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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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 Inviato: 21 Feb 2009 11:13 Oggetto: * La febbre dell'oro |
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Due cercatori d?oro hanno due grandi sacchi di pezzi d?oro.
Il primo ha solo pezzi da 15 grammi, il secondo pezzi da 21 grammi.
Può il primo pagare esattamente al secondo un debito di 27 grammi d?oro?
Potrebbe invece il secondo pagare esattamente al primo un debito di 29 grammi d?oro?
P.S.: non so la risposta "ufficiale", l'ho solo letto, mi è parso intrigante ed anch'io mi accingo a risolverlo, praticamente in tempo reale!
PP.S.: chissà se è possibile generalizzare...  |
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ZTP
Eroe
Registrato: 17/02/09 22:40
Messaggi: 60
Residenza: Terra, terzo pianeta dal Sole
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| Inviato: 21 Feb 2009 11:35 Oggetto: |
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Carino ^^ Allora:
| Citazione: | Il primo può pagare il suo debito: gli basta dare 6 pezzi e prenderne 3 di resto (quindi dà 90 grammi e ne riceve 63 di resto, pagandone effettivamente 27).
Il secondo invece PENSO sia impossibile, ma non sono in grado di dimostrarlo... |
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danielegr
Dio maturo
Registrato: 04/05/05 08:54
Messaggi: 2277
Residenza: 43 54 26,81N 7 56 25,35E Altitudine 184 m.
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| Inviato: 21 Feb 2009 12:25 Oggetto: |
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Non sono capace di risolverlo ma per l'impossibilità
| Citazione: | | da parte del secondo di saldare il suo debito, non c'entra per caso il fatto che 29 è un numero primo? |
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ZTP
Eroe
Registrato: 17/02/09 22:40
Messaggi: 60
Residenza: Terra, terzo pianeta dal Sole
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| Inviato: 21 Feb 2009 12:30 Oggetto: |
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Idea!
| Citazione: | Dunque per il secondo abbiamo che 21X - 15Y = 29 e quindi 21X = 15Y + 29; 15Y + 29 dev'essere perciò divisibile per 3 e per 7. Qualsiasi multiplo di 15 è divisibile per 3, ma aggiungendo 29 - che è primo - non otterremo mai un numero divisibile per 3. Quindi è impossibile, senza neanche considerare la divisibilità per 7 
È giusto? |
@danielegr: grazie per lo spunto ^^ |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 21 Feb 2009 19:46 Oggetto: |
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ok, ZTP, giustissimo!!! 
ora mi chiedo: si può generalizzare ad un "debito" qualsiasi??? |
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ZTP
Eroe
Registrato: 17/02/09 22:40
Messaggi: 60
Residenza: Terra, terzo pianeta dal Sole
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| Inviato: 21 Feb 2009 19:52 Oggetto: |
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Bene
Per generalizzare non saprei... Per valori molto alti potrebbe essere difficile seguire il ragionamento fatto sopra X_X |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 22 Feb 2009 12:14 Oggetto: |
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| ZTP ha scritto: | Bene
Per generalizzare non saprei... Per valori molto alti potrebbe essere difficile seguire il ragionamento fatto sopra X_X |
sì, infatti! ma anche per numeri piccoli, direi...
l'unica generalizzazione sensata, secondo me potrebbe essere:
| Citazione: | sia N un qualsiasi "debito", allora sarà---> |15x-21y|=N
( le |...| indicano, naturalmente il modulo)
che si può riscrivere senza problemi così:
|5x-7y|=(N/3)
poichè il termine a sinistra è di certo intero anche (N/3) deve esserlo, per cui N deve essere necessariamente multiplo di 3
N.B.: se N è proprio uguale a 3 il problema ha soluzione per le coppie di (x,y) date da (3,2) e (4,3), per cui il quesito ha soluzione per qualsiasi multiplo di 3
se N=3*k, basta moltiplicare (a seconda di chi sia il creditore) una delle "coppie" indicate per k. |
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ZTP
Eroe
Registrato: 17/02/09 22:40
Messaggi: 60
Residenza: Terra, terzo pianeta dal Sole
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| Inviato: 22 Feb 2009 12:40 Oggetto: |
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Aaaah me intendevi questo per generalizzare xD Pensavo ti riferissi a tutti e tre i parametri! Del tipo "con X pezzi da A grammi, potendo ricevere il resto in Y pezzi da B grammi, devo saldare un debito di C"
Avevo capito male 
La tua dimostrazione comunque mi sembra adatta ^^ |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 22 Feb 2009 16:51 Oggetto: |
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| ZTP ha scritto: | | Pensavo ti riferissi a tutti e tre i parametri! Del tipo "con X pezzi da A grammi, potendo ricevere il resto in Y pezzi da B grammi, devo saldare un debito di C" |
in effetti la generalizzazione "generalissima" si deve a Diofante
speravo che Madvero (nota estimatrice delle diofantee) ce lo dicesse per prima  |
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Ranger_Trivette
Dio maturo
Registrato: 21/08/07 16:11
Messaggi: 4980
Residenza: Genova
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| Inviato: 22 Feb 2009 20:25 Oggetto: |
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mannaggia stà quì era facile, potevo fare un figurone  |
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