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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 14 Feb 2009 11:48 Oggetto: Un problema di minimo: "Camping Quiz" |
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Una coppia di campeggiatori ha posto la sua tenda nel punto A.
A mezza mattina, il marito decide di andare a trovare dei suoi amici che si trovano nel punto B.
La moglie coglie la palla al balzo e gli intima di andare al ruscello che scorre poco lontano, per prendere un secchio d?acqua.
Il marito prende il secchio e va dagli amici. Resosi conto di esserci rimasto un po? troppo, per risparmiare tempo, decide che percorrerà il tragitto più breve per ritornare alla propria tenda, deviando, naturalmente, per prendere il secchio d?acqua come la moglie gli ha chiesto.
Lo vogliamo aiutare a scovare questo percorso?
In sostanza, precisato che la situazione, al solito, è ideale e cioè il campeggio si trova in una perfetta pianura, le rive del ruscello, fra loro parallele, sono perfettamente rettilinee e la velocità del marito è costante, sia col secchio pieno che con quello vuoto, qual è il percorso più breve B-ruscello-A?
Vale a dire, in quale punto del ruscello dovrà fermarsi per riempire il secchio affinché tale percorso sia minimo?
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madvero
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 19 Feb 2009 01:49 Oggetto: |
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bello questo, si può risolvere graficamente...
(secondo me sotto c'è il trucco).
al solito: ci penso stanotte mentre dormo, vediamo se domattina mi sveglio con la soluzione in tasca. |
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madvero
Amministratore
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| Inviato: 19 Feb 2009 01:50 Oggetto: |
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ps: com'era la formula dell'area trovata sulla base di un lato e tre angoli, seni, coseni e reggiseni, che non me la ricordo?
(so benissimo che non c'entra, se non nella mia testa, ma m'è venuta sta curiosità) |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 19 Feb 2009 12:03 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | ps: com'era la formula dell'area trovata sulla base di un lato e tre angoli, seni, coseni e reggiseni, che non me la ricordo?
(so benissimo che non c'entra, se non nella mia testa, ma m'è venuta sta curiosità) |
penso che ti riferisca al teorema dei seni, secondo il quale esiste una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.
Vale a dire, se a, b, c sono i lati del triangolo e alfa, beta, gamma gli angoli opposti:
a/sin[alfa]=b/sin[beta]=c/sin[gamma]
nonchè alla formula di Erone:
S = {sqr}[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)] )laddove p è il semiperimetro)
cioè alla radice quadrata dei prodotto dei fattori indicati in parentesi quadra
Per quanto riguarda il "trucco" da te subdorato nell'altro post, ebbene sì: c'é...ma non è per niente "volgare"  |
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den
Mortale adepto
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| Inviato: 19 Feb 2009 15:38 Oggetto: |
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Ciao a tutti, è un'eternità che non passo più di qua...
Letto il problema, così a occhio m'è venuto in mente che...
| Citazione: | | se non ricordo male, un'ellisse è il luogo dei punti la cui somma delle distanze dai fuochi è costante... Quindi credo che si tratti di trovare il punto di tangenza tra l'ellisse con fuochi in a e b, e la retta-fiume... Questa è la mia interpretazione, non so se è giusta... |
spoilerato by mad
(che ancora non aveva trovato la soluzione, uffi) |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 20 Feb 2009 11:37 Oggetto: |
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bell'idea, den 
in effetti quello che dici tu è correttissimo ed utilissimo per risolvere il quesito!
...e può indurci ad interessanti osservazioni su fuochi e biliardi... |
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madvero
Amministratore
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 20 Feb 2009 13:22 Oggetto: |
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| den ha scritto: | | Ciao a tutti, è un'eternità che non passo più di qua... |
male, malissimo !!!
si abbandonano così gli amici ?
adesso però resti, vero  che sì? |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 20 Feb 2009 20:37 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: |
(che ancora non aveva trovato la soluzione, uffi) |
...ma hai tutto il tempo per trovarla!
(quello di den, per ora, è solo un utile indizio...anzi per essere precisi è una conseguenza vera e propria della soluzione del quesito! ) |
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madvero
Amministratore
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 20 Feb 2009 22:48 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | ...ma hai tutto il tempo per trovarla! |
ma letto l'indizio di den, ormai si tratta solo di fare due conti.
e a me non piace fare i conti !!!
voglio avere un'illuminazione e fare il disegnino col compasso !!!
(ok, stasera sto facendo i capricci, lo ammetto)
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 20 Feb 2009 23:54 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | | salmastro ha scritto: | | ...ma hai tutto il tempo per trovarla! |
ma letto l'indizio di den, ormai si tratta solo di fare due conti.
e a me non piace fare i conti !!!
voglio avere un'illuminazione e fare il disegnino col compasso !!!
(ok, stasera sto facendo i capricci, lo ammetto)
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attenzione: l'osservazione di den, come ho già scritto, più che un indizio per la risoluzione è una conseguenza della stessa
per cui...non è necessario fare i "due conti"...bastano i disegnini, meglio senza compasso |
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dart
Eroe
Registrato: 24/02/09 12:06
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| Inviato: 24 Feb 2009 12:22 Oggetto: |
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un saluto a tutti.
premessa (che potete saltare!)
leggo da un po' di tempo gli indovinelli, ma mi sono registrato solo oggi...
vedo spesso soluzioni, giustissime, ma piuttosto complicate che a volte non riesco neanche a capire  (per esempio, non so cosa sia la trigonometria...)
quindi le risposte che darò, saranno più banali e semplici, non da matematico!
detto questo...
| Citazione: | chiamiamo A' e B' i punti più vicini da A e B alla sponda del fiume (tracciamo le perpendicolari alla sponda per trovarli).
troviamo il punto O in modo tale che l'angolo AOA' sia uguale a quello BOB'.
il percorso sarà quindi BOA e la lunghezza del percorso sarà:
radice quadrata di [(BB'+AA')^2 + (B'A')^2]
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 24 Feb 2009 13:14 Oggetto: |
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| dart ha scritto: | un saluto a tutti.
| Citazione: | chiamiamo A' e B' i punti più vicini da A e B alla sponda del fiume (tracciamo le perpendicolari alla sponda per trovarli).
troviamo il punto O in modo tale che l'angolo AOA' sia uguale a quello BOB'.
il percorso sarà quindi BOA e la lunghezza del percorso sarà:
radice quadrata di [(BB'+AA')^2 + (B'A')^2]
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un saluto anche a te ...e non fare il modesto 
per tornare alla tua idea: ritengo correttissima la tua intuizione e la formula, secondo me, è quella giusta!
però...perchè sia giusta e perchè sia veramente quello il percorso non mi pare sia stato chiarito
...un ulteriore piccolo sforzo! |
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dart
Eroe
Registrato: 24/02/09 12:06
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| Inviato: 24 Feb 2009 13:19 Oggetto: |
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| Citazione: | eheh...
allora, la formula può essere riscritta come 2 formule separate, ovvero trovare prima il segmento BO, e poi quello OA (non scrivo le formule, basta applicare pitagora....).
io l'ho vista come se il punto A fosse "riflesso" dalla parte opposta della sponda, alla stessa distanza.
quindi il segmento BA sarebbe unico, e il triangolo anche (e quindi un'unica formula).
in realtà, toccato il punto O, l'omino rimbalza come fosse appunto un palla da biliardo.... ma la distanza è sempre quella... |
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madvero
Amministratore
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 24 Feb 2009 13:20 Oggetto: |
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e bella dart !!!
son settimane che temporeggio su sto quesito !!!
(magari in due convinciamo salmastro ad abbassare il tiro sui problemi...
scherzo, scherzo.) |
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dart
Eroe
Registrato: 24/02/09 12:06
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| Inviato: 24 Feb 2009 13:24 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | e bella dart !!!
son settimane che temporeggio su sto quesito !!!
(magari in due convinciamo salmastro ad abbassare il tiro sui problemi...
scherzo, scherzo.) |
grazie.... 
come detto, forse voi pensate subito a cose complicate, tipo trigonometria, serie geometriche, calcoli combinatori, ecc...
io non le conosco 'ste cose e cerco di risolverli con strumenti più semplici...  |
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madvero
Amministratore
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 24 Feb 2009 13:32 Oggetto: |
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| dart ha scritto: | | grazie.... |
ma di niente, figurati !!!
| dart ha scritto: | | come detto, forse voi pensate subito a cose complicate, tipo trigonometria, serie geometriche, calcoli combinatori, ecc... |
mica tanto. io dall'università mi sono ritirata (senza laurearmi, ovvio), e quindi di tutte ste cose ho solo vaghi ricordi confusi.
| dart ha scritto: | | io non le conosco 'ste cose e cerco di risolverli con strumenti più semplici... |
e fai bene!!! ci provo sempre anch'io !!!
alla fine la matematica dovrebbe essere uno strumento per semplificare e ridurre ad uno schema semplice la realtà che ci circonda... ognuno si fa gli schemi che vuole.
c'è chi piazza le matrici 4x4, e chi (come me) preferisce arrangiarsi coi disegnini.
oh, comunque dart quando vuoi puoi postare anche tu dei quiz o dei rompicapi !!! anche non matematici (se hai del tempo libero) |
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chemicalbit
Dio maturo
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| Inviato: 24 Feb 2009 14:40 Oggetto: |
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| dart ha scritto: | | vedo spesso soluzioni, giustissime, ma piuttosto complicate che a volte non riesco neanche a capire (per esempio, non so cosa sia la trigonometria...) |
Qui trovi uan discussione in cui avevamo parlato di qualcosina-ina di trogonometria : Seno e Coseno |
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chemicalbit
Dio maturo
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Residenza: Milano
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| Inviato: 24 Feb 2009 14:43 Oggetto: |
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| dart ha scritto: | | Citazione: | | io l'ho vista come se il punto A fosse "riflesso" dalla parte opposta della sponda, alla stessa distanza. |
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Sì, questo era venuto in mente anche a me,
poi però non ho avuto tempo di pensarci su. |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 24 Feb 2009 19:25 Oggetto: |
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bene, dart
mi sembra opportuno rivelarti che il quesito che hai risolto ha nobili origini ed è noto come "Problema di Erone" (proprio quel signore di cui parlava Mad ), la cui soluzione prende, sempre da lui, il nome di "Teorema di Erone", secondo il quale:
| Citazione: | | Data una retta r e due punti esterni A ed B, il punto P della retta r che minimizza la somma PA+PB è quel punto tale che i segmenti PA e PB formano angoli uguali con la retta r. |
Per dimostrarlo...
| Citazione: | è sufficiente riflettere il punto B rispetto alla retta r in modo da ottenere un punto B' tale che r è l'asse del segmento BB' . La distanza più breve tra B' e A è data dal segmento che li congiunge e questo segmento deve passare per r. Il punto di intersezione P, di r e AB ', è quello che minimizza PA+PB.
Infatti, per qualunque altro punto P' la somma delle distanze P'A+P'B è maggiore, poiché è uguale alla somma P'B' +P'A, che è la lunghezza di un percorso non rettilineo tra Q' e R.
Infine, il punto P, così definito, è l'unico punto della retta tale che i segmenti PB e PA formano angoli uguali con la retta r, come illustrato in figura. |
N.B. la figura è QUI
Per concludere, ritengo giusto osservare che il contesto in cui appare questo teorema è quello dell? ottica geometrica. Erone lo usò per dimostrare che un raggio di luce che da B giunge a A riflettendosi su uno specchio piano sceglie il percorso minimo tra tutti quelli che toccano lo specchio. Questa scelta, infatti, grazie al teorema quotato, equivale alla legge della rilessione (che era già nota ai greci). Uno stesso principio di minimo poteva così spiegare sia la legge della propagazione rettilinea che le leggi della riflessione. È questo il primo uso documentato di un principio di minimo in fisica.
P.S.: è stato, anche, giustamente osservato che bisognava cercare l'ellisse tangente alla retta r, avente quali fuochi i punti A e B e questo è verissimo, infatti vale la cosiddetta "proprietà tangenziale dell'ellisse", per la quale "una tangente all'ellisse in un punto P forma angoli uguali con le rette che congiungono P con i due fuochi", che si può dimostrare con l'ausilio dell'ormai stracitato Teorema di Erone. |
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dart
Eroe
Registrato: 24/02/09 12:06
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| Inviato: 24 Feb 2009 21:29 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | | oh, comunque dart quando vuoi puoi postare anche tu dei quiz o dei rompicapi !!! anche non matematici (se hai del tempo libero) |
ah, quello non l'avevo visto!! 
| chemicalbit ha scritto: | | Qui trovi uan discussione in cui avevamo parlato di qualcosina-ina di trogonometria : Seno e Coseno |
eh... ma non sai comunque cosa farmene!!
non saprei usarli per risolvere problemi...
| salmastro ha scritto: | bene, dart
mi sembra opportuno rivelarti che il quesito che hai risolto ha nobili origini ed è noto come "Problema di Erone" (proprio quel signore di cui parlava Mad ), la cui soluzione prende, sempre da lui, il nome di "Teorema di Erone", secondo il quale:
| Citazione: | | Data una retta r e due punti esterni A ed B, il punto P della retta r che minimizza la somma PA+PB è quel punto tale che i segmenti PA e PB formano angoli uguali con la retta r. |
Per dimostrarlo...
| Citazione: | è sufficiente riflettere il punto B rispetto alla retta r in modo da ottenere un punto B' tale che r è l'asse del segmento BB' . La distanza più breve tra B' e A è data dal segmento che li congiunge e questo segmento deve passare per r. Il punto di intersezione P, di r e AB ', è quello che minimizza PA+PB.
Infatti, per qualunque altro punto P' la somma delle distanze P'A+P'B è maggiore, poiché è uguale alla somma P'B' +P'A, che è la lunghezza di un percorso non rettilineo tra Q' e R.
Infine, il punto P, così definito, è l'unico punto della retta tale che i segmenti PB e PA formano angoli uguali con la retta r, come illustrato in figura. |
N.B. la figura è QUI
Per concludere, ritengo giusto osservare che il contesto in cui appare questo teorema è quello dell? ottica geometrica. Erone lo usò per dimostrare che un raggio di luce che da B giunge a A riflettendosi su uno specchio piano sceglie il percorso minimo tra tutti quelli che toccano lo specchio. Questa scelta, infatti, grazie al teorema quotato, equivale alla legge della rilessione (che era già nota ai greci). Uno stesso principio di minimo poteva così spiegare sia la legge della propagazione rettilinea che le leggi della riflessione. È questo il primo uso documentato di un principio di minimo in fisica.
P.S.: è stato, anche, giustamente osservato che bisognava cercare l'ellisse tangente alla retta r, avente quali fuochi i punti A e B e questo è verissimo, infatti vale la cosiddetta "proprietà tangenziale dell'ellisse", per la quale "una tangente all'ellisse in un punto P forma angoli uguali con le rette che congiungono P con i due fuochi", che si può dimostrare con l'ausilio dell'ormai stracitato Teorema di Erone. |
ecco, il mio problema sono le dimostrazioni!
avevo pensato anch'io all'ellisse, ma non sarei mai riuscito a risolverlo con quella. |
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