Olimpo Informatico

[laurentio]

Un esercito di 25 soldati disposti su 5 file da 5 soldati ciascuna a fomare un quadrato si muove di moto rettilineo uniforme. La lunghezza del lato del quadrato è di 50 metri.

Un cane si trova all'istante iniziale nell'ultima fila di soldati.

Il battaglione si muove in formazione percorrendo esattamente 50 metri.
Nel frattempo [forse intendevi: "Nello stesso identico tempo"] il cane corre dall'ultima fila fino alla prima fila e torna indietro rimettendosi in ultima fila.

Supponendo che il cane corra a velocità costante e che non perda tempo nell'inversione di direzione, quanta strada avrà percorso il cane?

s = soldato
c = cane

s....s....s....s....s

s....s....s....s....s
c
s....s....s....s....s -->

s....s....s....s....s

s....s....s....s....s

.......................|

........................s....s....s....s....s

........................s....s....s....s....s
........................c
........................s....s....s....s....s

........................s....s....s....s....s

........................s....s....s....s....s

[Ranger_Trivette]

mmm dipenderà dalla velocità del battaglione...

si può anche calcolare lasciando v indicata però ora sono di fretta! quando stasse arrivo a casa risponderò più dettagliatamente!

[Roberto1960]

La cosa bella è che invece sembrerebbe essere indipendente dalle velocità, sia dei soldati che del cane!

Il punto chiave è che l'informazione relativa al fatto che il cane torna in fondo al plotone nel tempo che il plotone stesso percorre 50 metri pone un vincolo al rapporto delle due velocità (cane e plotone) e siccome la distanza percorsa dipende solo da questo rapporto viene un risultato che sorprendentemente è indipendente dalle velocità.

Dovrei verificare un po' i calcoli ma ho finito la pausa pranzo e non ho più tempo.

La distanza percorsa mi viene 50 * ( 1 + 1/radice(2) ) = 85.36 metri.

[Ranger_Trivette]

mmm beh se la velocità non importa facciamo un rapido calcolo dei 2 casi limite

nel caso in cui la velocità del plutone tenda a zero, essendo quella del cane >> quest'ultimo percorrerà 100 metri

nel caso in cui la velocità del plotone sia invece maggiore di quella del cane, in modo che questa sia trascurabile, il cane percorrerà 150 metri

quindi direi che la velocità influisce eccome sul calcolo e che il risultato sarà compreso tra 100 e 150 metri

[laurentio]

Mi dispiace Ranger_Trivette sei fuori strada con la velocità...
E per Roberto1960 sei fuori strada col risultato...

[Roberto1960]

Sì hai ragione, andavo di corsa e non ho letto bene il testo.

In verità la mia risposta è giusta ma non è la distanza totale percorsa dal cane bensì quella fatta fino al punto di inversione della sua corsa.

Quello che chiedeva il testo è pari a 50*(1 + radice(2)) = 120.71 metri.

[laurentio]

[Salmastro]

in effetti... se ne era parlato qui

[Roberto1960]

Per quanto articolato possa sembrare si tratta comunque di un problema di cinematica e come tutti i problemi di cinematica si può risolvere scrivendo le equazioni del moto degli oggetti coinvolti.

Facciamo un po' di battesimi.
Chiamiamo V la velocità dei soldati e W la velocità del cane;
T il momento in cui il cane raggiunge la testa del battaglione ed F il momento in cui il cane raggiunge nuovamente la coda del battaglione dopo aver girato;
L la lunghezza del quadrato dello schieramento (50 metri), cioè l'unico dato numerico, e D la distanza percorsa dal cane nel tempo T, cioè quando ha raggiunto la testa del battaglione.

Ciò posto, trattandosi di moti rettilinei uniformi scriviamo Spazio_percorso = Velocità * Tempo per soldati e cane nei due istanti di tempo T ed F.

V * T = D - L
W * T = D
V * F = L (qui appare l'altro dato del problema: il battaglione percorre una distanza pari al lato del suo schieramento)
W * F = 2D - L (perché il cane percorre prima una distanza D per arrivare in testa al battaglione e poi D - L per ritornare in coda; questo forse bisogna farsi un disegnino per capirlo).

Adesso il problema è diventato di pura algebra.
Basta dividere membro a membro la prima equazione per la seconda e la terza per la quarta per eliminare completamente i tempi T ed F dal problema.

Si ottiene rispettivamente V / W = (D - L) / D e V / W = L / (2D - L).

Non resta che uguagliare i secondi membri per eliminare anche le velocità dal problema: (D - L) / D = L / (2D - L), una unica equazione nella sola incognita D.

L'equazione è di secondo grado e dà questo risultato D = L + L / rad(2) avendo eliminato la radice negativa dell'equazione che evidentemente non ha senso. Questo è il valore che ti avevo dato come soluzione la prima volta, ma in realtà D è solo il primo tratto percorso dal cane.

Tutta la distanza percorsa dal cane è, come detto sopra:
2D - L = L * (1 + rad(2) )

Coincide con il tuo metodo ?

[laurentio]