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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 16 Feb 2007 19:10 Oggetto: * QUIZ: Un Art-Attack: la torre di Pisa... |
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Ragazzi ed ora vi insegno a costruire la torre di Pisa.
Prendiamo 7 dischi metallici perfettamente uguali ognuno di diametro 40 cm. Fatto? Bene, ora mettiamoli uno sull'altro...
Nel noto programma per ragazzi si imparava a costruire, in miniatura, il famoso monumento, ma quello che chiedo io non è di farlo, ma...di trovare qual è la distanza massima che può avere la verticale per il centro del disco più alto dalla verticale per il centro del disco più basso, senza che la pila crolli.
E' possibile generalizzare per n dischi?
p.s.: non so la soluzione...
ciao
salmastro |
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MK66
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Residenza: dentro una cassa sotto 3 metri di terra...
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| Inviato: 17 Feb 2007 17:15 Oggetto: |
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Ma tu guarda: ogni tanto capito da queste parti e becco qualche questioncina carina... 
La butto lì, con beneficio d'inventario... (ma stavolta la matematica pare abbia sforato nella fisica...)
| Citazione: | Dai miei lontanissimi ricordi di fisica, mi pare di rammentare che una struttura del genere (ammesso sia costituita da elementi tutti uguali tra loro) crolla nel momento in cui l'asse del baricentro dell'ultimo disco esce dalla superficie occupata dal disco inferiore.
Considerando che si parla di dischi, si può dire che il baricentro coincida con l'asse centrale, per cui la situazione limite è quando la verticale per il centro del disco più alto giunge a lambire la circonferenza estrema del disco più basso, ovvero la distanza tra le due rette è pari al raggio dei dischi (20cm).
Appena si supera tale distanza, il peso dell'ultimo disco (applicato al baricentro) genera un momento che provoca il crollo della struttura.
Ritengo sia possibile generalizzare per n dischi, purchè l'asse passante per il centro dell'ennesimo disco non superi la distanza indicata... ovvero si avrà una torre alta ma non molto inclinata... |
Grazie, Salmastro... prima o poi mi farai venire la voglia di rileggere i miei vecchi libri di matematica...  |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 17 Feb 2007 17:27 Oggetto: |
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Un problema di statica!
Il concetto base è abbastanza semplice:
| Citazione: | un solido (classico l'esempio della seggiola) resta in equilibrio sino a che la verticale passante per il suo baricentro cade all'interno del perimetro determinato dai punti esterni della base d'appoggio.
In pratica si fa girare una cordicella intorno alla base, qualunque sia la sua forma, e la si mette in tensione; la sua posizione rappresenterà il suddetto perimetro di base. |
| Citazione: | Ma qui abbiamo due ostacoli in più.
Uno: il solido non è un unico corpo rigido ma una pila di dischi (rigidi) ognuno dei quali, oltre a concorrere all'instabilità della struttura complessiva, ha i suoi personali problemi di instabilità.
Due: i dischi non è detto che siano disposti in modo lineare (ovvero il baricentro di ognuno giace su una retta) ma potrebbero essere disposti a casaccio oppure lungo una curva qualsiasi.
La risoluzione del problema nel caso lineare è abbastanza semplice.
L'inclinazione dell'asse della struttura deve garantire due cose:
1) il suo punto medio (il punto medio del segmento che congiunge il baricentro del disco inferiore con quello del disco superiore) deve essere inferiore al raggio r dei dischi
Dunque, qualunque sia il numero n dei dischi e qualunque sia la loro altezza h, le due verticali non potranno mai distare tra loro per più di 2r
2) le verticali di due monetine contigue non possono distare più di r
Quindi con 1 monetina il problema non si pone
Con 2 monetine d <= r
Con 3 o più monetine d <= 2r
(e nel caso di 7 monetine, quindi, la massima distanza sarà 40 cm.)
Se le monetine non sono disposte linearmente allora la struttura starà in piedi solo se la condizione 1) è verificata per tutte le coppie di monetine e se la condizione 2) è verificata per tutte le coppie contigue |
spero di non aver toppato!
Riflessione postuma
| Citazione: | se h -> 0 la struttura diventa una specie di tubo. La condizione di equilibrio diventa la seguente:
la congiungente due punti qualsiasi della linea baricentrale deve cadere interamente nel tubo.
Sta in piedi? (la condizione) |
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MK66
Moderatore Sistemi Operativi
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Residenza: dentro una cassa sotto 3 metri di terra...
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| Inviato: 17 Feb 2007 17:36 Oggetto: |
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Eh si! Mi sa che devo proprio rimettermi a studiare...    |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 17 Feb 2007 18:19 Oggetto: |
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mi intriga moltissimo la disposizione non "lineare" delle monetine...
....sento (ma non la so!) che ci potrebbe riservare delle sorprese...
ciao
Salmastro |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 17 Feb 2007 18:29 Oggetto: |
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| MK66 ha scritto: | | Eh si! Mi sa che devo proprio rimettermi a studiare... |
Fermo restando che rimettersi a studiare non guasta mai, nel caso specifico non è mica detto!
Io ho ancora dei dubbi che il mio ragionamento stia in piedi e non crolli in compagnia della torre...
Quelle che ho scritto sono tutte supposizioni non avendo meco i testi adatti.
In particolare mi rode un dubbio: la base di appoggio di un disco intermedio non è l'intero disco ma è ridotta alla sola superficie di contatto col disco sottostante.
Le condizioni che ho indicato prima bastano a garantire che il baricentro di n-k dischi cada all'interno della superficie di contatto col disco k-esimo (che funge da piano d'appoggio per gli n-k dischi che lo sovrastano?) |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 17 Feb 2007 18:49 Oggetto: |
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Sigh... purtroppo conosco già la risposta per cui non partecipo alla tenzone!
Posso solo dire che sinora non ho visto la risposta esatta.
Forse qualche ripasso sul baricentro potrebbe aiutarci.
P.S. Prendete un mazzo di carte e fate la prova.
P.P.S. Addendum: mi sa che non la so no la risposta... una carta è assimilabile ad un cubo non certo ad un disco... |
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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 17 Feb 2007 19:10 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: |
P.S. Prendete un mazzo di carte e fate la prova.
P.P.S. Addendum: mi sa che non la so no la risposta... una carta è assimilabile ad un cubo non certo ad un disco... |
...il mazzo perchè la tesi di Ulisse è destinata a crollare, come un castello di carte?
Comunque credo che i "cubi" possano andare bene lo stesso (l'importante, credo, è la simmetria).
Se sai la soluzione, dicci solo se Ulisse è stato troppo ottimista o un po' pessimista.
ciao
Salmastro |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 17 Feb 2007 19:35 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | mi intriga moltissimo la disposizione non "lineare" delle monetine...
....sento (ma non la so!) che ci potrebbe riservare delle sorprese...
ciao
Salmastro |
Ahimè...
Le sorprese ci sono già nella disposizione "lineare".
La sensazione di aver toppato era fondata!
Guardate qua cosa succede già con tre dischi:
il baricentro Z dei due dischi superiori (punto medio di BC) cade fuori dalla base di appoggio non appena (indico i vari baricentri ma intendo le loro proiezioni al suolo) AB + BC/2 = r da cui si ricava AC = 4/3 r.
Sinceramente sono contento di aver toppato perché la situazione è moooolto più intrigante di quella semplice che avevo immaginato.
Ogni volta che aggiungiamo un disco abbiamo una nuova limitazione che si aggiunge alle precedenti. La nuova limitazione è più restrittiva delle precedenti (l'inclinazione della torre diminuisce) ma complessivamente aumenta la distanza tra le due verticali (primo e ultimo disco).
Quindi l'ultima limitazione è l'unica che garantisce l'equilibrio della struttura nel suo complesso e nelle sue porzioni.
Ometto i dettagli e riporto la formula valida (a meno di altri crolli!) per n dischi.
La distanza d tra le proiezioni dei due baricentri (del primo e dell'ultimo disco) è:
| Citazione: |
d = 2r(n - 1)/n
Per n = 7 e r = 40 abbiamo d = 2*40*6/7
(per n = 8 il risultato è intero: d = 70)
Al crescere di n , d tende a 2r. |
Ora mi pare che torre e ragionamenti stiano in piedi!
La situazione non lineare è decisamente intrigante e lascia notevole spazio alla fantasia. Ad esempio è possibile impilare una fila di dischi a zig-zag mettendo una una fila di dischi in cima che, a mo' di pietra angolare, dia solidità alla struttura? |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 17 Feb 2007 19:44 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | ...il mazzo perchè la tesi di Ulisse è destinata a crollare, come un castello di carte? |
Eggià... è proprio crollata come un castello di carte (anche se da ragazzino, ricordo, mi divertivo a fare castelli con le carte che mi venivano proprio belli alti...)
| salmastro ha scritto: | | ...Comunque credo che i "cubi" possano andare bene lo stesso (l'importante, credo, è la simmetria). |
confermo!
| salmastro ha scritto: | | ...Se sai la soluzione, dicci solo se Ulisse è stato troppo ottimista o un po' pessimista. |
A posteriori direi che sono stato un ottimista fortunato visto che la mia prima risposta corrisponde alla soluzione limite! |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 18 Feb 2007 01:19 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | Se sai la soluzione, dicci solo se Ulisse è stato troppo ottimista o un po' pessimista. |
La seconda che hai detto
Tra l'altro la generalizzazione per n dischi conduce ad una incredibile conclusione. |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 18 Feb 2007 11:36 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: |
Tra l'altro la generalizzazione per n dischi conduce ad una incredibile conclusione. |
...che è quella di Ulisse...vero?
ciao
Salmastro |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
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| Inviato: 18 Feb 2007 12:17 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | Taifu ha scritto: | | Tra l'altro la generalizzazione per n dischi conduce ad una incredibile conclusione. |
...che è quella di Ulisse...vero?
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Caro Sal, mica tanto...
Mooolto più incredibile (almeno per me).
Ciao.
Marco. |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 18 Feb 2007 14:59 Oggetto: |
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Ecco la soluzione per il mazzo di carte (o per i mattoni, o per i cubi ma non, almeno secondo me e poi spiegherò perché, i dischi).
| Citazione: | Il disco più in alto può sporgere di 20 cm, il penultimo di 10, il terzultimo di 5 e così via. Quindi in teoria si può arrivare a 49 cm con 7 dischi.
La sorprendente conclusione è che è possibile raggiungere qualsiasi distanza, con un numero sufficientemente alto di dischi, visto che la serie armonica 1/2 + 1/4 + 1/6 diverge |
Perchè un mattone stia in equilibro sopra il mattone sottostante è sufficiente che sporga per massimo la metà della sua lunghezza.
Nel caso di due dischi questo però non è vero.
Nell'immagine seguente è possibile vedere come l'area del disco, sporgente per metà del suo diametro, è superiore alla parte che appoggia sul disco sottostante.
Per questo motivo il disco deve cadere...
Ulisse e Salmastro, vi ho convinto della mia tesi? Oppure sbaglio qualcosa?
Bisogna calcolare quando l'area sporgente è equivalente all'area "poggiante" e vedere se la nuova serie armonica diverge ancora.
Ora ci provo.
Ciao.
Marco. |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
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| Inviato: 18 Feb 2007 15:25 Oggetto: |
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La "formuletta" che da l'area dell'intersezione di due cerchi è questa:
Dunque, nel nostro caso R e r coincidono e in tal caso la formula degenera un po', per fortuna.
Se poniamo il raggio uguale a 1 e e se uguagliamo all'area diviso due, ecco la formula richiesta:
π/2 = 2*cos^(-1)(d/2) - 1/2d*sqrt((4-d^2)
Risolvendo numericamente si ha d ≈ 0,807946.
Questo fa sì che il primo disco in alto possa sporgere al massimo di ≈ 17,87565 cm.
Per il secondo disco partendo dall'alto le cose si fanno assai più complicate...
Il problema appare ancora più sfuggente di quanto mi è apparso dopo aver realizzato che i dischi non sono come i mattoni.
Passo la palla perchè per oggi il mio cervello ha già dato troppo
Ciao.
Marco. |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 18 Feb 2007 15:28 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: | Ecco la soluzione per il mazzo di carte (o per i mattoni, o per i cubi ma non, almeno secondo me e poi spiegherò perché, i dischi).
| Citazione: | Il disco più in alto può sporgere di 20 cm, il penultimo di 10, il terzultimo di 5 e così via. Quindi in teoria si può arrivare a 49 cm con 7 dischi.
La sorprendente conclusione è che è possibile raggiungere qualsiasi distanza, con un numero sufficientemente alto di dischi, visto che la serie armonica 1/2 + 1/4 + 1/6 diverge |
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c'è qualcosa che non mi convince: i numeri che hai scritto tu, salvo mia errata interpretazione, non conducono alla serie cosiddetta armonica, ma alla serie geometrica di ragione 1/2, che converge.
Un'altra domanda: quando tu dici che il disco più in alto sporge di..., intendi rispetto a quello direttamente inferiore?
C'è qualcosa che mi sfugge...
Salmastro |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 18 Feb 2007 15:35 Oggetto: |
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Secondo me c'è qualcosa che non quadra nel tuo ragionamento.
Innanzi tutto ti tolgo i dubbi sulla forma del mattone: qualunque essa sia, quadrata, rettangolare, tonda, a stella, bislunga, oblunga ecc. ecc. l'unica cosa che conta è che la proiezione del baricentro del corpo appoggiato (il disco superiore) cada all'interno della più piccola figura convessa contenente il perimetro della base d'appoggio.
Se ad esempio prendi una seggiola, il baricentro deve stare all'interno del quadrato formato dai quattro piedi.
Nel caso del disco, riferendomi alla tua figura, deve cadere all'interno dell'area rossa.
Per convincerti definitivamente seguo il tuo ragionamento sui pesi e ti chiedo: come dividi in due pesi il peso complessivo del disco?
Il disco per cadere deve ruotare intorno ad un asse che è tangente alla circonferenza del disco sottostante e perpendicolare al diametro sul quale giacciono i due centri.
Tale asse di rotazione divide il disco in due.
Tutti i pesi che stanno da una parte concorrono a stabilizzare il disco, tutti quelli che stanno dalla parte opporta a farlo cadere.
L'area gialla non sta tutta da una parte rispetto all'asse di rotazione! |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
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| Inviato: 18 Feb 2007 15:36 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | Taifu ha scritto: | Ecco la soluzione per il mazzo di carte (o per i mattoni, o per i cubi ma non, almeno secondo me e poi spiegherò perché, i dischi).
| Citazione: | Il disco più in alto può sporgere di 20 cm, il penultimo di 10, il terzultimo di 5 e così via. Quindi in teoria si può arrivare a 49 cm con 7 dischi.
La sorprendente conclusione è che è possibile raggiungere qualsiasi distanza, con un numero sufficientemente alto di dischi, visto che la serie armonica 1/2 + 1/4 + 1/6 diverge |
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c'è qualcosa che non mi convince: i numeri che hai scritto tu, salvo mia errata interpretazione, non conducono alla serie cosiddetta armonica, ma alla serie geometrica di ragione 1/2, che converge.
Un'altra domanda: quando tu dici che il disco più in alto sporge di..., intendi rispetto a quello direttamente inferiore?
C'è qualcosa che mi sfugge...
Salmastro |
Infatti ho sbagliato a riportare i numeri: prova ne è che il calcolo per sette mattoni non darebbe 49.
La serie corretta è 40/2 + 40/4 + 40/6 + 40/8 + 40/10 + 40/12.
In altre parole: 20 + 10 + 6,666... + 5 + 4 + 3,333... = 49.
Questa sì che diverge.
Confermo invece il resto del mio ragionamento (nel senso che confermo quello che intendevo dire, non che confermo di avere ragione).
Ciao.
Marco. |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
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| Inviato: 18 Feb 2007 15:40 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | Secondo me c'è qualcosa che non quadra nel tuo ragionamento. |
Mi hai convinto: è vero il disco non cade!
Ho commesso un errore veramente pacchiano: con il mio ragionamento un disco che appoggia su un bastoncino al centro cadrebbe sempre e invece non è così!
Allora possiamo dire che la mia risposta è valida anche per i dischi.
Con sette dischi può sporgere di
Ve l'avevo detto che il mio cervello aveva dato già troppo
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 18 Feb 2007 16:26 Oggetto: |
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Un dubbio: ma perchè la "disposizione" di Taifu è la migliore?
Con due dischi è evidente, con tre già si complica...
Qual è il ragionamento che ci porta a quella soluzione (la serie armonica)?
Grazie
Salmastro |
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