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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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 Inviato: 20 Mag 2009 18:19 Oggetto: Ci piace vincere facile! |
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Stavolta ci troviamo in uno strano casinò e ci stiamo cimentando in un gioco dalle regole altrettanto stravaganti.
Ebbene, partiamo con 40 gettoni giocabili e un capitale (non giocabile) di 1 Euro.
Possiamo solo giocare gettoni, e non possiamo comprarne altri.
Ogni volta che vinciamo, moltiplichiamo il capitale per i gettoni giocati e non ritiriamo i gettoni.
(Doveroso esempio: se ad un certo punto abbiamo 23 gettoni e 4 Euro e giochiamo 3 gettoni, in caso di vittoria, ci ritroveremo con 20 gettoni e 12 Euro.)
Ora, è vero che ci piace vincere facile, ma ci piace ancor di più vincere tanto!...per cui...quanto possiamo vincere, al massimo? |
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Zeus
Amministratore
Registrato: 21/10/00 01:01
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Residenza: San Junipero
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| Inviato: 20 Mag 2009 18:55 Oggetto: |
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a naso, direi che conviene fare | Citazione: | | 20 giocate da 2 gettoni ciascuna, realizzando 20 vincite e portando quindi il mio capitale a 2^20 euro = 1.048.576 euro |
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Zeus
Amministratore
Registrato: 21/10/00 01:01
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Residenza: San Junipero
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| Inviato: 20 Mag 2009 19:04 Oggetto: |
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pero'
| Citazione: | | con dodici giocate da 3 gettoni e due giocate da 2 gettoni arrivo a 2.125.764 euro |
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Zeus
Amministratore
Registrato: 21/10/00 01:01
Messaggi: 12784
Residenza: San Junipero
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| Inviato: 20 Mag 2009 19:04 Oggetto: |
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chi riesce a fare di piu'?  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 21 Mag 2009 08:12 Oggetto: |
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Non ho capito se si vince sempre o se quando si perde ti danno la giocata indietro o altro...
| Citazione: |
con 15 giocate da 40/15 si ha (40/15)^15 = 2.452.059,386
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 21 Mag 2009 12:43 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | | Non ho capito se si vince sempre o se quando si perde ti danno la giocata indietro o altro... |
beh, la domanda è:
quanto possiamo vincere, al massimo?
cioè quanto accumuliamo se vinciamo sempre?
(se si perde, perdiamo i gettoni, ma per il quesito non importa)
P.S.: i gettoni sono ovviamente "discreti"
PP.S.: l'uso di fogli di calcolo, in prima battuta, anche se utile, può fuorviare...meglio tenerselo per le verifiche finali  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 22 Mag 2009 08:28 Oggetto: |
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Se devono essere interi credo che la soluzione sia già stata data
| Citazione: |
Il totale è dato da T=x^(M/x) e il massimo della funzione lo si ottiene per x=e (2.458.784 con M=40)
non potendo usare fattori trascendenti, il suo intero più vicino è 3, quindi 13 giocate da 3 e una da 4 credo sia la giocata migliore...
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 22 Mag 2009 09:12 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | Se devono essere interi credo che la soluzione sia già stata data
| Citazione: |
Il totale è dato da T=x^(M/x) e il massimo della funzione lo si ottiene per x=e (2.458.784 con M=40)
non potendo usare fattori trascendenti, il suo intero più vicino è 3, quindi 13 giocate da 3 e una da 4 credo sia la giocata migliore...
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ammesso che sia vero, perchè è proprio quello il massimo? |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 26 Mag 2009 18:35 Oggetto: |
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beh, a questo punto mi sembra opportuno dare un hint, che credo utile per un corretto approccio al quesito.
si trova in un quiz di circa due mesi fa: "Una strana gara" |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 28 Mag 2009 12:38 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | ammesso che sia vero, perchè è proprio quello il massimo? |
se hai dubbi per la funzione continua non dovresti averne per quella discreta dato che:
| Citazione: |
2^(M/2) = 4^(M/4) < 3^(M/3) quindi il fattore 3 rappresenta il massimo come già detto, dato ciò sono convinto che la giocata migliore sia una da 4 e 12 da 3
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 28 Mag 2009 18:11 Oggetto: |
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@ Massive:
scusami, ma non comprendo da dove esca fuori quella relazione 
spiegamelo meglio 
P.S. la mia idea in merito parte da delle considerazioni contenute nel 3D linkato nel mio precedente post |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 29 Mag 2009 10:25 Oggetto: |
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| Citazione: |
Do per scontato che puntando prima un certo numero di gettoni od un altro non cambia nulla e che se possibile conviene puntare sempre la stessa somma poichè il fattore migliore è uno, usando più fattori diversi si peggiorerebbe il risultato, dunque il totale è come già detto T=x^(M/x) per qualsiasi massa monetaria M e qualsiasi fattore, es:
M=40 se volessimo fare puntate da 4 (x=4) potremmo farne M/x, in questo caso 10, il totale è dunque 4^10 = 1.048.576 dato che in 10 puntate da 4 si moltiplica per 4 per 10 volte di seguito, se invece volessimo fare puntate da 5 (x=5) potremmo farne sempre M/x, in questo caso 8, il totale è dunque 5^8 = 390.625
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 29 Mag 2009 18:04 Oggetto: |
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Ok, Massive!
La serie di puntate che dà la massima vincita è proprio quella da te indicata:
| Citazione: | | 12 puntate da 3 ed una da 4 e, ovviamente, non importa in quale ordine. |
Apprezzo, inoltre, il ragionamento intuitivo con cui giustifichi la cosa ed al quale cerco di dare una sistemazione teorica (peraltro non del tutto esaustiva), basandomi sul link di cui dicevo.
La situazione è la seguente:
| Citazione: | S[p(i); i=1,N]=40
P[p(i); i=1,N]=massimo
laddove S etc sta per sommatoria (s.igma, sarebbe meglio) delle singole puntate p[i], che abbiamo detto esser pari a 40
mentre P etc sta per produttoria (pigreco...) delle singole p[i], che è la quantità da massimizzare, in quanto è, chiaramente, la vincita finale, date quelle puntate.
Ma, scriviamole in chiaro che, forse, è meglio?
S = p(1)+p(2)+?+p(N-1)+p(N)
P = p(1)*p(2)*?*p(N-1)*p(N)
Ora, della quantità P (data dal prodotto di N termini) facciamone la radice N-sima: quella che otteniamo altro non è che la cosiddetta Media Geometrica degli N numeri, la quale, come si dimostrava nel famigerato link, è sempre strettamente minore della Media Aritmetica degli stessi numeri ed inoltre vale l?uguaglianza (M.A. = M.G.) se e solo se gli N numeri sono fra loro uguali.
Nel nostro caso, osservando al contempo che, se MA=MG, vale anche la relazione (MA)^N=(MG)^N, si ha che
P=max se P=(40/N)^N ---> cfr. intuizione di Massive!
Ora, andiamo a esaminare la cosa nel continuo, studiando la funzione P(x)=(40/x)^x
Scopriremo che ha un massimo per x=40/e, da cui sostituendo, Pmax = e^(40/e) |
A questo punto, un po? di buon senso, ed un foglio di calcolo per le verifiche, ci portano dritti dritti alle stesse conclusioni di Massive!
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