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* PROBLEMA: La penisola dei gonzi
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axlman
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Residenza: l'Universo più scalcinato del Multiverso

MessaggioInviato: 28 Ott 2006 01:04    Oggetto: Rispondi citando

Altra Errata Corrige. Mi sono accorto di aver confuso i simboli nella fretta quindi riporto tutto e compatto. Chiedo venia... Brick wall

ulisse ha scritto:
Parto dal presupposto che i 4 ambi siano costituiti da 8 numeri tutti distinti tra loro (altrimenti si incasinano i conti che lo sono già abbastanza...)

Con il mio metodo si dovrebbero considerare anche ambi con uno o più numeri in comune. Indichiamo

coefficiente binomiale è il numero di sottinsiemi di ampiezza k che posso formare con gli elementi dell'insieme di ampiezza n:
(n k) = (n)k/k! = n!/(n-k)!k!
ove (n)k = n(n-1)....(n-k+1) = n!/(n-k)! che è il numero totale di campioni ordinati e diversi tra loro che si può ottenere estraendo k elementi da un campione che ne contiene n distinguibili.

Se in un'urna ho N palline di cui K vincenti e ne estaggo n, la probabilità che in queste n ce ne siano esattamente k di quelle vincenti è

(n k) (K)k (N-K)n-k / (N)n

che posso anche scrivere

(K k) (N-K n-k) / (N n)

La prima formula la ricavo cosi:
il numeratore dà (n k) modi di scegliere le k posizioni delle K palle vincenti moltiplicato per il numero delle differenti n-uple, che è
(K)k (N-K)n-k
il denominatore dà il numero totale di campioni ordinati e diversi tra loro che si può ottenere estraendo n palle da un'urna che ne contiene N, cioè appunto (N)n

Usando la formula per N=4005 (numero totale di ambi possibili con 90 numeri) K=4 (numero ambi giocati) n=10 (numero ambi possibili con 5 numeri estratti) k=1 ho la probabilità che esca esattamente un ambo di quelli giocati ed analogamente per k=2 , 3 e 4. Sommandole trovo la probabilità che esca almeno un ambo.

ulisse ha scritto:
Dunque P(X)=0,9988%
Cioè poco meno dell'1% ricavato a spanne con P(X)=4P(A)

Anche con il mio metodo trovo valori analoghi. Per un completo profano parlare dell' 1% per una ruota e del 10 % per tutte e 10 è comunque più comprensibile e sostazialmente esatto.

ulisse ha scritto:
Se non ho commesso errori, la mia domanda ora è: posto che in totale abbiamo giocato 4 ambi su 10 ruote per 10 settimane ovvero 400 ambi, quanto costa giocare 400 ambi?

In realtà si può giocare su ogni ambo ciò che si vuole quindi la giusta domanda è: supponendo che si giochi sempre la stessa cifra su ogni ambo, sapendo che la vincita per un ambo è 250 volte la giocata e che si giocano sempre gli stessi 4 ambi su 10 ruote per 10 estrazioni, qual'è la probabilità che si vinca veramente qualcosa, cioè al netto delle spese sostenute per le 400 giocate (senza dimenticare i cento euro dati al bufalatore), e come si può quantificare tale vincita in rapporto alle probabilità di effettuarla?
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ulisse
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MessaggioInviato: 06 Nov 2006 12:45    Oggetto: Rispondi citando

axlman ha scritto:
Per un completo profano parlare dell' 1% per una ruota e del 10 % per tutte e 10 è comunque più comprensibile e sostazialmente esatto.

Vero ma attenzione che l'approssimazione vale solo per p piccoli. Già per valori di p intorno al 5% dire che su 10 ruote la probabilità è circa il 50% ci porta ad un errore significativo (reso clamoroso se p>10% che porterebbe ad una probabilità superiore al 100%!)

axlman ha scritto:
come si può quantificare tale vincita in rapporto alle probabilità di effettuarla?

Bisogna introdurre una variabile aleatoria che rappresenti la vincita e di essa calcolarne la media.

Se:
X è una variabile aleatoria che conta il numero di ambi vinti,
r è il ricavo unitario ad ambo (quanto ti danno se vinci un ambo),
c il costo per giocare un ambo
C i costi fissi (i soldi cacciati al truffatore che vende le giocate)
n il numero di ambi giocati (uno per ruota per settimana)
p la probabilità di fare un ambo

Allora la variabile aleatoria che misura la vincita è:
Y = rX - cn - C

La sua media è:
E[Y] = E[rX - cn - C] = rE[X] - cn - C

Resta da calcolare la media di E[X] ...
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axlman
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MessaggioInviato: 24 Nov 2006 08:39    Oggetto: Rispondi citando

Salve a tutti 8)
Non sono più intervenuto perchè ero al paesello, non ADSL-munito, e il catorcio qui non ha modem interno. Vediamo se riusciamo a giungere a una conclusione.

ulisse ha scritto:
Vero ma attenzione che l'approssimazione vale solo per p piccoli. Già per valori di p intorno al 5% dire che su 10 ruote la probabilità è circa il 50% ci porta ad un errore significativo (reso clamoroso se p>10% che porterebbe ad una probabilità superiore al 100%!)

Logico, mi riferivo a questo caso particolare, per il caso generale valgono le regole generali. A proposito, nessuno mi ha detto se i miei calcoli hanno una qualche validità: io di probabilità ne mastico poco, anzi mi procura mal di testa anziché no e se riesco a tirare fuori qualcosa è adattando ragionamenti di altri ai miei scopi, ma non ho assolutamente la certezza di farlo correttamente. Quindi Madvero mi dispiace ma se non trovo la dritta giusta almeno per iniziare il ragionamento, da solo non cavo un ragno dal buco per le tue domande.

ulisse ha scritto:
Resta da calcolare la media di E[X] ...

Bella forza è proprio quello che non so fare...Grrr
Scherzi a parte io l'avevo pensata cosi:
calcolo la probabilità di azzeccare esattamente un ambo sui 400 giocati moltiplicata per r=250c poi sommo la probabilità di azzeccarne esattamente due moltiplicata per 2r=500c e così via fino ai 400 ambi azzeccati. Dal tutto sottraggo 400c e C. Vale?


Saluti a tutti. Ciao
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ulisse
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MessaggioInviato: 25 Nov 2006 14:22    Oggetto: Rispondi citando

Sì, esatto.

La media di una variabile aleatoria definita sugli interi (o sui primi n interi) è data dalla sommatoria:

SUM[x*P(x)]=1*P(1)+2*P(2)+3*P(3)+...
dove P(x) rappresenta la probabilità di fare x ambi.

La sommatoria è infinita se la v.a. è definita sugli interi mentre si arresta al termine n se è definita sui primi n interi.

Tu hai descritto la sommatoria già moltiplicata per r ma il concetto è lo stesso ed è altrettanto corretto!

Wink
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axlman
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Residenza: l'Universo più scalcinato del Multiverso

MessaggioInviato: 26 Nov 2006 22:05    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Giocando gli stessi numeri su tutte le ruote si deve procedere in maniera diversa.
Chiamo p=P(X)=0,9988%

La probabilità che si verifichi l'evento X in almeno una delle n=10 ruote si calcola facendo uso della distribuzione binomiale Bin(n,p) e vale circa q=9,55%

Se le giocate si ripetono per 10 settimane la probabilità che in almeno una delle m=10 settimane si verifichi l'evento X in almeno una delle n=10 ruote si calcola nuovamente con una binomiale Bin(m,q) e vale circa 63,35%
(facendo i conti senza arrotondamenti il risultato finale è certamente più preciso ma non si discosta di molto da questo)

Qualcuno controlli il procedimento di calcolo!


Aspe'.... Speak to the hand nonostante l'invito non avevo ancora controllato bene questo e ora non mi torna, proprio no.
Il coefficiente binomiale (n k) = n!/(n-k)!k! = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k! indica le combinazioni di n oggetti presi k alla volta e non capisco perchè l'hai usata ficcandoci dentro una probabilità.
Il binomiale poi lo posso calcolare con n non intero (usando la seconda formula) ma come lo calcolo se ad essere non intero è k e per di più con un k < 1 (cioè la tua p=0,9988%=0,009988)?
Infine non capisco perché hai diviso ruote e settimane: voglio dire 10 ruote per 10 estrazioni = 100 estrazioni totali e si fanno calcoli direttamente per cento estrazioni, tanto sono indipendenti. O no?

Ricapitolando, ammesso e non concesso che le mie formule siano giuste, conosciamo p1 p2 p3 p4 cioè le probabilità che siano estratti esattamente 1 , 2 , 3 o 4 dei quattro ambi giocati in un'estrazione. Da qui:

p1 + p2 + p3 + p4 = s1 probabilità che sia estratto almeno un ambo, su quattro giocati, in un'estrazione

p2 + p3 + p4 = s2 probabilità che siano estratti almeno due ambi, su quattro giocati, in un'estrazione

p3 + p4 = s3 probabilità che siano estratti almeno tre ambi, su quattro giocati, in un'estrazione

p4 = s4 probabilità che siano estratti quattro ambi, su quattro giocati, in un'estrazione

p1 + 2p2 + 3p3 + 4p4 = nv numero di ambi vinti, in media, in una estrazione

e(250nv - 4) = v vincita media in una estrazione, con "e" ammontare in euro della puntata

Noto che inserendo i valori numerici trovo:

p1 = 0,0099203017409
p2 = 0,0000335397129
p3 = 0,0000000447868
p4 = 0,0000000000196
s1 = 0,009953886260
s2 = 0,000033584519
s3 = 0,000000044806
nv = 0,0099875156
v = - 1,5e

cioè, nel caso che stiamo considerando, perdo, in media, una volta e mezza la puntata su un singolo ambo (se punto un euro su ognuno dei quattro ambi e su una singola ruota, punto in tutto 4 euro e perdo in media un euro e mezzo a botta, che mi sembra sin troppo poco, ma con le probabilità non si sa mai).

Giusto fin qui?


Per generallizzare a 10 ruote e 10 estrazioni mi serve ancora trovare la probabilità di fare esattamente 1 , 2 , 3 , 4, ...... , 398 , 399 , 400 ambi giocando sempre gli stessi 4 ambi per 100 estrazioni totali, e ripetere il procedimento precedente (calcolando, eventualmente, nell'ultima formula anche il costo dei numeri-truffa).
Suggerimenti?

Ulisse aiutami ancora in questo e giuro(<dita incrociate>)che poi non disturbo più. [-o%3C
Ciao Ciao


P.S. Piccola curiosità: [-o%3C doveva essere l'emoticon della preghiera ma non me la disegna, come anche altre: qualcuno sa perché?

P.P.S. Ma dove sono finiti tutti quanti gli altri?
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ulisse
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MessaggioInviato: 01 Dic 2006 14:30    Oggetto: Rispondi citando

axlman ha scritto:
Aspe'.... Speak to the hand nonostante l'invito non avevo ancora controllato bene questo e ora non mi torna, proprio no.
Il coefficiente binomiale ...


Ahi! Che equivoco!
Mea culpa...
Consapevole del rischio di ambiguità non ho specificato accuratamente.

Bin(n,p) è una distribuzione binomiale e non ha nulla a che vedere con il coefficiente binomiale, che avevo indicato con B(n;k).

Due notazioni troppo simili per non essere confuse tra loro... scusa!

Citazione:
Infine non capisco perché hai diviso ruote e settimane: voglio dire 10 ruote per 10 estrazioni = 100 estrazioni totali e si fanno calcoli direttamente per cento estrazioni, tanto sono indipendenti.

Vero... è solo una mia pignoleria innata e inutile...

Citazione:
Giusto fin qui?

Non ho ricontrollato i numeri ma i passaggi e i ragionamenti mi sembra proprio siano corretti.

Citazione:
Per generallizzare a 10 ruote e 10 estrazioni mi serve ancora trovare la probabilità di fare esattamente 1 , 2 , 3 , 4, ...... , 398 , 399 , 400 ambi giocando sempre gli stessi 4 ambi per 100 estrazioni totali, e ripetere il procedimento precedente (calcolando, eventualmente, nell'ultima formula anche il costo dei numeri-truffa).
Suggerimenti?

Procedi in questo modo che dovrebbe essere più semplice.
Ripetere le giocate di una ruota sulle altre (o replicarle su più settimane) significa condurre n esperimenti di Bernoulli (quelli ai quali accennavo prima).
Se sono 10 settimane per 10 ruote abbiamo n=100.

In cosa consiste il successo in un esperimento (cioè in una sola giocata) e quanto vale la probabilità p di successo?

Ad esempio potremmo concludere che il successo è "ho vinto qualcosa" ovvero v>0.
Usando quanto da te ricavato sinora, si tratta di calcolare la probabilità di vincere ovvero la probabilità p=P[v>0].
Dopodichè tale valore p lo sbatti in una distribuzione binomiale assieme a n=100.
Ciò è sufficiente per ricavare tutte le informazioni desiderate in quanto della distribuzione binomiale è noto tutto (funzione di probabilità, media, varianza, etc).

Citazione:
P.P.S. Ma dove sono finiti tutti quanti gli altri?

e te lo chiedi? Very Happy
Ecco cosa è successo agli altri:

Fuga Fuga Fuga Fuga Fuga Fuga
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MessaggioInviato: 02 Dic 2006 03:36    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Ahi! Che equivoco!
Mea culpa...
Consapevole del rischio di ambiguità non ho specificato accuratamente.
Bin(n,p) è una distribuzione binomiale e non ha nulla a che vedere con il coefficiente binomiale, che avevo indicato con B(n;k).
Due notazioni troppo simili per non essere confuse tra loro... scusa!

Scusa tu, la distribuzione binomiale la conosco ma non ci ho riflettuto abbastanza, è più forte di me, tendo a non applicarmi quando si tratta di calcolo delle probabilità, mi confondono e mi hanno sempre urtato i nervi.

ulisse ha scritto:
Usando quanto da te ricavato sinora, si tratta di calcolare la probabilità di vincere ovvero la probabilità p=P[v>0].

Presumo che tu intenda come p=P[v>0] la probabilità di fare almeno un ambo su una ruota. O è ancora qualcos'altro?

Ciao. 8)
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MessaggioInviato: 02 Dic 2006 23:32    Oggetto: Rispondi citando

axlman ha scritto:
Presumo che tu intenda come p=P[v>0] la probabilità di fare almeno un ambo su una ruota. O è ancora qualcos'altro?


Stavolta mi sa che ho proprio sbagliato: con "probabilità di vincere" intendevo "probabilità di guadagnare".
Quindi p è la probabilità che (su una giocata) il ricavato superi i costi.

Ma questa precisazione è inutile...
Mi rendo conto ora mentre scrivo che è sbagliato introdurre una distribuzione binomiale. Grrr
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axlman
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MessaggioInviato: 02 Dic 2006 23:44    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Mi rendo conto ora mentre scrivo che è sbagliato introdurre una distribuzione binomiale. Grrr

La cosa mi conforta. Non certo che tu abbia sbagliato (l'hai detto tu, io non mi permetterei mai), ma che il calcolo non è così immediato e banale come sembra e che io non sono uno gnucco senza speranza, come invece pensavo. Grazie.

8)
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madvero
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.

MessaggioInviato: 03 Dic 2006 13:31    Oggetto: Rispondi

gli altri aspettano la spremitura dei vostri neuroni per farsi il mosto, farlo fermentare e berselo.
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