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Una strana gara
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Autore Messaggio
Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 24 Feb 2009 20:47    Oggetto: Una strana gara Rispondi citando

Supponiamo ci siano due bambini che camminano e corrono alla stessa velocità.

Partono tutti e due dallo stesso punto A e devono arrivare tutti e due nello stesso punto B e fanno la stessa strada (completamente pianeggiante).
Uno corre per metà della strada e cammina per l?altra metà; l?altro cammina per metà del tempo e corre per l?altra metà.

Quale dei due arriva prima?
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dart
Eroe
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MessaggioInviato: 24 Feb 2009 21:20    Oggetto: Re: Una strana gara Rispondi citando

mmm... ci provo...

Citazione:
arriva prima quello che cammina per metà del tempo e corre per l?altra metà.
infatti passa metà tempo a camminare e metà tempo a correre.

l'altro invece, passa tanto tempo a camminare e poco a correre, quindi complessivamente avrà una media inferiore...
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madvero
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.

MessaggioInviato: 25 Feb 2009 00:36    Oggetto: Rispondi citando

concordo con dart.
però sto metà tempo mi puzza tanto di salmastrata...
ci dev'essere sotto qualche barbatrucco.
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onlymeipse
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MessaggioInviato: 25 Feb 2009 09:16    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:


Per linea teorica non dovrebbero arrivare perfettamente insieme?

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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 25 Feb 2009 11:08    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
concordo con dart.
però sto metà tempo mi puzza tanto di salmastrata...
ci dev'essere sotto qualche barbatrucco.

no, Mad, non temere: non c'è nessun trucco! Wink

è solo un problemino, non troppo complicato, che si può affrontare per via discorsivo-intuitiva come ha fatto, e con successo, dart, oppure per via puramente matematica (e la cosa potrebbe dare una certa soddisfazione, per una certa implicazione sulle "medie": sarebbe interessante se qualcuno si cimentasse)

P.S.: ho anche una terza via...diciamo..."grafica"...entro oggi la posto!

PP.S.: @only, no, non accade quanto da te ipotizzato Sad
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dart
Eroe
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MessaggioInviato: 25 Feb 2009 11:53    Oggetto: Rispondi citando

"graficamente parlando" (e magari si capisce meglio della mia prima risposta).

Citazione:
supponiamo che entrambi prima camminino e poi corrano, tanto è indifferente camminare prima o dopo.


il primo si ferma a metà strada, e da li in poi corre (per meno tempo, visto che la strada da percorrere è la stessa).

il secondo, si deve fermare prima di metà percorso, perchè dovrà correre per lo stesso tempo e quindi percorrerà più strada correndo che non camminando.

di conseguenza... il secondo cammina per meno tempo e percorrendo meno strada, si ferma prima e arriva prima.
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 28 Feb 2009 11:13    Oggetto: Rispondi citando

Mi sembra opportuno fornire la mia idea, affrontando il quesito dal punto di vista puramente matematico.


Per prima cosa è giusto mettere un rozzissimo grafico:


Citazione:
============||--------------------

============||====--------------

laddove in alto è esemplificato il percorso del bambino che corre (graficamente ?=?) per metà percorso e cammina (segno grafico ?-?) per l?altra metà (chiamiamolo Sandro), in basso quello di chi corre per metà del ?suo? tempo e cammina per l?altra metà del ?suo? tempo (Tommaso).


A questo punto scriviamo due formule:

Citazione:
per entrambi S (spazio da percorrere) è uguale, idem la loro velocità quando corrono (indichiamola con w) e quella quando camminano (sia data da v); quel che cambia è il tempo che impiegano.
Indichiamo con T quello di Tommaso e con T? quello di Sandro.

Per Tommaso (quello che corre per metà tempo) si ha:

S = w*T/2 + v*T/2 = [(v+w)/2]*T

La sua velocità media (Vm) è data dalla relazione: Vm=S/T, che nel nostro caso si esprime come:

Vm = [(v+w)/2] ---> vale a dire che la sua velocità media è data dalla media aritmetica delle due velocità con cui affronta il percorso.

Per Sandro (quello che corre per metà spazio), se T? è il suo tempo globale, indicando con T1 e T2 i tempi relativi alle due metà del suo percorso, avremo:

T? = T1 + T2 = S/(2*w) + S/(2*v)

La sua velocità media (V?m) sarà data da: V?m=S/T? e dalla precedente relazione otteniamo:

V?m = (2*w*v)/(w+v) ---> vale a dire la media ?armonica? delle due velocità.

Ora, dati due numeri qualsiasi (maggiori di zero) è sempre vero che la loro media aritmetica è maggiore di quella armonica, per cui

Vm > V?m ---> e Sandro (quello che corre per metà tempo), avendo una velocità media maggiore, è quello che arriva per primo.


Provare quanto affermato poco prima (mi riferisco alla frase in grassetto) può essere un utile esercizio e non sarebbe male se qualcuno si cimentasse a dimostrarlo.

Nella negativa, fra qualche giorno, posterò la mia idea in merito.
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madvero
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MessaggioInviato: 04 Mar 2009 04:29    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
fra qualche giorno, posterò la mia idea in merito

ola
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Salmastro
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MessaggioInviato: 04 Mar 2009 11:09    Oggetto: Rispondi citando

ok, ha ragione mad, qualche giorno è passato...

La frase in grassetto era la seguente:

Dati due numeri qualsiasi (maggiori di zero) è sempre vero che la loro media aritmetica è maggiore di quella armonica

siano a e b due numeri, reali, entrambi maggiori di zero

la loro media aritmetica (indichiamola con M) è, ovviamente, data dalla loro semisomma:

M = (a+b)/2

quella armonica (definiamola A) dall'inverso della media dei loro reciproci

cioè: 1/A = [(1/a) + (1/b)]/2

da cui A = 2*a*b/(a+b)

ora io dico che M>A, infatti

Citazione:
(a + b)/2 > 2*a*b/(a+b)

poichè a e b sono entrambi strettamente positivi si può moltiplicare membro a membro per [2*(a+b)]

da cui: (a+b)^2 > 4*a*b, vale a dire

a^2 + 2*a*b + b^2 > 4*a*b

sottraendo ad entrambi i membri la quantità 4*a*b, otteniamo:

a^2 -2*a*b + b^2 > 0

l'espressione a sinistra è il quadrato di |a-b|^2 che è sempre maggiore di zero, per cui è vero che M>A.

N.B.: naturalmente se a=b si ha A=M, ma, anche se non detto esplicitamente, era sottinteso che a e b fossero diversi


si potrebbe dimostrare anche per più di due numeri, ma, onestamente, ancora non l'ho fatto...

P.S.: tale proprietà è sfruttata nei piani di accumulo legati ai fondi di investimento, per i quali il "valor medio" di acquisto delle quote è proprio la media armonica dei singoli prezzi di acquisto.
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madvero
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MessaggioInviato: 05 Mar 2009 13:43    Oggetto: Rispondi citando

Rolling Eyes Rolling Eyes Rolling Eyes

più che aver ragione, ultimamente sono intellettualmente pigra.
comincio ad apprezzare la pappa pronta.
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Semidio
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MessaggioInviato: 24 Mar 2009 22:30    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:

si potrebbe dimostrare anche per più di due numeri, ma, onestamente, ancora non l'ho fatto...


media aritmetica = 1/n * S[x=1,n]Xn
media armonica = n / S[x=1,n] 1/Xn

1/n * S[x=1,n]Xn > n / S[x=1,n] 1/Xn

S[x=1,n] 1/Xn * S[x=1,n]Xn > n^2

supponendo che la serie sia ordinata (ma se non lo è fa lo stesso dato che cambiando l'ordine degli addendi...)

(1/X1+1/Xn)*n/2 * (X1+Xn)*n/2 > n^2

(1/X1+1/Xn) * (X1+Xn) > 4

( 1 + Xn/X1 + X1/Xn + 1) > 4

Xn/X1 + X1/Xn > 2

(Xn^2+X1^2)/(X1*Xn) > 2

Xn^2 + X1^2 > 2*X1*Xn

la somma dei quadrati è maggiore del doppio prodotto se i termini sono diversi (uguale se sono uguali), poichè abbiamo ordinato la serie la media aritmetica è sempre maggiore di quella armonica a meno che non siano tutti numeri uguali, in tal caso entrambe le medie coinciderebbero con il numero stesso ovviamente
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Salmastro
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MessaggioInviato: 25 Mar 2009 20:42    Oggetto: Rispondi citando

@Massive

ciao! Very Happy

per quanto riguarda la dimostrazione di cui al post precedente, ho la sensazione che funzioni solo se gli "Xi" costituiscono una progressione aritmetica Rolling Eyes

da parte mia, da te istigato, sto lavorando su una dimostrazione per induzione, ma per ora... Sad
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Salmastro
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MessaggioInviato: 26 Mar 2009 20:22    Oggetto: Rispondi

salmastro ha scritto:
da parte mia, sto lavorando su una dimostrazione per induzione, ma per ora... Sad


beh, confesso che ho deciso di rinunciare Very Happy

d'altra parte ho scoperto, girellando sul web, che una dimostrazione esiste, ma che coinvolge anche la media cosiddetta "geometrica" (che consiste nella radice N-sima del prodotto di N numeri reali strettamente maggiori di zero)

giusto per parlarne, pare che sia necessario prima dimostrare che, dati i suddetti N numeri, la media geometrica (G) è minore (o al più uguale, se i numeri sono uguali fra loro) della media aritmetica (A)... ma il procedimento è assai laborioso, in verità!

fatto questo si dimostra che la media armonica (H) è minore/uguale a quella geometrica, da cui:

H <= G <= A, che è il risultato cui si voleva arrivare Rolling Eyes

chi volesse approfondire, può leggere questo articolo

Citazione:
La diseguaglianza tra medie da cui abbiamo preso le mosse si inquadra, in buona sostanza, nei problemi di massimo e di minimo trattati senza l?uso delle derivate. In proposito rimandiamo al volume di Courant-Robbins e alla nota di A. Padoa nel secondo dei due volumi a cura di F. Enriques
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