Olimpo Informatico

[madvero]

cinque marinai, in seguito ad una tempesta, naufragano su un'isola deserta. decidono di non lasciarsi prendere dallo sconforto e rimboccarsi le maniche, perciò si mettono a raccogliere delle noci di cocco.
a fine giornata ne hanno accatastato un mucchio considerevole, e una scimmia dispettosa (che deve averlo notato) si piazza lì a fianco.

i marinai, troppo stanchi per spartirsi le noci, decidono di andare a dormire e rimandare l'operazione al giorno dopo.
durante la notte, però, uno si sveglia e decide di prendersi la sua parte in anticipo: fa cinque mucchi uguali, vede che avanza una noce, la dà alla scimmia e nasconde la sua parte.
il secondo marinaio si sveglia poco dopo, va al mucchio e fa esattamente la stessa cosa: anche stavolta rimane una noce per la scimmia.
lo stesso fanno a turno gli altri tre, e tutte le volte avanza una noce per la scimmia.

il mattino dopo naturalmente tutti si accorgono che il mucchio è considerevolmente più piccolo, ma avendo la coscienza sporca decidono di tacere e spartirsi le noci.
effettuata l'ennesima divisione, ancora una volta avanza una noce per la scimmia.

qual è il numero minimo di noci raccolte dai marinai?

[madvero]

l'avete già letta in venti, e ancora nessuno si è cimentato...



suggerimento criptico

[Salmastro]

credo di essere uno dei tanti a non saper risolvere le equazioni diofantee...per cui mi affido ad un approccio "euristico"

[madvero]

ma dai che le diofantee son le più belle di questa terra perchè hanno come soluzione solo numeri naturali...
orpo mi devo ricavare di nuovo tutta la soluzione perchè my lovely husband ha buttato via i miei foglietti che avevo lasciato vicino al pc...

[madvero]

ci ragiono sopra ad alta voce:

[madvero]

sì, andando a ritroso

[Salmastro]

comunque

[Dangerotto]

Sottoscrivo completamente la logica di madvero ma mi permetto di descrivere lo sviluppo delle equazioni in modo più dettagliato ad uso di tutti quelli che non hanno le opportune basi matematiche. Aggiungerò in conclusione anche alcune osservazioni.

"x" è il numero totale delle noci di cocco ed "a" la quantità della 1ª suddivisione:
a = (x-1)/5

"a" è la quantità della 1ª suddivisione e "b" la quantità della 2ª suddivisione:
b = (4a-1)/5
a cui sostituendo "a" con l'equazione risultante viene:
b = (4*((x-1)/5)-1)/5 = ((4x-4)/5-1)/5 = (4x-4-5)/25 = (4x-9)/25

"b" è la quantità della 2ª suddivisione e "c" la quantità della 3ª suddivisione:
c = (4b-1)/5
a cui sostituendo "b" con l'equazione risultante viene:
c = (4*((4x-9)/25)-1)/5 = ((16x-36)/25-1)/5 = (16x-36-25)/125 = (16x-61)/125

"c" è la quantità della 3ª suddivisione e "d" la quantità della 4ª suddivisione:
d = (4c-1)/5
a cui sostituendo "c" con l'equazione risultante viene:
d = (4*((16x-61)/125)-1)/5 = ((64x-244)/125-1)/5 = (64x-244-125)/625 = (64x-369)/625

"e" è la quantità della 4ª suddivisione e "d" la quantità della 5ª suddivisione:
e = (4d-1)/5
a cui sostituendo "d" con l'equazione risultante viene:
e = (4*((64x-369)/625)-1)/5 = ((256x-1476)/625-1)/5 = (256x-1476-625)/3125 = (256x-2101)/3125

"f" è la quantità della 5ª suddivisione e "e" la quantità della 6ª suddivisione:
f = (4d-1)/5
a cui sostituendo "e" con l'equazione risultante viene:
f = (4*((256x-2101)/3125)-1)/5 = ((1024x-8404)/3125-1)/5 = (1024x-8404-3125)/15625 = (256x-11529)/15625

A questo punto l'ultimo problema (a cui però non so dare una soluzione "tecnica" matematica) è quello di trovare il primo valore positivo di "x" che da come risultato un valore di "f" intero senza decimali, matematicamente parlando prendendo in prestito le funzioni di un foglio elettronico l'equazione sarebbe la seguente: (256x-11529)/15625 = TRONCA((256x-11529)/15625). A questo punto mi sono fatto aiutare da OpenOffice costruendo il seguente foglio:
ColA ColB
Rig1 1 =SE((1024*A1-11529)/15625-TRONCA((1024*A1-11529)/15625)=0;1;0)
Rig2 =A1+1 =SE((1024*A1-11529)/15625-TRONCA((1024*A1-11529)/15625)=0;1;0)
. . .
. . .
Rig15621 =A15620+1 =SE((1024*A15621-11529)/15625-TRONCA((1024*A15621-11529)/15625)=0;1;0)
. . .
. . .
nel quale sono andato a scovare la soluzione più bassa di "x", cioè 15621 (che corrisponde alla soluzione di ?f? data da mandriva).

Per finire, quindi, ecco il risultato delle varie divisioni effettuate dai 5 naufraghi:
(15621-1)/5 = 3124 cocchi per i primi 5 gruppi
(4*3124-1)/5 = 2499 cocchi per i secondi 5 gruppi
(4*2499-1)/5 = 1999 cocchi per i terzi 5 gruppi
(4*1999-1)/5 = 1599 cocchi per i quarti 5 gruppi
(4*1599-1)/5 = 1279 cocchi per i quinti 5 gruppi
(4*1279-1)/5 = 1023 cocchi per i sesti ed ultimi 5 gruppi
da cui si deduce che ogni marinaio ha nell'ordine:
3124+1023 = 4147 cocchi per il 1° marinaio (suddivisione finale + la parte della 1ª suddivisione nascosta)
2499+1023 = 3522 cocchi per il 2° marinaio (suddivisione finale + la parte della 2ª suddivisione nascosta)
1999+1023 = 3022 cocchi per il 3° marinaio (suddivisione finale + la parte della 3ª suddivisione nascosta)
1599+1023 = 2622 cocchi per il 4° marinaio (suddivisione finale + la parte della 4ª suddivisione nascosta)
1279+1023 = 2302 cocchi per il 5° marinaio (suddivisione finale + la parte della 5ª suddivisione nascosta)
6 cocchi per la scimmia
da cui possiamo verificare il risultato di ?x? risommando i risultati appena enunciati:
4147+3522+3022+2622+2302+6 = 15621.


Per finire una richiesta: c'è qualcuno che può aiutarci a risolvere ?con rigore matematico? l'equazione (256x-11529)/15625 = TRONCA((256x-11529)/15625)?

Ora qualche nota di spirito:
'sti poveri naufraghi si sono proprio fatti un mazzo notevole a raccogliere 15621 cocchi, ma la cosa peggiore è la previsione di dover mangiare cocchi per molto molto tempo . Io piuttosto cannibalizzerei i compagni!