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IvoFaArtiInvano
Eroe
Registrato: 02/12/07 16:59
Messaggi: 62
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 Inviato: 06 Feb 2009 11:33 Oggetto: Che ore sono? |
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In questo momento la lancetta dei minuti e quella delle ore sono perfettamente sovrapposte
e la lancetta dei secondi si trova proprio nella posizione in cui esse si sono sovrapposte la volta precedente.
Che ore sono?
P.S.: si tratta di un orologio ideale, nel quale cioè, il moto rotatorio delle lancette è costante e quindi continuo (senza scatti). |
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Angus_Mac
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 31/05/08 18:24
Messaggi: 187
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| Inviato: 07 Feb 2009 12:08 Oggetto: |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 07 Feb 2009 12:36 Oggetto: |
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penso di no...
credo che sia un orologio "classico" con i numeri da 1 a 12
(ho una mia idea sul quesito, ma la dovrei affabulare...) |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 07 Feb 2009 19:58 Oggetto: Re: Che ore sono? |
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Per me:
| Citazione: | | l'ora esatta e' 8 ore, 43 minuti, 38 secondi + 2/11 di secondo...... se anche la lancetta dei secondi si muove in modo continuo |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 07 Feb 2009 20:11 Oggetto: Re: Che ore sono? |
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| Jowex ha scritto: | Per me:
| Citazione: | | l'ora esatta e' 8 ore, 43 minuti, 38 secondi + 2/11 di secondo...... se anche la lancetta dei secondi si muove in modo continuo |
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concordo, anche per me! 
ci dici come hai fatto? |
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IvoFaArtiInvano
Eroe
Registrato: 02/12/07 16:59
Messaggi: 62
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| Inviato: 08 Feb 2009 00:56 Oggetto: |
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Jowex e Salmastro: avete fatto centro 
Sarei curioso di sapere da Jowex (o da Salmastro) quale percorso abbia usato per trovare la soluzione.  |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 08 Feb 2009 15:23 Oggetto: Re: Che ore sono? |
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| Jowex ha scritto: | Per me:
| Citazione: | | l'ora esatta e' 8 ore, 43 minuti, 38 secondi + 2/11 di secondo...... se anche la lancetta dei secondi si muove in modo continuo |
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La mia soluzione e' questa:
| Citazione: | Prima di tutto determino quali sono gli orari in cui le lancette delle ore e dei minuti sono sovrapposte.
Considero un tempo T espresso in ore in forma decimale (per es 4,3333... per indicare le 4 e 20 minuti)
L'angolo in gradi rispetto alle 12 formato dalla lancetta delle ore sara':
aH = T/12*360
Quello formato dalla lancetta dei minuti sara':
aM = (T*60)/60*360 = T*360
Uguagliando i due angoli a meno di multipli di 360 gradi:
T*360 = T/12*360 + 360*P (dove P e' un qualunque intero)
T = T/12 + P
T = P*12/11
Dato che ci interessa T compreso tra 0 e 12 (0 <= T < 12), possiamo limitare P ai valori: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Per ogni P si ottiene l'ora T in cui le lancette delle ore e dei minuti si sovrappongono:
P=0 T=0
P=1 T=12/11
P=2 T=24/11
P=3 T=36/11
P=4 T=48/11
P=5 T=60/11
P=6 T=72/11
P=7 T=84/11
P=8 T=96/11
P=9 T=108/11
P=10 T=120/11
Posso anche scrivere T come funzione di P:
T(P) = P*12/11 (e' il tempo di una generica sovrapposizione)
T(P-1) = (P-1)*12/11 (e' il tempo della sovrapposizione precedente)
Ora considero l'angolo formato dalla lancetta dei secondi:
aS = (T*60*60)/60*360 = T*60*360
e lo uguaglio all'angolo formato dalla lancetta delle ore alla sovrapposizione precedente:
T(P)*60*360 = T(P-1)/12*360 + 360*Q
dove ho indicato la dipendenza da P e da un generico intero Q per considerare i multipli di 360 gradi.
Sostituendo T(P) e T(P-1) e dividendo per 360, ottengo:
P*12/11*60 = (P-1)*12/11/12 + Q
P*60*12/11 = (P-1)/11 + Q
Q = (720P-P+1)/11 = (719P+1)/11 = (715P+4P+1)/11 = 65 + (4P+1)/11
che puo' essere risolta variando P da 0 a 10 e verificando se il valore di Q risultante e' intero.
In particolare e' sufficiente verificare quando (4P+1)/11 e' intero: l'unico P valido e' 8, da cui:
T( 8 ) = 8*12/11 = 8 + 8/11 = 8 ore, 43 minuti, 38 secondi + 2/11 di secondo
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Un'altra osservazione:
| Citazione: | se invece di uguagliare la posizione della lancetta dei secondi con la posizione della lancetta delle ore alla sovrapposizione precedente,
si uguagliasse la posizione della lancetta dei secondi con la posizione della lancetta delle ore in una generica altra sovrapposizione d (se d = 1, si ricade nel caso precedente),
allora basterebbe trovare, al variare di P, il minimo valore di d che rende intera la quantita' (4P+d)/11, con 0<=P<=10 e 0<=d<=10.
(infatti basta ripetere gli ultimi conti usando T(P-d) al posto di T(P-1))
Quindi si puo' dire che nell'istante di ogni sovrapposizione di ore e minuti, la lancetta dei secondi si trova sempre nella posizione di una delle altre possibili sovrapposizioni tra ore e minuti!!!
Infatti risulta:
P=0 d=0
P=1 d=7
P=2 d=3
P=3 d=10
P=4 d=6
P=5 d=2
P=6 d=9
P=7 d=5
P=8 d=1
P=9 d=8
P=10 d=4 |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 08 Feb 2009 15:56 Oggetto: |
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provo a esporre la mia idea.
per intanto, anche se noto, vediamo quando la lancetta delle ore si sovrappone a quella dei minuti.
| Citazione: | alle ore dodici (o zero che sia), ovviamente, si sovrappongono, affinchè avvenga di nuovo la lancetta dei minuti, che è 12 volte più veloce di quella delle ore, la deve di nuovo raggiungere.
sia T il tempo in cui ciò avviene. dalla relazione s=vt (anche se parliamo, in realtà, di angoli la cosa funziona, ovviamente) per le due lancette si ha:
X/V = (60+X)/12V
laddove il tempo lo misuriamo in "minuti primi"
risolvendo otteniamo X=60/11
che indica di quanto si sia spostata rispetto allo "zero" la lancetta delle ore, ma anche quella dei minuti, che però ha anche compiuto un giro completo: in sostanza la nuova sovrapposizione avviene quando dalle ore 12 sono trascorsi (60+60/11)m, vale a dire 1h 5m 27,2727s (cioè un'ora, 5 minuti, 27 secondi ed un'ulteriore frazione di secondi pari a 3/11)
per simmetria, le lancette grandi si sovrapporrano, per undici volte!, sempre con la stessa cadenza, prima di ritornare alla posizione "zero" |
ora mi semplifico la vita ed uso un "nuovo" sistema per i gradi....
| Citazione: | il sistema "undecimale", cioè divido l'angolo giro in 11 parti uguali, in cui un grado undecimale è pari a quello formato dalle lancette con la pozione zero nell'istante della prima sovrapposizione. In sostanza 1° è l'angolo legato alla prima sovrapposizione, 2° alla seconda etc.
in tutto 11 gradi
ora dobbiamo vedere che posizione occupa la lancetta dei secondi in corrispondenza dei gradi interi "undecimali" sopra descritti.
nella prima sovrapposizione la lancetta dei secondi si troverà nella posizione che indica 27,27 (27+3/11), che in gradi undecimali vale 5°
infatti, per la trasformazione da "secondi" a "gradi", basta dividere 27,27 per 60 (il giro completo) e poi moltiplicare per 11.
per vedere che succede alla lancetta dei secondi al momento della seconda sovrapposizione delle lancette grandi basterà moltiplicare per due i suddetti 5° e così via, avendo cura, però, di far si che la moltiplicazione sia sempre di "modulo"11: vale a dire che se il risultato è maggiore di 11 sottrarremo 11 una o più volte al risultato.
Per esempio: per la 3^ sovrapp., avremo 3x5=15, da cui 15-11=4 e 4° è il risultato buono. |
a questo punto siamo in grado di realizzare la seguente tabella:
| Codice: | h/m 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 0
sec 0 05 10 04 09 03 08 02 07 01 06 0
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laddove, per esigenze di formattazione, i "gradi" sono espressi con due cifre.
nella prima riga sono esposti i "gradi" delle sovrapposizioni ore/minuti,
nella seconda, i "gradi" della lancetta dei secondi in quegli stessi istanti
| Citazione: | un semplice esame "ad occhio" ci mostra che quando le lancette grandi si trovano nella posizione "08" (8° undecimali), la lancetta dei secondi si troverà nella posizione "07" (7° gradi undecimali), la stessa che le grandi occupavano nella precedente sovrapposizione.
se moltiplichiamo per 8 il vecchio risultato di 1h 5m (27+3/11)s
otterremo 8h 43m 38s ed una ulteriore frazione di secondi pari a 2/11 |
P.S.: mi accorgo adesso che Jowex è già intervenuto...mi scuso...ma ormai avevo scritto |
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IvoFaArtiInvano
Eroe
Registrato: 02/12/07 16:59
Messaggi: 62
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| Inviato: 10 Feb 2009 13:15 Oggetto: |
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L'ultima osservazione di Jowex è stata la stessa che mi ha guidato per scovare un testo del problema che fosse privo di numeri e il più breve possibile (velleità di eleganza ).
La nuova unità di misura introdotta da Salmastro dimostra come le cose si possano (con grandi vantaggi) vedere da altre 'angolazioni' 
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
Messaggi: 19480
Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 10 Feb 2009 13:39 Oggetto: |
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io dico che sono le 13.39
ho vinto qualche cosa?
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