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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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 Inviato: 24 Gen 2009 11:47 Oggetto: Tutti tranne i "dueallakappa" |
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Niente trucchi o inganni, stavolta. Nè pirati, nè bicchieri.
Sol di numeri si parla, anzi, meglio, di numèri!!! 
Per il week-end vi inviterei a verificare che tutti i numeri interi sono esprimibili come somma di almeno due interi consecutivi, con la sola esclusione di tutti le potenze di 2 (non semplicemente i multipli...), quelli che per l'appunto si posson scrivere come [2^K], per i quali la cosa è impossibile.
Si precisa che per gli interi N vale N>1
mentre K, esso stesso intero, può anche valere zero.
N.B: messaggio editato in quanto contenente un'imprecisione (per niente leggera...)
L'ultima modifica di Salmastro il 24 Gen 2009 12:45, modificato 2 volte |
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Zeus
Amministratore
Registrato: 21/10/00 01:01
Messaggi: 12777
Residenza: San Junipero
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| Inviato: 24 Gen 2009 12:07 Oggetto: Re: Tutti tranne i "dueallakappa" |
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| Citazione: |
E' certamente vera questa equazione:
n=(n/2+n/2)+(1/2-1/2)
Quindi
n=(n+1)/2 + (n-1)/2
2n=(n+1)+(n-1)
2n+1=(n+1)+n
Se m=2n+1 vuol dire che non è multiplo di 2. Ciascun numero m (dove m è pari a 2n+1) è pari quindi alla somma di (n+1) e n, dove n e (n+1) sono appunto due numeri naturali consecutivi.
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 24 Gen 2009 12:42 Oggetto: Re: Tutti tranne i "dueallakappa" |
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| salmastro ha scritto: | | ...verificare che tutti i numeri interi sono esprimibili come somma di almeno due interi consecutivi, con la sola esclusione di tutti le potenze di 2 (non semplicemente i multipli!!!), quelli che per l'appunto si posson scrivere come [2^K] |
ulteriori e necessarie precisazione:
almeno due è da intendersi nel senso di due o più interi consecutivi
inoltre, probabilmente, sono stato impreciso ....ho scritto multipli...volevo scrivere potenze
vado a correggere scusandomi con zeussino |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 24 Gen 2009 14:12 Oggetto: Re: Tutti tranne i "dueallakappa" |
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gia' un altro quesito di salmastro 
| Citazione: | i numeri non potenze di 2, se scomposti in fattori primi, hanno sicuramente almeno un fattore dispari (in caso contrario sarebbero potenze di 2!)
quindi possono essere scritti come: m*(2n+1), con n>=1 e m>=1
ovvero m sommato un numero dispari di volte, per es. 2n+1 = 2*2+1 = 5:
m+m+m+m+m = (m-2)+(m-1)+(m)+(m+1)+(m+2)
e lo stesso "bilanciamento" puo' essere fatto per qualunque numero dispari:
m*(2n+1) = (m-n)+(m-n+1)+...+(m)+...+(m+n-1)+(m+n)
e i termini tra parentesi sono tutti interi consecutivi
Se per "sfortuna" risultano dei termini negativi (ovvero quando m-n<0), nessun problema: ogni termine negativo annulla il corrispondente termine positivo! per es:
14 = 2*7 = 2*(2*3+1) risulta m=2, n=3 (cioe' m<n)
= (-1)+(0)+(1)+(2)+(3)+(4)+(5) = 2 + 3 + 4 + 5
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 25 Gen 2009 17:55 Oggetto: |
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ciao J.
sì, mi sembra ben dimostrato
non vorrei sbagliare, ma manca il caso delle potenze di due (i 2^K) 
nell'attenderti, cerco di scovare una dimostrazione più semplice della tua  |
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panterarosa87
Dio minore
Registrato: 14/12/08 18:41
Messaggi: 817
Residenza: terlizzi
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| Inviato: 25 Gen 2009 18:17 Oggetto: |
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| bo |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 26 Gen 2009 21:00 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | non vorrei sbagliare, ma manca il caso delle potenze di due (i 2^K) |
Provo a dimostrarlo in un modo che non e' ne' rigoroso ne' elegante, che si basa sulle considerazioni del post precedente:
| Citazione: | Dimostrare che una potenza di 2 non e' scomponibile nella somma di p interi consecutivi
equivale a dimostrare che un numero scomponibile nella somma di p interi consecutivi non puo' essere una potenza di 2
Quindi supponendo che un numero sia scomponibile nella somma di p interi consecutivi, posso considerare 2 casi:
1. se il numero totale di interi consecutivi e' dispari (p=2n+1), la loro somma puo' essere scritta come nell'altro post:
(m-n)+(m-n+1)+...+(m)+...+(m+n-1)+(m+n) = m+m+...+m+...+m+m = m*(2n+1)
che non puo' essere una potenza di 2, dato che tra i suoi fattori c'e' un numero dispari
2. se il numero di interi consecutivi e' pari, ci si puo' ricondurre al caso 1 sommando tutti i termini che mancano per arrivare a 0, lo zero, e i corrispondenti numeri negativi.
Poiche' il numero di elementi aggiunti e' sempre dispari, in questo modo anche il numero totale di elementi diventa dispari, e si torna al caso 1...
Mi spiego meglio con un esempio:
ho un numero dato dalla somma 4 + 5 + 6 + 7
aggiungo +1 +2 +3 -1 -2 -3 +0 (e la somma risultante non cambia)
ottengo (-1) + (-2) + (-3) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
che e' formato dalla somma di un numero dispari di elementi, quindi come nel caso 1 |
Sicuramente si puo' fare di meglio... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 28 Gen 2009 13:52 Oggetto: |
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ok!, Jowex, e non credo si possa fare di meglio
...e giusto perchè l'avevo scritta giorni fa, posto di seguito una mia ipotesi di soluzione, che forse potrà essere utile a chi non si ritrova, me compreso, con "termini negativi" o, cosa più probabile, servirà solo a confondere le idee e, in ogni caso, praticamente, coincide con quella di Jowex...
| Citazione: | Dunque, dovevamo verificare che, tranne le potenze di 2 (2^k), tutti gli altri interi sono esprimibili come somma di almeno due numeri interi consecutivi.
Scomponendo in fattori primi un qualsiasi intero possiamo esprimerlo nella forma:
N = (2^k)*(2n+1)
laddove abbiamo distinto la parte "pari" (le potenze di 2) e la parte dispari, inglobando in questa tutti
i fattori (e relative potenze) di eventuali divisori dispari di N
Se k=0, N è un numero dispari (caso 1.)
Se x>0, N è un numero pari ed allora distingueremo due sottocasi:
se n=0, N è una potenza di 2 (caso 3.)
se n>0. N è un numero pari, ma con divisori dispari (caso 2.)
Caso 1.
si ha semplicemente N=2n+1 ed altrettanto semplicemente potremo dire che N=n+(n+1), cioè è dato dalla somma
di due nueri consecutivi, così come richiesto: n ed n+1
Caso 2.
potremo scrivere N=p*(2n+1), avendo inglobato in [p] il fattore 2^k
ricordiamo che la somma di una progressione aritmetica di n termini e di ragione 1 è data da:
S=(1/2)*n*(a1+an)
e osserviamo che se n è dispari si ha che S=n*ac]/size], laddove a[size=9]c è il termine centrale della progressione,
mentre se n è pari si ha S=(n/2)*(ac-+ac+), essendo ac- ed ac+ i due termini centrali.
distinguiamo due eventualità: p>n e p<n
quando p>n sceglieremo una progressione di (2n+1) termini con p come valore centrale
per esempio 12=4*3 ---> (4-1)+4+(4+1)=3+4+5=12
ed ancora 28=4*7 ----> (4-3)+(4-2)+(4-1)+4+(4+1)+(4+2)+(4+3)=1+2+3+4+5+6+7 (7 termini)
quando p<n sceglieremo invece una progressione di 2*p termini con (2n+1) somma dei valori centrali
per esempio 44=4*11 ---> 2n+1=11=5+6 ---> (5-3)+(5-2)+(5-1)+5+6+(6+1)+(6+2)+(6+3)=2+3+4+5+6+7+8+9=44 (8 termini)
se p=n, è indifferente usare l'uno o l'altro metodo (meglio però il secondo, ché non escono fuori valori nulli)
(...credo che nei casi p=n e p=n+1 si ottengano dei numeri "triangolari")
e finalmente caso 2.
N=(2^k), ed è da dimostrare che non è vera l'uguaglianza N=S=(n/2)*(a1+an)
riprendiamo una precedente osservazione:
se n è dispari si ha che S=n*ac, laddove ac è il termine centrale della progressione,
mentre se n è pari si ha S=(n/2)*(ac-+ac+), essendo ac-[(size] ed a[size=9]c+ i due termini centrali,
da questa deduciamo che n non può essere dispari, altrimenti avremmo N=n*ac ed N avrebbe un divisore dispari, cosa esclusa per ipotesi.
ma non può essere nemmeno n pari: infatti nel prodotto (n/2)*(ac-+ac+) è vero che n/2 è pari ma l'altro termine è sicuramente dispari e
quindi, come prima, N avrebbe un divisore dispari, cosa esclusa per ipotesi. |
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