Olimpo Informatico

[Roberto1960]

Avendo visto recentemente un enigma proposto dal titolo "La serie numerica" mi è venuto il capriccio di sottoporvene uno su una vera e propria serie numerica, cioè una somma di infiniti termini.

Prendete questa serie: S = +1 -1 +1 -1 ... che continua così fino all'infinito.

E' evidente che le cosidette somme parziali di questa serie, cioè la somma dei primi N termini, valgono o +1 oppure 0.

Non c'è ragione che questa caratteristica "oscillante" delle somme parziali possa ad un certo punto perdersi e per N sufficientemente grande le somme parziali si assestino ad un certo valore, oppure tendano ad un certo valore, magari asintoticamente, in modo tale che la serie S, cioè la somma completa di tutti gli infiniti temini, converga ad un ben preciso valore.

In altre parole quella scritta sembra una tipica serie indefinita, non convergente. Siete d'accordo?

Eppure si può dimostrare, con argomenti di matematica elementare, cioè senza scomodare l'Analisi Matematica, le funzioni, i limiti, i criteri di convergenza, eccetera eccetera, ma usando solo la logica e le quattro operazioni, che si ha S = 1/2.

Siete capaci di dimostrarlo?

[madvero]

di solito dico che la notte porta consiglio, e ci rifletto sopra.
ormai la notte m'è scappata di mano, ci penso sopra un paio di giorni prima di postare una delle mie madverate.

[Zeus]

[Roberto1960]

[madvero]

[IvoFaArtiInvano]

Ho trovato il valore 1/2 percorrendo questa strada:

[Roberto1960]

Bravo IvoFaArtiInvano, la soluzione è esatta.
Ovviamente esistono altri modi per arrivarci ma il tuo è uno dei più semplici.

Si chiama "serie di Grandi" (così potete cercarla in rete) ed è un oggetto matematico molto meno banale di quanto sembri.
Infatti essendo oscillante, cioè non avendo la successione delle sue somme parziali un limite ben definito, in senso stretto non possiede una somma, cioè a rigore va considerata una serie non convergente.

Solo che basta riarrangiare i termini, ad esempio nel modo semplice come ha fatto IvoFaArtiInvano, ed appare un valore per la sua somma. E' non è un trucco, i passaggi fatti da Ivo non nascondono alcun errore. E' proprio S=1/2.

Tant'è che a seguito di queste ed altri paradossi, i matematici hanno deciso di estendere il significato di somma di una serie.
Se leggete Wikipedia troverete che la serie di Grandi non è convergente ma ammette 1/2 come "somma di Cesàro".

Queste sono le cose che rendono la Matematica interessante (per me è addirittura "avvincente"), altro che arida, noiosa, eccetera...

[madvero]

[Salmastro]

la proposizione di questo quesito mi ha fatto ricordare una sorta di favola orientale ad esso legato, volta alla spiegazione (un po' forzata, ammetto) dell'arcano:

Un sultano possedeva un meraviglioso diamante che volle regalare ai suoi due figli, con l'obbligo, però, che ognuno lo possedesse, alternativamente, per un solo mese, cedendolo al fratello nel mese successivo, per riaverlo l'altro mese ancora.

Ognuno dei due attibuiva al diamante un valore +1 per i mesi di possesso ed un valore -1 per quelli in cui possessore era il fratello.

Sicchè per ognuno il diamante valeva V=1-1+1-1+....
Ma, essendone in effetti comproprietari, ognuno era come se ne possedesse metà e cioè V=1/2...

ed infine, come pura curiosità, voglio segnalare che estendendo (con poco rigore, in verità) alla "nostra" serie la proprietà di una serie notevole per cui:

Σ (q)^k = 1/(1-q) se |q|<1

nel nostro caso, poichè q=-1, avremmo che (per k che varia da 0 a "infinito")

Σ (-1)^k = 1/[1-(-1)] = 1/2

(niente di rigoroso, ovvio! )

[Roberto1960]