Olimpo Informatico

[Taifu]

Un esercito di 10.201 formichine molto ben addestrate sta procedendo a velocità costante e in una formazione perfettamente quadrata.
Ogni formichina sta ad una distanza di un millimetro dalle formichine che gli stanno di fianco, davanti e di dietro.
Ad un certo punto la formichina in mezzo all'ultima fila decide di creare un po' di scompiglio e comincia a correre intorno a tutta la formazione ad una velocità costante (in modulo) che le consente di riprendere la sua posizione in formazione nel momento preciso in cui l'ultima fila della formazione raggiunge la posizione inizialmente occupata dalla prima fila.
Al termine del giro, che distanza avrà percorso la formichina?

Le formichine vanno considerate puntiformi e, pertanto, la formichina imbizzarrita, durante il suo giro intorno alla formazione, si muoverà lungo il perimetro del quadrato costituito dalle formichine esterne.

Ho voluto cimentarmi come il maestro Salmastro a inventare una storiella su un vecchio problema per di più modificandolo leggermente.
Ci sono riuscito?

[Salmastro]

grazie dei complimenti!!
Io, invece della formichine, avrei messo i classici soldati e, come "corridore", avrei eletto Forrest Gump...

ciao

Salmastro

[_L_]

[Taifu]

[Salmastro]

credo che nella tua enunciazione del problema manchi un dato e cioè che, quando la formichina stravagante, chiamiamola Z, ritorna nella sua posizione iniziale, il "quadrato" delle colleghe si sia mosso esattamente di un "quadrato"
(è sottinteso, comunque, che Z si muova "attaccata" al perimetro)

Poi chiedi una soluzione precisa, al mm: da questo deduco che sei in grado di risolvere l'equazione finale. Che è di quarto grado, non banale...

ciao

Salmastro

P.S.: anche per me non è chiaro l'ultimo passaggio di _L_: attendiamo una rielaborazione, anche alla luce di quanto ho appena precisato. Sempre che quanto da me scritto sia corretto, ovviamente!

[Taifu]

[Salmastro]

Alla luce delle precisazioni di Taifu, propongo di risolvere, propeduticamente, il caso in cui Z, la formica, va avanti e indietro (senza correre trasversalmente alla direzione di marcia delle altre), raggiungendo la posizione di partenza nel tempo in cui la formazione è avanzata del solito "quadrato".

Salmastro

[ulisse]

Ho apportato la modifica richiesta al testo del quesito. Se la locuzione usata non fosse chiara ditemi come migliorarla. Provvederò a sostituirla!

Io sto ancora riflettendo...

[Taifu]

[Salmastro]

a occhio, ti quoto!!

Salmastro

[ulisse]

Io ho corretto secondo le vostre indicazioni, ma c'è qualcosa che non mi torna.

Innanzi tutto 10201 formiche a quadrato sono disposte in 101 file da 101 formichine per fila.
Tra 101 formiche ci sono 100 spazi da 1 mm l'uno quindi se la richiesta è di far percorre 101 mm a tutto il quadrato (ovvero spostare la formazione di una formazione), l'ultima fila si troverà 1 mm dopo la posizione originale della prima fila.
O no?

[Taifu]

[ulisse]

[ulisse]

Allora...
Non si scappa dall'impostazione di _L_ !

Anch'io ho chiamato v la velocità delle formiche ortodosse e kv quella della formica ribelle.

Con un disegnino alla mano diventa chiaro perché il tratto diagonale (pari al doppio del segmento y) è lungo 20k/sqrt(k^2-1) (per il teorema di pitagora!)



Lo spazio percorso nelle due tratte parallele al movimento della formiche ortodosse (segmenti x e z) si ricava altrettanto immediatamente ragionando sulla composizione delle velocità.

Lo spazio totale (come somma delle tratte) è calcolato anch'esso correttamente da _L_
Ma lasciato così, in funzione di k, non fornisce il risultato senza ricavare prima k (e se si ricava k allora 10k fonisce già la soluzione).

Un modo per ricavare k è il seguente.
Considerando che la proiezione lungo l'asse y (la direzione di marcia della formazione) è pari a +10 possiamo ricavare k risolvendo l'equazione (effettivamente di 4° grado) che emerge dalla proiezione dei segmenti.
I segmenti x e z sono già paralleli alla direzione di marcia della formazione quindi non richiedono proiezioni ma attenzione che una ha segno positivo e l'altra negativo.
Per la proiezione delle tratte oblique basta dividere per k.

L'equazione ridotta a forma normale è:
k^4-4k^3-2k^2+4k+5=0

Risolta numericamente (con Derive) fornisce un solo valore accettabile (k>4 reale) che è k = 4.181125445 da cui la distanza coperta dalla formica ribelle: d = 10k = 41.81125445

La risoluzione geometrica (molto più affascinante ma richiede una costruzione lunga e complessa soprattutto se si eseguono i conti alla Euclide's style ovvero con la geometria anziché con l'algebra) fornisce un risultato molto simile: 10k = 41,8121 e lo scarto è dovuto alla inevitabile imprecisione dello strumento grafico (come si nota dalla discrepanza tra la misura di k e quella del perimetro calcolate separatamente).



La risoluzione geometrica è stata ricavata in Cabrì procedendo, per sommi capi, nel seguente modo:
* si fissa un segmento qualsiasi come unità di misura e su esso si costruiscono i quadrati di lato 10u
* il punto P è libero di muoversi sulla retta in modo da rendere variabile la lunghezza del segmento ks e dei segmenti x , y e z (il punto P rappresenta indirettamente il parametro k)
* i segmenti x e z sono stati costruiti in modo che le loro lunghezze, calcolate con metodi geometrici, siano 10k/(k+1) e 10k/(k-1)
* il segmento y ha direzione simmetrica rispetto al segmento ks
* l'ultima tratta è tracciata dalla retta parallela al segmento ks
* si misura la lunghezza totale d = (x+ 2y + z/u) del cammino della formichina
* come quadratura si misura anche k (k è anch'esso rappresentabile con un segmento!)
* terminata la costruzione si muove P fino a che la retta non passa per il punto d'arrivo cercando di rendere minimo (a occhio) lo scarto tra le due misure (d e k)

[Salmastro]

[ulisse]

Non ho scritto tutto per due ragioni.
Innanzi tutto mi sembrava di aver già detto abbastanza senza spoilerare e non volevo rovinare il gioco a chi arriverà poi;
inoltre, come ormai sapete, a me piace più soffermarmi sui metodi che sulle soluzioni.
Così ho dato tutte le indicazioni e i riferimenti necessari per ricostruire l'equazione (i cui addendi sono già stati trovati da _L_) e per risolverla geometricamente ma senza scendere nei particolari.

Ad ogni modo ecco qua i dettagli (spoilerati):

[Salmastro]

la sorprendente analogia, ora che Ulisse ha spoilerato è che:

[ulisse]

Perdonami, Salmastro, se smorzo il tuo entusiasmo.
Ma è abbastanza frequente trovare due formule distinte che presentano delle analogie formali.
Per rendere questa analogia veramente sorprendente serve qualche ingrediente in più.

Innanzi tutto serve che le due equazioni non abbiano errori.
Altrimenti, togli un k qua, uno là, un segno meno via da una parte uno via dall'altra ed ecco comparire delle inesistenti analogie.

Infatti la prima equazione che esponi non risolve il problema ridotto (in entrambe le frazioni manca un k a numeratore e la seconda frazione ha segno positivo mentre quella corretta ha segno negativo).
La seconda equazione pure (elevata al quadrato non corrisponde nè all'equazione da me riportata per il solito k a numeratore di due delle tre frazioni e per il segno meno che in un quadrato è impossibile ottenere senza passare ai complessi).

Inoltre elevando un'equazione al quadrato senza opportune condizioni si introducono soluzioni non presenti nell'equazione originale.

Introdotte le correzioni le analogie spariscono. Fatto abbastanza evidente dal confronto delle due equazioni in forma normale:
k^2 - 2k - 1 = 0
k^4 - 4k^3 - 2k^2 + 4k + 5 = 0
che, in questa forma, di analogo non hanno nulla se non il fatto che la seconda equazione si ottiene diminuendo di 4(k^2-1) il quadrato della prima equazione:
(k^2 - 2k - 1)^2 - 4(k^2-1) = k^4 - 4k^3 + 2k^2 + 4k + 1
Di analogie del genere se ne trovano a tonnellate mentre si manipolano delle formule per ricavare qualche risultato.
Ma le uniche veramente sorprendenti sono quelle che hanno un riscontro concreto.
E' uno dei metodi adottati dai ricercatori per scoprire nuove leggi fisiche: si scrive una formula e si comincia a manipolarla sinché nella formula non compaiono delle espressioni riconducibili a quantità fisiche note.
Se ciò capita si può scoprire un collegamento tra il fenomeno oggetto di studio e le quantità fisiche esplicitate nella formula.

[Salmastro]

[ulisse]

A quanto pare, di tutto il mio post precedente solo le prime due parole hanno ragione d'essere:

Perdonami, Salmastro!



Non tanto perché hai ragione su tutti i fronti e io sui medesimi ho torto (fin qui niente di male, può succedere) ma per il modo arrogante col quale ho sostenuto le mie errate tesi.

Ti prego di scusarmi.