetto: Re: Quanti triangoli? |
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Posto anche la mia soluzione:
| Citazione: | Il primo punto puo' essere fissato arbitrariamente.
Affinché il triangolo sia rettangolo, uno degli altri 2 punti deve essere quello opposto.
Il triangolo NON e' rettangolo quando la scelta degli altri due punti non cade su quello opposto, quindi:
P(rett) = 1 - P(non rett) = 1 - 2000/2001 * 1999/2000 = 1 - 1999/2001 = 2/2001
Il triangolo è ottusangolo quando i due punti vengono scelti entrambi a destra o entrambi a sinistra della linea che congiunge il primo punto con il suo opposto:
P(ottus) = 2000/2001 * 999/2000 = 999/2001
(999 sono i punti buoni restanti dalla stessa parte della linea, prima di scegliere l'ultimo punto)
Il triangolo è acutangolo negli altri casi, ovvero quando un punto viene scelto a destra e uno a sinistra della linea:
P(acut) = 2000/2001 * 1000/2000 = 1000/2001
(1000 sono i punti buoni restanti dall'altra parte della linea, ovvero tutti) |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 27 Giu 2009 18:34 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | | Citazione: |
Per comodità disegnamo tutti i possibili 2001 lati A dei triangoli e numeriamoli da 1 a 2001, ognuno di questi ha 2000 vertici non in comune con il lato A, quindi il totale dei triangoli è 4.002.000. |
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Ma
| Citazione: | | in questo modo conti troppi triangoli. Quelli distinti dovrebbero essere la metà. |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 27 Giu 2009 18:47 Oggetto: |
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devo dire che tutte le soluzioni proposte finora si discostano da quella che ho in mente io, che, ribadisco, non so se è quella buona.
comunque, ho applicato la mia "formula" ad un esagono (il primo poligono decente) e mi pare che funzioni...
provate pure voi a giocare con l'esagono: mi piacerebbe essere smentito! |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
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| Inviato: 27 Giu 2009 18:47 Oggetto: Re: Quanti triangoli? |
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| Jowex ha scritto: | | Posto anche la mia soluzione: |
Ho qualche dubbio su quanto ho postato prima, probabilmente è sbagliato 
Dovrò pensarci ancora un po.... |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 27 Giu 2009 19:43 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | devo dire che tutte le soluzioni proposte finora si discostano da quella che ho in mente io, che, ribadisco, non so se è quella buona.
comunque, ho applicato la mia "formula" ad un esagono (il primo poligono decente) e mi pare che funzioni...
provate pure voi a giocare con l'esagono: mi piacerebbe essere smentito! |
Con il mio poligono preferito, cioè l'esagono, mi viene:
| Citazione: |
(a) 60%
(b) 30%
(c) 10%
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 27 Giu 2009 19:51 Oggetto: |
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| Jowex ha scritto: | | Massive X ha scritto: | | Citazione: |
Per comodità disegnamo tutti i possibili 2001 lati A dei triangoli e numeriamoli da 1 a 2001, ognuno di questi ha 2000 vertici non in comune con il lato A, quindi il totale dei triangoli è 4.002.000. |
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Ma
| Citazione: | | in questo modo conti troppi triangoli. Quelli distinti dovrebbero essere la metà. |
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Non importa, ciò che conta è il rapporto tra ottusangoli e acutangoli |
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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 27 Giu 2009 20:04 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: |
Con il mio poligono preferito, cioè l'esagono, mi viene:
| Citazione: |
(a) 60%
(b) 30%
(c) 10%
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sicuro?  (sì, è ok!)
e...numericamente??
...in ogni caso, mi sa che ci devo pensare meglio  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 28 Giu 2009 09:51 Oggetto: |
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| Citazione: |
Nel disegno ho incluso anche gli speculari, tanto il rapporto non cambia
link
Non credo ci siano ancora dubbi sul rapporto acutangoli/ottusangoli di 1/3 per ogni poligono regolare di N lati e neppure che la percentuale di triangoli rettangoli sia inversamente proporzionale al numero di lati (considerando il cerchio con infiniti lati), mentre numericamente sono direttamente proporzionali ai lati del poligono.
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 28 Giu 2009 11:36 Oggetto: |
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disegno bellissimo Massive
per cui ok, con l'esagono siamo a posto 
ci riepiloghi tutti i numeri legati al maxipoligono del quesito?
(mi sono accorto con grande disdoro di saper calcolare solo il numero dei triangoli rettangoli  ...ma, quantomeno la formula, che vale per ogni poligono, parrebbe semplice ...sto meditando sul resto ) |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
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| Inviato: 28 Giu 2009 13:37 Oggetto: |
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Nuova soluzione, il cui risultato coincide in parte con quanto scritto da Massive, tranne che per P(rett):
| Citazione: | Il primo punto A può essere scelto come origine; numero in ordine gli altri punti da 1 a N-1=2001
Fissato il punto A, tutti i triangoli distinti si ottengono variando B da 1 a N-2 e C dal punto successivo a B fino a N-1 (ovvero C viene scelto tra N-1-i punti)
N(tot) = sum[i=1,N-2](N-1-i) = ? = 1/2*(N-1)(N-2)
Triangoli rettangoli: ce ne sono 2 per ogni punto B scelto tra 1 e N/2-1, e altri N/2-1 se B viene scelto opposto ad A:
N(rett) = 2*(N/2-1) + N/2-1 = 3*(N/2-1)
Triangoli acutangoli: per ogni punto B scelto tra 2 e N/2-1, ce ne sono f(i) = i-1
N(acut) = sum[i=2,N/2-1](i-1) = sum[k=0,N/2-2](k) = 1/2*(N/2-1)(N/2-2)
Questo perché il triangolo acutangolo puo' essere costruito solo scegliendo il punto C tra quelli opposti ai punti compresi tra A e B, che sono i-1.
Triangoli ottusangoli: tutti gli altri
N(ottus) = 1/2*(N-1)(N-2) ? 3*(N/2-1) ? 1/2*(N/2-1)(N/2-2) = ? = 3/2*(N/2-1)(N/2-2) |
Per vari casi di N:
| Citazione: | N=4: N(tot)=3, N(rett)=3, N(acut)=0, N(ottus)=0
N=6: N(tot)=10, N(rett)=6, N(acut)=1, N(ottus)=3
N=8: N(tot)=21, N(rett)=9, N(acut)=3, N(ottus)=9
N=2002: N(tot)=2.001.000, N(rett)=3.000, N(acut)=499.500, N(ottus)=1.498.500 |
Le probabilità per N=2002:
| Citazione: |
P(rett) = 6/4002 = 2/1334
P(acut)= 999/4002 = 333/1334
P(ottus) = 2997/4002 = 999/1334
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 28 Giu 2009 14:02 Oggetto: |
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Grazie, sono sempre stato bravo con i disegni 
| Citazione: |
Generalizzando in un poligono di N lati ci sono N/2*(N-2) triangoli rettangoli (se N è pari 0 se dispari) sempre con rapporto acutangoli/ottusangoli di 1/3.
La formula generica per il numero totale di triangoli credo sia più complessa di quanto si pensi, il metodo di prendere un punto fisso non è efficace poichè non tutti i triangoli toccano quel punto. Infine nei poligoni multipli di 3 ci sono anche i triangoli isosceli che sono 1/3 per via della simmetria...
Ci devo pensare un po, ma credo che i triangoli rettangoli in percentuale al totale di triangoli siano maggiori di quelli calcolati.
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 28 Giu 2009 21:41 Oggetto: |
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Per avere il numero totale di triangoli (senza fissare un punto iniziale):
| Citazione: | occorre moltiplicare per N/3 i totali ottenuti fissando il punto iniziale (vedi post precedente):
N(tot) = 1/6*N*(N-1)(N-2)
N(rett) = N*(N/2-1) = 1/2*N*(N-2)
N(acut) = 1/6*N*(N/2-1)(N/2-2) = 1/24*N*(N-2)(N-4)
N(ottus) = 1/2*N*(N/2-1)(N/2-2) = 1/8*N*(N-2)(N-4)
Ovviamente le probabilità sono le stesse già calcolate, dato che il rapporto tra tipi di triangoli resta invariato.
Appena riesco provo a scrivere come si arriva a quel N/3... |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 28 Giu 2009 21:51 Oggetto: |
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@Massive
L'ultima formula che hai scritto per avere il numero di triangoli rettangoli sembra giusta anche a me... magari potresti spiegare come ci sei arrivato.
Quello che per me non era giusto era il numero di triangoli rettangoli (4000) calcolati in un post precedente in prima pagina. |
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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 28 Giu 2009 22:50 Oggetto: |
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dopo lunga meditazione posto la mia soluzione:
| Citazione: | T(tot)= 1.335.334.000 = (2002*2001*2000)/(3*2*1)
T(rett.) = 2.002.000
T (ottus.) =999.999.000
T (acut.)= 333.333.000
P (rett.) = 0,15% (= 2/1334....=3/2001...)
P (ottus.) = 74,89% (=999/1334)
P (acut.) = 24,96% ( = 333/1334) |
rimando a domani formule, spiegazioni e commenti |
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