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Salmastro
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MessaggioInviato: 17 Gen 2007 13:08    Oggetto: non mi muovo! Rispondi citando

Smjert!
dacci una dritta meno criptica

Salmastro
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ulisse
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MessaggioInviato: 19 Gen 2007 01:25    Oggetto: Rispondi citando

In attesa che l'amico di Smjert (che Smjert riesce a contattare in meno di 19 minuti!) si sbottoni un po' di più, propongo una generalizzazione.

Stessa situazione, stesse regole, stesse persone, stesso boia.
Insomma tutto uguale con una sola variante: i colori dei cappelli non sono solo 2 ma ben 10...
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Salmastro
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MessaggioInviato: 20 Gen 2007 19:24    Oggetto: non mi riesce!!!! Rispondi citando

no, proprio non mi riesce!!!
...avevo pensato che, essendo dieci i condannati dieci fosse il max di colori per i quali fosse possibile trovare una soluzione. E che la generalizzazione fosse legata a: N condannati, N colori.
Per semplicità invece di colori ho usato nel mio ragionamento i numeri, anzi le cifre: è più facile scrivere le configurazioni!, che per inciso sarebbero
n^(n-1)
(se vale N cond. x N colori)
Per cui 2 cond. e 2 colori: 2 configurazioni (quelle viste dal primo)
per 3 si hanno 9 configurazioni, per 4 ben 64 e così via fino a 10^9.
Come fa il primo a dare una dritta disambigua a tutti?
Avevo pensato alle classi di resti modulo N. E cioè che comunicasse, con lo stabilito codice dei colori, la classe di appartenza della configurazione.
(per esempio: se bianco=0; nero=1; rosso=2
quando il 1° vede rosso-rosso-bianco, "legge" come 220, dice "nero", cioè 1, perchè 1 è il resto della divisione di 220 per il modulo 3
(mi scuserete la notazione assai carente)
E funziona per n=1 (sic); per n=2 e per n=3.
Il teorema di induzione ridotta (detto anche di minima astuzia), mi faceva ben sperare, ma già con n=4 crollava miseramente...
A meno che, non sia necessaria un'astuzia (grande) nel disporre le "matrici" delle configurazioni....
Cosa che, al momento, non sono in grado.
E' una strada percorribile? Vale la pena continuare?
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ulisse
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MessaggioInviato: 21 Gen 2007 20:44    Oggetto: Rispondi citando

Prova a risolvere questa variante.
Dovrebbe illuminarti.

Il direttore di un carcere ogni giorno si reca nel braccio della morte e fa uscire i condannati mettendoli in fila in modo che ogni condannato veda la schiena di tutti i condannati davanti a sè.
Poi fa incollare sulla schiena di ogni condannato un numero (tutti diversi, tutti uguali, interi, decimali, non importa; basta che siano numeri) e propone il giochino secondo le regole già enunciate.

Chi indovina il proprio numero sopravvive gli altri... scossaaaaa!
Quale strategia garantisce la sopravvivenza a tutti i condannati tranne al primo (che, in questa variante, ha probabilità nulla di azzeccare il suo numero)?
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MessaggioInviato: 21 Gen 2007 21:05    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Prova a risolvere questa variante.
Dovrebbe illuminarti.

Il direttore di un carcere ogni giorno si reca nel braccio della morte e fa uscire i condannati mettendoli in fila in modo che ogni condannato veda la schiena di tutti i condannati davanti a sè.
Poi fa incollare sulla schiena di ogni condannato un numero (tutti diversi, tutti uguali, interi, decimali, non importa; basta che siano numeri) e propone il giochino secondo le regole già enunciate.

Chi indovina il proprio numero sopravvive gli altri... scossaaaaa!
Quale strategia garantisce la sopravvivenza a tutti i condannati tranne al primo (che, in questa variante, ha probabilità nulla di azzeccare il suo numero)?

Citazione:

il 1° condannato dice la somma di tutti gli altri numeri
il 2° sottrae dal numero che ha detto il 1° la somma dei numeri che vede
gli altri sottraggono dal numero del 1° i numeri che vedono o che hanno sentito


x la versione a N colori
Citazione:

si assegna un valore a ogni colore
si applica il metodo sopra, sommando modulo N
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ulisse
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MessaggioInviato: 21 Gen 2007 22:13    Oggetto: Rispondi citando

Evviva Evviva Evviva Evviva Evviva

E il caso N = 2
Citazione:
è il bit di parità
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ulisse
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MessaggioInviato: 23 Gen 2007 13:28    Oggetto: Re: non mi riesce!!!! Rispondi citando

salmastro ha scritto:
(...) è più facile scrivere le configurazioni!, che per inciso sarebbero
n^(n-1)
(se vale N cond. x N colori)


Mi era scappato un particolare.
Perché n^(n-1) ?

Se hai n condannati e m colori le possibili configurazioni sono in numero di m^n (esattamente come le schedine del totocalcio con n partite e m possibili risultati).

Quindi nel caso n=m=N abbiamo N^N possibili configurazioni.

Ah. Ho capito ora mentre rispondevo. Dagli n condannati escludi il primo...

In ogni caso perché dici che il tuo ragionamento crolla per n>3 ?
Ecco. Ho capito ora anche questo!

Perché ti sei concentrato solo sull'informazione data dal primo ritenendo che essa, oltre che determinante, sia l'unica utilizzata per individuare il colore del proprio cappello!

Non è così: ogni condannato (dal secondo in poi) deve risolvere un sistema di 9 equazioni in 9 incognite.
8 equazioni sono in una sola incognita e si presentano già risolte: di quelli davanti vedo il colore del cappello e di quelli dietro (primo escluso) ascolto il colore del cappello.
L'ultima equazione è invece da risolvere ed è fornita dal primo condannato.
Egli può fornire una qualsiasi equazione che abbia un'unica limitazione: deve ammettere soluzione unica rispetto a una qualsiasi delle incognite.
Unica perché altrimenti gli altri condannati non possono risolverla, ognuno, univocamente.
Rispetto a una qualsiasi delle incognite perché tutti e 9 i condannati devono poterla risolvere.
Ciò implica (quando comincio così scrivo sempre delle stupidaggini quindi occhio agli strafalcioni!) che l'equazione debba essere in nove incognite, di primo grado e completa.
Se ammettiamo che i condannati possano memorizzare i coefficienti dell'equazione durante la fase di discussione della strategia allora queste sono le sole limitazioni.
Se, invece, non è previsto che vengano concordati i coefficienti allora l'unica equazione che resta è omogenea con tutti i coefficienti pari a 1.

Le soluzioni vanno ricercate in insiemi diversi a seconda delle varianti del quesito.
La variante coi numeri interi sulla schiena richiede che le soluzioni siano in N (insieme dei numeri interi).

Quella con gli n cappelli richiede che le soluzioni siano in Zn (classi di resto modulo n).

O nel mio ragionamento c'è un errore o sono miope perché le mie affermazioni non vedo come si concilino con quelle dell'amico di Smjert che sostiene sia possibile adottare differenti schemi risolutivi (ricordate quel sibillino: "comincia dividendoli in gruppi"?)
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MessaggioInviato: 24 Gen 2007 13:26    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Chi indovina il proprio numero sopravvive gli altri... scossaaaaa!
Quale strategia garantisce la sopravvivenza a tutti i condannati tranne al primo (che, in questa variante, ha probabilità nulla di azzeccare il suo numero)?


Per non rendere nulla la probabilità del primo condannato (altrimenti io mi rifiuterei di farlo!) propongo una variante leggermente migliore:

Citazione:
Si stabilisce a priori un numero a caso, diciamo 666, e il primo condannato somma a tutto quello che vede anche il numero fisso prestabilito. In questo modo il secondo può ancora dedurre con certezza il proprio numero e lo stesso gli altri, ma adesso il primo ha una probabilità maggiore di zero di indovinare il numero che ha sulla schiena.
Per la precisione 1/(N-n+1) detto N il numero massimo e n il numero minimo che il direttore potrà scegliere per i condannati.
Di poco, ma è comunque una strategia migliore.
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MessaggioInviato: 24 Gen 2007 14:08    Oggetto: Rispondi citando

Taifu ha scritto:
ulisse ha scritto:
Chi indovina il proprio numero sopravvive gli altri... scossaaaaa!
Quale strategia garantisce la sopravvivenza a tutti i condannati tranne al primo (che, in questa variante, ha probabilità nulla di azzeccare il suo numero)?


Per non rendere nulla la probabilità del primo condannato (altrimenti io mi rifiuterei di farlo!) propongo una variante leggermente migliore:

Citazione:
Si stabilisce a priori un numero a caso, diciamo 666, e il primo condannato somma a tutto quello che vede anche il numero fisso prestabilito. In questo modo il secondo può ancora dedurre con certezza il proprio numero e lo stesso gli altri, ma adesso il primo ha una probabilità maggiore di zero di indovinare il numero che ha sulla schiena.
Per la precisione 1/(N-n+1) detto N il numero massimo e n il numero minimo che il direttore potrà scegliere per i condannati.
Di poco, ma è comunque una strategia migliore.

spiacente ma:
1) i numeri possono essere non interi, e la probabilità di azzeccare un numero su un intervallo continuo è nulla
2) N = infinito, n = - infinito
3) la probabilità di indovinare non cambia anche aggiungendo un altro numero
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Taifu
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MessaggioInviato: 24 Gen 2007 14:20    Oggetto: Rispondi citando

_L_ ha scritto:
Taifu ha scritto:
ulisse ha scritto:
Chi indovina il proprio numero sopravvive gli altri... scossaaaaa!
Quale strategia garantisce la sopravvivenza a tutti i condannati tranne al primo (che, in questa variante, ha probabilità nulla di azzeccare il suo numero)?


Per non rendere nulla la probabilità del primo condannato (altrimenti io mi rifiuterei di farlo!) propongo una variante leggermente migliore:

Citazione:
Si stabilisce a priori un numero a caso, diciamo 666, e il primo condannato somma a tutto quello che vede anche il numero fisso prestabilito. In questo modo il secondo può ancora dedurre con certezza il proprio numero e lo stesso gli altri, ma adesso il primo ha una probabilità maggiore di zero di indovinare il numero che ha sulla schiena.
Per la precisione 1/(N-n+1) detto N il numero massimo e n il numero minimo che il direttore potrà scegliere per i condannati.
Di poco, ma è comunque una strategia migliore.

spiacente ma:
1) i numeri possono essere non interi, e la probabilità di azzeccare un numero su un intervallo continuo è nulla
2) N = infinito, n = - infinito
3) la probabilità di indovinare non cambia anche aggiungendo un altro numero


Mi spiace ma confermo la mia opinione.

Nella realtà il direttore è obbligato a dare dei numeri che, per quanto grandi, non possono essere infiniti e può anche dire un numero non intero ma non me lo vedo che scrive un numero decimale infinito su una schiena "finita". Certo potrebbe usare una penna infinitamente piccola, ma i carcerati dovrebbero poi usare degli occhiali infinitamente grandi...

Per questi motivi la mia strategia, per quanto di poco, diciamo pure di un epsilon piccolo a piacere, è migliore.

Intendiamoci: io nemmeno c'ero arrivato alla soluzione per cui potrei anche starmene zitto... Smile
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MessaggioInviato: 24 Gen 2007 20:05    Oggetto: Rispondi citando

Taifu ha scritto:
_L_ ha scritto:
Taifu ha scritto:
ulisse ha scritto:
Chi indovina il proprio numero sopravvive gli altri... scossaaaaa!
Quale strategia garantisce la sopravvivenza a tutti i condannati tranne al primo (che, in questa variante, ha probabilità nulla di azzeccare il suo numero)?


Per non rendere nulla la probabilità del primo condannato (altrimenti io mi rifiuterei di farlo!) propongo una variante leggermente migliore:

Citazione:
Si stabilisce a priori un numero a caso, diciamo 666, e il primo condannato somma a tutto quello che vede anche il numero fisso prestabilito. In questo modo il secondo può ancora dedurre con certezza il proprio numero e lo stesso gli altri, ma adesso il primo ha una probabilità maggiore di zero di indovinare il numero che ha sulla schiena.
Per la precisione 1/(N-n+1) detto N il numero massimo e n il numero minimo che il direttore potrà scegliere per i condannati.
Di poco, ma è comunque una strategia migliore.

spiacente ma:
1) i numeri possono essere non interi, e la probabilità di azzeccare un numero su un intervallo continuo è nulla
2) N = infinito, n = - infinito
3) la probabilità di indovinare non cambia anche aggiungendo un altro numero


Mi spiace ma confermo la mia opinione.

Nella realtà il direttore è obbligato a dare dei numeri che, per quanto grandi, non possono essere infiniti e può anche dire un numero non intero ma non me lo vedo che scrive un numero decimale infinito su una schiena "finita". Certo potrebbe usare una penna infinitamente piccola, ma i carcerati dovrebbero poi usare degli occhiali infinitamente grandi...

Per questi motivi la mia strategia, per quanto di poco, diciamo pure di un epsilon piccolo a piacere, è migliore.

Intendiamoci: io nemmeno c'ero arrivato alla soluzione per cui potrei anche starmene zitto... Smile
ok, facciamo finta che i possibili numeri siano discreti e in un intervallo finito.
ipotesi: numeri interi da 0 a N (x numeri non interi basta riscalare)
allora la somma va da 0 a K*N, dove K è il numero dei condannati
se i numeri sono assegnati indipendentemente e con probabilità uniforme, allora la probabilità che la somma sia < di N è inferiore a 1/K, perché la somma non ha densità uniforme
quindi la probabilità di indovinare è minore di 1/KN
e la probabilità diminuisce se aggiungi un numero >0
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MessaggioInviato: 24 Gen 2007 20:19    Oggetto: Rispondi citando

_L_ ha scritto:

ipotesi: numeri interi da 0 a N (x numeri non interi basta riscalare)
allora la somma va da 0 a K*N, dove K è il numero dei condannati
se i numeri sono assegnati indipendentemente e con probabilità uniforme, allora la probabilità che la somma sia < di N è inferiore a 1/K, perché la somma non ha densità uniforme
quindi la probabilità di indovinare è minore di 1/KN
e la probabilità diminuisce se aggiungi un numero >0


Hai totalmente ragione. La probabilità non aumenta per niente aggiungendo un numero. Ho toppato alla grande!

Scusa, Ulisse, mi manderesti per piacere il tuo avatar?
Grazie.

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MessaggioInviato: 25 Gen 2007 10:38    Oggetto: una possibilità per il Primo Rispondi citando

il perfido tiranno, inteneritosi, ha deciso di dare una possibilità a Primo (siamo nel caso di numeri qualsiasi scritti sulle spalle dei condannati) e gli fa svolgere un preliminare.
Così scrive su 10 foglietti (ovviamente adesivi) 10 numeri, fra loro diversi. Li mescola, li pone a faccia in giù, poi Primo li scopre uno alla volta e sospende quando ritiene che l'ultimo numero scoperto sia il maggiore della serie. Non può prenderne uno precedente e se si scoprono tutti i foglietti il numero scelto è l'ultimo.
Se Primo indovina, quelli saranno i dieci numeri attaccati sulle spalle dei condannati, lui compreso, altrimenti il maligno despota scarta il numero indicato da Primo, attacca gli altri nove agli altri nove sodali e a Primo ne attacca un ulteriore altro (reale qualsiasi, scelto a caso), ritornando in sostanza alla vecchia situazione di partenza.
Poichè Primo è persona onesta, per cui se sbaglia nel preliminare continuerà a seguire nel prosieguo la corretta strategia, ma, se invece nel preliminare ci azzecca, l'istinto di conservazione umanamente prevarrà, qual è la probabilità che i Nove si salvino?

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MessaggioInviato: 25 Gen 2007 11:01    Oggetto: Re: una possibilità per il Primo Rispondi citando

salmastro ha scritto:
il perfido tiranno, inteneritosi, ha deciso di dare una possibilità a Primo (siamo nel caso di numeri qualsiasi scritti sulle spalle dei condannati) e gli fa svolgere un preliminare.
Così scrive su 10 foglietti (ovviamente adesivi) 10 numeri, fra loro diversi. Li mescola, li pone a faccia in giù, poi Primo li scopre uno alla volta e sospende quando ritiene che l'ultimo numero scoperto sia il maggiore della serie. Non può prenderne uno precedente e se si scoprono tutti i foglietti il numero scelto è l'ultimo.
Se Primo indovina, quelli saranno i dieci numeri attaccati sulle spalle dei condannati, lui compreso, altrimenti il maligno despota scarta il numero indicato da Primo, attacca gli altri nove agli altri nove sodali e a Primo ne attacca un ulteriore altro (reale qualsiasi, scelto a caso), ritornando in sostanza alla vecchia situazione di partenza.
Poichè Primo è persona onesta, per cui se sbaglia nel preliminare continuerà a seguire nel prosieguo la corretta strategia, ma, se invece nel preliminare ci azzecca, l'istinto di conservazione umanamente prevarrà, qual è la probabilità che i Nove si salvino?
Salmastro


Questa storiella mi ricorda una vicenda simile di un uomo che deve scegliere la moglie tra dieci candidate...
Era di Martin Gardner o sbaglio?

La soluzione la ricordo ma non la posto Wink

Ciao.
Marco.
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MessaggioInviato: 25 Gen 2007 11:58    Oggetto: x Taifu Rispondi citando

...già...MG la chiamava, anche, "il gioco del Googol".
Ma come diceva Ulisse, MG ha esplorato (quasi) tutti i possibili enigmi...
Per cui chi sa la risposta, come me e come te, perchè l'ha letta, dia solo dritte!
Salmastro
P.S.: l'uso del "Googol" (un 1 seguito da 100 zeri) risolve i tuoi "problemi" di spazio, legati alla finitezza dei foglietti
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MessaggioInviato: 25 Gen 2007 17:46    Oggetto: Re: una possibilità per il Primo Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Poichè Primo è persona onesta, per cui se sbaglia nel preliminare continuerà a seguire nel prosieguo la corretta strategia, ma, se invece nel preliminare ci azzecca, l'istinto di conservazione umanamente prevarrà, qual è la probabilità che i Nove si salvino?
Salmastro


Stavo pensando che la probabilità che nove si salvino è 100%, mentre altra cosa è la probabilità che i Nove si salvino.

Ciao.
Marco.
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MessaggioInviato: 25 Gen 2007 19:06    Oggetto: Rispondi citando

in che senso?

Salmastro

P.S.: in una delle due opzioni hai comunque ragione.
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MessaggioInviato: 25 Gen 2007 19:16    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
in che senso?
Salmastro
P.S.: in una delle due opzioni hai comunque ragione.


Nel senso che se il primo indovina, allora lui e altri otto (dal terzo al decimo) si salvano. Se non indovina allora gli altri nove si salvano.
In entrambi i casi si salvano in nove.

Se però si stiamo parlando non di nove a caso ma degli altri nove (i Nove in maiuscolo) allora il ragionamento non funziona.

Ciao.
Marco.
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MessaggioInviato: 25 Gen 2007 19:39    Oggetto: Rispondi citando

geniale! perchè, giustamente, Secondo farebbe le veci di Primo, se questo superasse il preliminare.
Il problema, e qui è l'ulteriore malizia del despota, sta nel fatto che l'esito del preliminare è ignoto ai Nove! (prego i forumisti di considerare tale precisazione parte integrante del quesito)

Comunque, Taifu meglio di un hacker!

Salmastro
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 18:13    Oggetto: Rispondi

Taifu ha scritto:
Per non rendere nulla la probabilità del primo condannato (altrimenti io mi rifiuterei di farlo!) propongo una variante leggermente migliore


Perdonatemi se ripeto cose già dette da altri. Sto rispondendo post per post quindi vedo solo le risposte "vicine".

Migliore da che punto di vista?
Il direttore potrebbe essere un sadico che si diverte a vedere i condannati scannarsi tra loro per stabilire chi deve certamente morire tra i dieci.
Per costringerli ad una scelta è sufficiente che dica "se non riuscite a decidere in che ordine mettervi, tutti e dieci sarete giustiziati"

Piuttosto, lo sfigato che finisce in prima posizione può fare il bastardo ed esclamando "Muoia Sansone con tutti i Filistei!" può dichiarare un numero sbagliato portando tutti e nove gli altri condannati a sbagliare e, quindi, a morire con lui!

Se stabilisci che il direttore lavori solo con gli interi di un intervallo limitato allora ricadiamo nella variante degli N colori.
Se invece limiti l'intervallo ma lasci che i numeri siano reali vale l'osservazione di _L_
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