Olimpo Informatico

[fulmine]

Ecco un quizzetto facile facile:
Prendendo un numero di almeno 3 cifre
Es. 1998
invertiamolo
8991
poi sottraiamo quello più piccolo da quello più grande
8991-1998=6993
Postando il risultato omettendo un numero dello stesso
es. 699_ oppure _993 o 69_3
Come si fa a trovare il numero omesso nel risultato? Cioè 3-6 o 9(in questo caso) facendo dei calcoli?
Riassumiamo:
abcd Invertire in dcba >-<= n1_n3n4 ----> n2=?
Buon divertimento.

[Salmastro]

mmm...direi con la mitica...

[n4ps]

...cioè devo trovare un algoritmo per determinare una qualsiasi cifra incognita del numero che si ottiene dal calcolo che hai descritto?...

[fulmine]

[Salmastro]

[Ranger_Trivette]

[Salmastro]

[Salmastro]

?e, come promesso, eccoci a parlare (in chiaro!) della PROVA del NOVE.

Come funziona è abbastanza noto: si tratta di un metodo per verificare l?esattezza delle moltiplicazioni (ma anche delle altre operazioni aritmetiche, in verità)

P.es.: verifichiamo se il prodotto 57x13=741 è corretto

Si costruisce un quadrato (meglio una ?croce? siffatta:

?A |?.B
?C |?.D

Ed operiamo così: in A mettiamo la somma delle cifre del 1° fattore, nel nostro caso 57 --> 5+7=12, con lì accortezza, però, che se tale somma è maggiore di 9 bisogna proseguire nell?algoritmo, cioè da 12 si ottiene 1+2=3, che è il numero da mettere in A (N.B.: qualora il risultato fosse stato 9, bisognava porre 0 [zero])
In B, analogamente, la somma delle cifre del 2° fattore, nel nostro caso 13 --> 1+3=4.
In C, dopo aver effettuato il prodotto AxB, bisogna porre ciò che si ottiene usando il detto procedimento: nel ns. caso 3x4=12 --> 1+2=3
In D bissogna mettere il numero (meglio: la cifra) che otteniamo col solito procedimento dal prodotto che vogliamo verificare: vale a dire da 741 --> 7+4+1=12 --> 1+2=3
Se C e D sono uguali la prova ha avuto esito positivo e siamo (abbastanza) sicuri della nostra abilità calcolatoria (N.B.: infatti se, per errore, avessimo ottenuto 831 come risultato la prova avrebbe dato ugualmente esito positivo?)

Detto questo, il problema è perché funzioni e perché si fa la prova del 9 e non di altro numero.

Il seguito al prossimo post?

[Salmastro]

2^ puntata:

per comprendere il funzionamento dell?algoritmo dobbiamo premettere delle considerazioni (e mi scuso se sarò poco rigoroso).
Dato l?insieme N dei numeri naturali (?gli interi e mettiamoci pure lo zero), dato un numero k ad esso appartenente possiamo creare k sottoinsiemi di N in questo modo:
dividiamo un qualsiasi numero n di N per k e sia r il resto della divisione, in sostanza si avrà:

n = q*k + r

e diremo che due numeri n ed m appartengono alla stessa ?classe di resti di modulo k? (i sottoinsiemi di cui sopra) se il resto della divisione per k è uguale: per brevità se avviene che
n = q*k + r e m = h*k + r, diremo che n ed m sono ?congrui di modulo k? (N.B.: tutte le quantità in gioco sono numeri interi!)

Ora, è facile vedere che, fissato k, il prodotto dei ?resti? è ?congruo modulo k? al resto del prodotto

Infatti, prendiamo i due numeri: n = q*k + r e m = h*k + s

Il prodotto dei resti è evidentemente uguale ad r*s

Esaminiamo ora il prodotto: m*n = (q*k + r)*(h*k +s), svolgendo il prodotto si ha:

m*n = q*h*k^2 + [q*s + h*r]*k + r*s

esaminiamo queste tre quantità: le prime due sono evidentemente divisibile per k, la terza è proprio uguale al risultato trovato prima, quando abbiamo cercato il prodotto dei ?resti?, per cui siamo in gado di dire che, poiché, come dimostrato,

<<il prodotto dei ?resti? è ?congruo modulo k? al resto del prodotto>>

la prova del 9, impostata come nel 1° post (ed intesa come verifica della congruità di due numeri secondo il modulo ?9?), funziona?se, però, riusciremo a scoprire il legame fra la somma delle cifre di un qualsiasi numero e il resto della sua divisione per 9?di questo si parlerà nel 3° ed ultimo post.

[Salmastro]

3^ e ultima puntata

essendo il nostro sistema numerico a base 10 si può verificare che il resto della divisione di qualsiasi numero intero per 9 (vale a dire per [10-1]) è ?congruo? alla somma delle sue cifre

(N.B.: se usassimo la base 16, ovviamente, faremmo la prova del 15?)

Per verificarlo facciamo un esempio pratico, considerando un numero di quattro cifre, diciamo 4.135. Lo potremo scrivere come somma di potenze di 10, cioè:
4.135 = 4*1.000 + 1*100 + 3*10 + 5*1

Se si sottrae e si aggiunge 1 ad ogni potenza di 10, si ottiene:

4.135 = 4*(1.000-1+1) + 1*(100-1+1) + 3*(10-1+1) + 5(1-1+1) = (4*999)+(1*99)+(3*9)+(5*0)+4+1+3+5

Tutte le quantità fra parentesi sono divisibile per 9 e, lasciandole da parte resta 4+1+3+5: la somma delle cifre del numero originale!...e procedendo ulteriormente, se tale somma è superiore a 9 (anzi ad 8, ché fosse 9 è lo stesso che dire zero), si otterrà un numero di una sola cifra, che sarà proprio, per quanto visto, il resto della divisione per 9 del numero di partenza.

Avremmo potuto effettuare la dimostrazione con una base generica e con compatte notazioni di sommatoria e simili, ma non credo ne valga la pena

Spero di non aver tediato e mi scuso delle eventuali banalità.