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Taifu
Semidio
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 Inviato: 13 Mar 2007 03:13 Oggetto: Il contadino preciso |
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Il solito contadino fece un altro grande favore al nostro solito conte.
Il conte, scottato dalla grande quantità di terra che il contadino gli aveva soffiato la volta precedente, fece una proposta diversa:
"Caro contadino, vedi questa ara? Prendi una corda e recinta l'area che vuoi all'interno del terreno quadrato che ti ho indicato. Ma attenzione: se io riuscirò a recintare con lo stesso tuo pezzo di corda un'area maggiore allora non ti darò nulla!".
Il contadino, ovviamente, riuscì a fregare ancora il conte, prendendosi la maggior parte di terra possibile senza che il conte potesse fregarlo. Come fece?
In parole povere: trovare la regione all'interno del quadrato unitario con il maggiore rapporto area/perimetro.
P.S. Il problema analogo nelle tre dimensioni è irrisolto.
P.P.S. "ara" non è un errore di battitura. |
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axlman
Dio minore
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Residenza: l'Universo più scalcinato del Multiverso
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| Inviato: 13 Mar 2007 18:03 Oggetto: |
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Non ho capito: Il perimetro è dato?
8) |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
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| Inviato: 13 Mar 2007 23:26 Oggetto: |
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| axlman ha scritto: | Non ho capito: Il perimetro è dato?
8) |
No. Puoi usare tutta la corda che vuoi, però è chiaro che devi usarne il meno possibile per circondare il massimo possibile.
Per intenderci una corda che gira intorno al quadrato avrebbe lunghezza 4 a fronte di un'area di 1 e quindi il rapporto sarebbe 0.25.
Una corda corrispondente al cerchio inscritto nel quadrato avrebbe lunghezza pi con area 0.5*0.5*pi=0.25pi: il rapporto è ancora 0.25.
Si può fare di più?
Io dico di sì...  |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 13 Mar 2007 23:56 Oggetto: |
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| scommetto che segnare un punto al centro del quadrato e dichiarare di prendere l'area esterna non valga... |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 14 Mar 2007 00:03 Oggetto: |
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fammi capire:
| Citazione: | | per esempio, se io prendo una corda per recintare due lati del quadrato e la diagonale, il rapporto area/perimetro è circa 0.41 |
è questo che si cerca di ottimizzare? |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203
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| Inviato: 14 Mar 2007 03:13 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | | scommetto che segnare un punto al centro del quadrato e dichiarare di prendere l'area esterna non valga... |
Ci hanno già provato con il contadino in versione maratoneta.
Mi spiace: nessuna bottiglia di Klein è valida. |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
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| Inviato: 14 Mar 2007 03:16 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | fammi capire:
| Citazione: | | per esempio, se io prendo una corda per recintare due lati del quadrato e la diagonale, il rapporto area/perimetro è circa 0.41 |
è questo che si cerca di ottimizzare? |
Sì ma il tuo calcolo non è corretto.
L'area è 0,5 e il perimetro 3,414, quindi il rapporto è 0,14 e non 0,41. |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 14 Mar 2007 13:55 Oggetto: |
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altro errore di digitazione.
(dai, si vede...)
e due !!!
sto diventando peggio di chem.
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203
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| Inviato: 14 Mar 2007 14:21 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | altro errore di digitazione.
(dai, si vede...)
e due !!!
sto diventando peggio di chem.
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Scusami ma ho dovuto chiarire perchè la soluzione è maggiore di 0,14 ma inferiore a 0,41.
E poi la radice quadrata di due (quindi la diagonale) è 1,41 per cui questo 41 andava proprio tolto di mezzo... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 14 Mar 2007 18:10 Oggetto: |
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...il mio massimo risultato è stato
ottenuto con questo procedimento:
| Citazione: | ho scartato i poligoni regolari, per i quali il rapporto R=S/P è dato da R=a/2 (dove a=apotema; P=n*l; S=(P*a)/2) e tale quantità vale 1/4 (25%) nel caso del cerchio inscritto, che dovrebbe essere il max (....)
Per cui ho operato così: ho ritagliato un triangolino rettangolo ed isoscele in ogni vertice, con cateto pari ad x ed ipotenusa pari a x*sqr(2).
Ho ottenuto un ottagono irregolare, con quattro lati giacenti sui lati del quadrato e gli altri quattro paralleli alle diagonali. Tale ottagono ha il perimetro dato da P=4-8*x+4*x*sqr(2) e l'area data da S=1-4*(x^2/2)=1-2*x^2.
Potremmo studiare la funzione R(x)=S(x)/P(x)...ho preferito tabularla in excel ed ho verificato che il massimo è dato da x=0,15 (circa, un po' di più..per essere "precisi")
Con tale valore di x otteniamo S=0,988 e P=3,648 -->R=0.2617... |
sarà vero...(fra parentesi non so se è il massimo possibile...)
ciao
Salmastro |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203
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| Inviato: 14 Mar 2007 19:07 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...il mio massimo risultato è stato
ottenuto con questo procedimento:
| Citazione: | ho scartato i poligoni regolari, per i quali il rapporto R=S/P è dato da R=a/2 (dove a=apotema; P=n*l; S=(P*a)/2) e tale quantità vale 1/4 (25%) nel caso del cerchio inscritto, che dovrebbe essere il max (....)
Per cui ho operato così: ho ritagliato un triangolino rettangolo ed isoscele in ogni vertice, con cateto pari ad x ed ipotenusa pari a x*sqr(2).
Ho ottenuto un ottagono irregolare, con quattro lati giacenti sui lati del quadrato e gli altri quattro paralleli alle diagonali. Tale ottagono ha il perimetro dato da P=4-8*x+4*x*sqr(2) e l'area data da S=1-4*(x^2/2)=1-2*x^2.
Potremmo studiare la funzione R(x)=S(x)/P(x)...ho preferito tabularla in excel ed ho verificato che il massimo è dato da x=0,15 (circa, un po' di più..per essere "precisi")
Con tale valore di x otteniamo S=0,988 e P=3,648 -->R=0.2617... |
sarà vero...(fra parentesi non so se è il massimo possibile...)
ciao
Salmastro |
Molto bravo Sal, ti sei avvicinato moltissimo alla soluzione ottima 
Sia numericamente che graficamente 
Piccolo suggerimento: | Citazione: | | il nostro contadino ama fare le bolle di sapone |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203
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| Inviato: 25 Mar 2007 01:28 Oggetto: |
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Carissimi,
il tempo evidentemente scarseggia per tutti, me compreso.
Volete che posti la soluzione?
Stavolta chiedo onde evitare "cazziate"...
Ciao.
Marco. |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203
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| Inviato: 09 Apr 2007 01:38 Oggetto: |
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Ok, visto che non ci sono messaggi nuovi da giorni e giorni, posto la risposta.
| Citazione: | Immaginiamo una bolla che si espande nel quadrato.
La sua forma sarà quella di quattro quarti di cerchio di raggio r agli angoli del quadrato.
L'area di questa forma è: A = 1 + (¶ - 4)r^2
Il perimetro è: P = 2¶r + 4 - 8r
Il rapporto tra i due è: A/P = (1 + (¶ - 4)r^2)/(2¶r + 4 - 8r)
Il valore massimo di questa funzione è assunto con r = 1/(2 + √¶).
In questo caso A/P degenera in r ed è uguale a 0.265079.
Da notare che il rapporto A/P è 0.25 in caso dell'intero quadrato ma anche del cerchio inscritto.
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Mi sembrava un bel problema... 
Ciao.
Marco.
P.S. Il simile problema di massimizzare il rapporto tra volume e superficie di un solido all'interno di un cubo è ancora irrisolto. |
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