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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 07 Mar 2009 13:07 Oggetto: Il "cambio" dell'Euro |
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In quanti modi è possibile cambiare un biglietto da 10 Euro in monete da 1 Euro, 20 centesimi e 10 centesimi???
...e se le monete da 50 c?., 20 c? e 10 c????
N.B.: nei "cambi" posson figurare tutti i tipi di monete, ma anche solo due, o addirittura solo uno |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 22 Mar 2009 16:40 Oggetto: |
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| Citazione: |
Sommatoria da 0 a 10 di 5(10-E)+1 dove E rappresenta il numero di monete da 1euro, 5(10-E)+1 rappresentano le combinazioni da 10 e 20 per ottenere 10-E euro, dato che per fare 1 euro servono da 0 a 5 20cent+ il resto da 10, per farne 2 da 0 a 10.... per farne 10 da 0 a 50... (estremi compresi)
Quindi a meno di non aver sbagliato le addizioni, la sommatoria fa: 286, cioè 286 modi di cambiare un biglietto da 10 Euro, permutazioni escluse
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 22 Mar 2009 17:14 Oggetto: |
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ne caso dei 50centesimi:
| Citazione: |
Oltre alle combinazioni precedenti (286) bisogna aggiungere:
Sommatoria da 0 a 9 di 5(10-E)+1 = 285 (casi di 50c in numero pari)
Sommatoria da 0 a 9 di (5*E)+3 = 308 (casi di 50c in numero dispari)
In totale dovrebbero essere 879
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 22 Mar 2009 19:11 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | | Citazione: |
Sommatoria da 0 a 10 di 5(10-E)+1 dove E rappresenta il numero di monete da 1euro, 5(10-E)+1 rappresentano le combinazioni da 10 e 20 per ottenere 10-E euro, dato che per fare 1 euro servono da 0 a 5 20cent+ il resto da 10, per farne 2 da 0 a 10.... per farne 10 da 0 a 50... (estremi compresi)
Quindi a meno di non aver sbagliato le addizioni, la sommatoria fa: 286, cioè 286 modi di cambiare un biglietto da 10 Euro, permutazioni escluse
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ottimo, perfetto! 
e solo per ribadire il tuo risultato posto la mia soluzione (del tutto analoga  )
| Citazione: | innanzitutto, per semplificarmi la vita, introduco una nuova unità monetaria: la UCS (unità di conto salmastro), tale che 1UCS=10c?.
in tal modo ho a che fare con 100 UCS, da cambiare in pezzi da 10, 2 ed 1 UCS (N.B.: ometterò, qua e là, la sigla UCS d'ora in poi):
per avere 100 UCS, il numero (k) dei pezzi da 10 potrà variare da 0 a 10.
per ognuno di questi k, il controvalore da cambiare nelle restanti pezzature sarà dato da (100-10k), vale a dire 100, 90, 80...20,10,0
per ognuno di questi ultimo valori ad ogni singolo numeri di pezzi da 2 corrisponderà uno ed un solo pezzo da 1: per esempio, se k=2, restano da cambiare 80UCS, se uso 20 pezzi da 2 automaticamente ne dovrò usare 40 da 1.
ma quanti sono i possibili pezzi da 2, per k dato?
basta dividere [100-10k] per 2 ed aggiungere 1 (che è il caso in cui non uso pezzi da due). Nell'esempio appena fatto, con k=2, tale numero è 41 (1+ 80/2)
a questo punto devo sommare su tutti i k, ed ottengo (in modo più o meno compatto) che N (i possibili modi in cui cambiare i 100UCS) è dato da:
N=[somma(k=0,10)] {(100-10k)/2 + 1}
laddove l'espressione fra [-] deve intenderso come "sommatoria per k che va da o a 10", che appresso indico con S
semplifico ed ottengo N= S (50-5k+1)=51*11-5S(k)
specifico che ho scritto 51*11 perchè i k termini sono 11 (da 0 a 10),
mentre la seconda parte della relazione è 5 volte la somma dei primi 10 interi
per cui N=561 -5*55= 286 |
in perfetto accordo con quanto l'ottimo e paziente Massive aveva postato! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 22 Mar 2009 19:19 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | ne caso dei 50centesimi:
| Citazione: |
[1] Oltre alle combinazioni precedenti (286) bisogna aggiungere:
[2] Sommatoria da 0 a 9 di 5(10-E)+1 = 285 (casi di 50c in numero pari)
[3] Sommatoria da 0 a 9 di (5*E)+3 = 308 (casi di 50c in numero dispari)
In totale dovrebbero essere 879
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in verità (anche rifacendo i conti) mi viene un altro numero.. 
in particolare:
| Citazione: | sono d'accordo con la [1];
ma non con la [2]: non duplichi i casi precedenti, escludendone 1 (cosa che non mi è chiara...)??
per la [3],mi viene un altro risultato... |
ovviamente, mi potrei sbagliare!
L'ultima modifica di Salmastro il 22 Mar 2009 19:20, modificato 1 volta |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 22 Mar 2009 19:20 Oggetto: |
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per i 50 cent:
| Citazione: |
Prima avevo fatto un po di casino sul foglio....
Sommatoria da 0 a 10 di 5*E+1
-Sommatoria da 0 a 9 di 5*E+1
+Sommatoria da 0 a 9 di 10*E+9
+Sommatoria da 0 a 8 di 10*E+9
+Sommatoria da 0 a 7 di 10*E+9
+Sommatoria da 0 a 6 di 10*E+9
+Sommatoria da 0 a 5 di 10*E+9
+Sommatoria da 0 a 4 di 10*E+9
+Sommatoria da 0 a 3 di 10*E+9
+Sommatoria da 0 a 2 di 10*E+9
+Sommatoria da 0 a 1 di 10*E+9
In totale dovrebbero essere 2156
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 22 Mar 2009 19:23 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: |
ovviamente, mi potrei sbagliare! |
nono... sono io che nel cercare di semplificare ho fatto confusione ^^''' |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 22 Mar 2009 19:25 Oggetto: |
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@Massive:
per i 50c. avevo scritto in risposta al tuo: se è corretto quello che ho postato, probabilmente, il tuo ultimo risultato
è "ridondante" |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 22 Mar 2009 20:41 Oggetto: |
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con ridondante intendi che ho contato alcune combinazioni più volte?
a me pare che siano giusti i conti questa volta...
o intendi che data la soluzione precedente questa era ovvia? |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 23 Mar 2009 00:43 Oggetto: |
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sì, hai inteso bene, secondo me sono troppe
...ma ci ripenso, sebbene sia dell'idea che il numero esatto deve essere abbastanza vicino (nel senso di ordine di grandezza) al doppio del risultato legato alle moneta da 1 euro
se ti riesce, posta il tuo foglio di calcolo! |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 23 Mar 2009 10:56 Oggetto: |
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Per sicurezza ho preso un foglio grande pulito e ho rifatto tutto da capo, dunque viene:
| Citazione: |
N = [S(a=0,10)]( 1+[S(b=a,9)]( 9+10(9-b) ) ) = 2156
cioè una sommatoria di sommatoria, spero sia comprensibile
la sommatoria interna 1+[S(b=a,9)]( 9+10(9-b) ) viene fuori sommando la sommatoria dei 50cent pari [S(b=0,10)]( 5(10-b)+1 ) a quella dei dispari [S(b=0,9)]( 5(10-b)-2 ) oppure [S(b=0,9)( 5(b)+3 ) come quella postata all'inizio, è la stessa cosa
la sommatoria esterna rappresenta gli 1euro, infatti la sommatoria interna parte dalla quantità di quella esterna proprio perchè si devono contare solo le combinazioni che danno 10euro - a1euro...
mi scuso se per qualcuno è poco chiaro, ma meglio di così non lo so spiegare, comunque la somma finale mi viene sempre 2156 quindi credo che non ci siano errori di calcolo
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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 23 Mar 2009 12:07 Oggetto: |
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dico perchè, secondo me, il numero proposto da Massive mi sembra alto...
il quesito consiste nel determinare il numero di possibili cambi di una banconota da 10? in monete da 50c, 20c e 10c
| Citazione: | Partiamo dalle monete da 50c: i possibili modi di utilizzarli sono 21
vale a dire quelli compresi fra "nessuna" moneta da 50c e 20 monete da 50c.
per i valori pari, che sono 11 (0,2,4,6...,18, 20) ricadiamo nel caso precedente, quando le monete erano da 1?, nel quale avevamo ottenuto 286 modi
rimangono i valori dispari che sono 10 (1,3,5...17,19)
rifacciamo la semplificazione fatta in uno dei miei precedenti post, introducendo l'UCS (1 UCS=10c), per cui il problema diventa quello di cambiare 100 UCS in pezzi da 5, 2 e 1
ritorniamo ai valori dispari delle monete da 50c, che ora valgono 5 UCS.
se, per esempio si usa un solo pezzo da 5, rimangono da cambiare 95 UCS. Al massimo potremo utilizzare 47 pezzi da 2, con 48 possibilità.
e così via per ognuno dei 10 valori dispari.
è evidente che otterremo un numero dello stesso ordine di grandezza del caso "monete da 1?(=10 UCS) e mai potremmo arrivare a 2.156! |
salvo errori, certo!
del caso, posterò la "foto" del mio foglio di calcolo |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 23 Mar 2009 15:25 Oggetto: |
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| Citazione: |
Tutte le combinazioni con i 50 centesimi pari sono:
P = S[p=0,10](5*(10-p)+1)*(p+1) = 1166
Tutte le combinazioni con i 50 centesimi dispari sono:
D = S[d=0,9](5*(10-d)-2)*(d+1) = 990
Il totale fa sempre 2156, non si scappa
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 23 Mar 2009 15:38 Oggetto: |
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| mi ripeterò, ma, secondo me, il caso 50c pari coincide con il caso 1?, per cui vale il risultato a suo tempo postato (assai inferiore a quello appena indicato) |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
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| Inviato: 23 Mar 2009 23:06 Oggetto: |
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quoto
mi limito al caso 0.50, 0.20, 0.10:
| Citazione: |
La relazione cercata puo' essere scritta:
10 = 0.50*a+0.20*b+0.10*c
con:
0<=a<=20
0<=b<=f(a)=k
dove f(a) indica il massimo valore che puo' assumere b, dato un certo a.
Importante: questo valore si ottiene cercando il piu' piccolo valore di c che permette di soddisfare l'uguaglianza qui sopra.
Trovato il valore massimo di b, e' evidente che b puo' assumere tutti i valori inferiori, dato che c puo' essere scelto a piacere.
1) se a e' pari (a=2i) allora si puo' prendere c=0 e risulta (con 0<=i<=10):
f(a) = g(i) = (10-0.50*2i)/0.20 = 50-5i
2) se a e' dispari (a=2i+1) allora per soddisfare l'uguaglianza c non puo'essere 0, ma puo' essere 1 e risulta (con 0<=i<=9):
f(a) = h(i) = [10-0.50*(2i+1)-0.10]/0.20 = 47-5i
Il numero di combinazioni totali per ottenere i 10 euro si ottiene sommando i due casi 1 e 2 e considerando che b puo' assumere tutti i valori da 0 a f(a) compresi, ovvero f(a)+1:
1) N1 = somma[i=0,10](50-5i+1) = 51*11-5*10*11/2 = 286
2) N2 = somma[i=0,9](47-5i+1) = 48*10-5*9*10/2 = 255
ho supposto nota la formula della sommatoria:
somma[i=0,N](i) = N*(N+1)/2
Risultato finale:
N = N1+N2 = 286+255 = 541
(mi sembra che questo risultato non sia stato scritto prima)
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 24 Mar 2009 10:01 Oggetto: |
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| Jowex ha scritto: | mi limito al caso 0.50, 0.20, 0.10:
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Appunto, quella è la soluzione per 1euro = 0, poi devi aggiungere le soluzioni per 1euro = 1, 2...
| Citazione: |
euro0 = 1 + S[n=0,9]10*(n)+9 = 541
euro1 = 1 + S[n=0,8]10*(n)+9 = 442
euro2 = 1 + S[n=0,7]10*(n)+9 = 353
euro3 = 1 + S[n=0,6]10*(n)+9 = 274
euro4 = 1 + S[n=0,5]10*(n)+9 = 205
euro5 = 1 + S[n=0,4]10*(n)+9 = 146
euro6 = 1 + S[n=0,3]10*(n)+9 = 97
euro7 = 1 + S[n=0,2]10*(n)+9 = 58
euro8 = 1 + S[n=0,1]10*(n)+9 = 29
euro9 = 1 + S[n=0,0]10*(n)+9 = 10
euro10 = 1
Totale 2156!
Scritto in modo più compatto è S[n=0,9][n(10n+9)+1] + 1
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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 24 Mar 2009 10:57 Oggetto: |
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| Jowex ha scritto: | quoto
mi limito al caso 0.50, 0.20, 0.10:
| Citazione: |
Il numero di combinazioni totali per ottenere i 10 euro si ottiene sommando i due casi 1 e 2 e considerando che b puo' assumere tutti i valori da 0 a f(a) compresi, ovvero f(a)+1:
1) N1 = somma[i=0,10](50-5i+1) = 51*11-5*10*11/2 = 286
2) N2 = somma[i=0,9](47-5i+1) = 48*10-5*9*10/2 = 255
ho supposto nota la formula della sommatoria:
somma[i=0,N](i) = N*(N+1)/2
Risultato finale:
N = N1+N2 = 286+255 = 541
(mi sembra che questo risultato non sia stato scritto prima)
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ed io quote te: la tua soluzione coincide con la mia e ti ringrazio per aver ben compattato in due "semplici" formule tutto l'ambaradan degli eventi
(effettivamente il risultato da te indicato non era stato postato prima, ché non mi sembrava nè corretto, nè...divertente, farlo prima)
@Massive: la soluzione ce l'hai pure tu! è il primo rigo della tua ultima tabella: solo quelli sono gli eventi efficaci.
prova a considerare un problema più semplice (del tipo: cambiare 1 o 2 euro con le monetine dorate) e sono certo che ti convincerai. |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 24 Mar 2009 12:02 Oggetto: |
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aaaaah, stavate facendo la soluzione senza la moneta da un euro, io l'ho fatta con 1€, 50c, 20c e 10c.......
errore mio dunque, bastava limitarsi a:
| Citazione: |
1 + S[n=0,9]10*(n)+9 = 541
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in effetti ora capisco il circa il doppio della soluzione 1€, 20c e 10c che dicevi |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 24 Mar 2009 12:22 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | aaaaah, stavate facendo la soluzione senza la moneta da un euro, io l'ho fatta con 1?, 50c, 20c e 10c.......
errore mio dunque, bastava limitarsi a:
| Citazione: |
1 + S[n=0,9]10*(n)+9 = 541
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in effetti ora capisco il circa il doppio della soluzione 1?, 20c e 10c che dicevi |
infatti, avevo scritto (di proposito), qualche post più su:
| salmastro ha scritto: | dico perchè, secondo me, il numero proposto da Massive mi sembra alto...
il quesito consiste nel determinare il numero di possibili cambi di una banconota da 10? in monete da 50c, 20c e 10c.... |
in ogni caso, bel lavoro! |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 24 Mar 2009 18:40 Oggetto: |
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| eheheh, grazie, avevo dato per scontato che la 50c fosse aggiunta e non sostituita poichè una volta risolto il primo mi sembrava troppo facile passare al secondo..... |
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