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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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 Inviato: 09 Giu 2009 11:27 Oggetto: ...più modestamente: i Quadrati... |
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Poichè non mi riesce di risolvere con metodi non brutali il quesito di MassiveX, ne propongo un altro, dello stesso genere:
Trovare tutti i numeri interi uguali alla somma dei quadrati delle loro cifre
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 09 Giu 2009 19:22 Oggetto: Re: ...più modestamente: i Quadrati... |
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| Citazione: | i soliti tutti 0 e il suo successore  |
ma di quante cifre? |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 10 Giu 2009 00:07 Oggetto: Re: ...più modestamente: i Quadrati... |
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| Citazione: |
con le a si intendono le cifre di un numero intero (0<=a<=9)
traducendo il quesito in:
....+a''''*10^4+a'''*10^3+a''*10^2+a'*10^1+a*10^0 = a^2+a'^2+a''^2+a'''^2+a''''^2+....
a*10^n > a^2 per ogni n>0 (e a>0)
quindi non ci sono numeri interi con più di una cifra uguali alla somma dei quadrati delle loro cifre, dunque x=x^2 , cioè 0 ed 1 sono le uniche soluzioni
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 10 Giu 2009 10:47 Oggetto: Re: ...più modestamente: i Quadrati... |
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| Massive X ha scritto: | | Citazione: |
con le a si intendono le cifre di un numero intero (0<=a<=9)
traducendo il quesito in:
....+a''''*10^4+a'''*10^3+a''*10^2+a'*10^1+a*10^0 = a^2+a'^2+a''^2+a'''^2+a''''^2+....
a*10^n > a^2 per ogni n>0 (e a>0)
quindi non ci sono numeri interi con più di una cifra uguali alla somma dei quadrati delle loro cifre, dunque x=x^2 , cioè 0 ed 1 sono le uniche soluzioni
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sì, è vero che
| Citazione: | | a*10^n > a^2 per ogni n>0 (e a>0) |
però
| Citazione: | | 19 < (1^2 + 9^2) |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 10 Giu 2009 12:20 Oggetto: Re: ...più modestamente: i Quadrati... |
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| Citazione: |
10>a>5
a*10^(n-1)+(1) > n*a^2 per ogni n>2
NB:+(1) considera il caso minimo 1 iniziale e tutti 0 tranne "a", mentre "a" è la cifra più alta, dunque il primo termine è un minorante del numero intero, mentre il secondo è il massimo della somma dei quadrati
quindi non ci sono numeri interi con più di 2 cifre, uguali alla somma dei quadrati delle loro cifre, dunque la formula generica è:
10a+b = a^2+b^2 con la cifra più alta>5
scritta anche b^2-b=10a-a^2 dove il massimo di "a" si ha per a=5 quindi b^2-b<=25, poichè b>5, nel caso b=6 si ha 30<=25, ciò implica "a">5
se a=6 allora b^2-b=24 (nessuna soluzione)
se a=7 allora b^2-b=21 (nessuna soluzione)
se a=8 allora b^2-b=16 (nessuna soluzione)
se a=9 allora b^2-b=9 (nessuna soluzione)
Ciò ci riporta al caso a singola cifra (a=0) b^2-b=0, cioè b=0 e b=1
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 11 Giu 2009 10:47 Oggetto: |
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ho un dubbio:
| Citazione: | non mi sembra sia consequenziale alla tua disuguaglianza il fatto che
100x + 10y + z > x^2 + y^2 + z^2
(N.B.: ho cambiato notazione) |
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IvoFaArtiInvano
Eroe
Registrato: 02/12/07 16:59
Messaggi: 62
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| Inviato: 17 Giu 2009 17:34 Oggetto: |
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La mania delle dimostrazioni (tutte da verificare):
  
| Citazione: | Sono solo 0 e 1.
Dimostrazione:
link |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 17 Giu 2009 18:30 Oggetto: |
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ed eccone un'altra, un po' più terra terra:
| Citazione: | I numeri cercati (N) non possono avere più` di tre cifre, in quanto il caso estremo:
9^2 + 9^2 + 9^2 + 9^2 = 4 * 92 = 324
ci dà un risultato a tre cifre.
Allora possiamo porre, se x, y, z sono le cifre che compongono il nostro numero:
N = 100x +10y + z
(si noti che sono ammessi i valori zero).
La condizione del problema diviene allora:
100x +10y + z = x^2 + y^2 + z^ 2
O, equivalentemente:
(100 - x)* x + (10 - y)* y = z * (z -1) [*]
Questa equazione implica x=0.
Infatti, per assurdo, a primo membro abbiamo x >=1 ->100 - x >= 90 ,
mentre a secondo membro il valore massimo e` 9 * (9 -1) = 72 .
Quindi, x=0.
Allora la [*] diventa:
(10 - y)* y = z * (z -1)
Siccome y e z devono essere cifre, si vede facilmente che questa equazione e`
soddisfatta solo da y=0, il che ci lascia solo le due possibilità z=0 e z=1. Quindi, le
uniche due soluzioni sono N=0 e N=1. |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 17 Giu 2009 21:53 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ho un dubbio:
| Citazione: | non mi sembra sia consequenziale alla tua disuguaglianza il fatto che
100x + 10y + z > x^2 + y^2 + z^2
(N.B.: ho cambiato notazione) |
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| Citazione: |
se consideri 100x-x^2 per x>1 è sempre maggiore di y^2 + z^2 (x=2 si ha 196>9^2+9^2) quindi al massimo si deve verificare:
99 + 10y + z > + y^2 + z^2 il cui rapporto tra i membri è minimo per y=0, quindi si considera
99 + z > z^2 che è evidente dato che z^2 è al massimo 81
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 18 Giu 2009 20:01 Oggetto: |
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|
ok, Massive: ora funziona  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 19 Giu 2009 08:49 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | ok, Massive: ora funziona |
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