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* duellanti
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chegue17
Eroe
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Registrato: 05/02/06 16:29
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MessaggioInviato: 26 Giu 2006 10:23    Oggetto: * duellanti Rispondi citando

non ricordo se questo quesito l'ho letto qui o in facoltà da qualche parte.. io lo posto poi ditemi..

Due signori si sfidano a un duello mortele con le pistole. ogni volta che uno spara ha 1/2 di probabilità di colpire a morte l'avversario. Sparano uno per volta: Parte il primo. Poi spara il secondo. Poi di nuovo il primo. etc etc. finchè uno dei due per ovvi motivi non può più sparare..
Quanta probabilità di vittoria ha il primo (e di conseguenza il secondo)?
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alb82
Mortale pio
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Registrato: 18/05/06 09:36
Messaggi: 27

MessaggioInviato: 26 Giu 2006 14:09    Oggetto: Rispondi citando

Sparo ad intuito:

Citazione:
direi 2/3 e 1/3
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chegue17
Eroe
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Registrato: 05/02/06 16:29
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MessaggioInviato: 26 Giu 2006 15:29    Oggetto: Rispondi citando

nascondi le tue risposte.



edit by ioSOLOio
..provveduto io Wink
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andreasciuto
Mortale adepto
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Registrato: 24/06/06 14:54
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Residenza: catania

MessaggioInviato: 27 Giu 2006 02:08    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:
Il primo vince due volte su tre. Infatti, egli ha il 50% di probabilita' di vincere al primo lancio, piu' il cinquanta per cento di vincere al (proprio) secondo lancio (che pero' potra' sparare solo una volta ogni 4) piu' il cinquanta per cento al terzo lancio (una volta ogni 16) ecc. Considerato 50%=1/2, si ha dunque che la sua probabilita' di vittoria e':
1*1/2+1/4*1/2+1/16*1/2 ecc.
Questa addizione ha infiniti termini. Glub Glub

Ora, e' passato un bel po' di tempo dalle mie ultime operazioni coi limiti e francamente non so da che parte cominciare a calcolare questo. Mi e' facile notare pero' che la somma S dei primi n termini dell'addizione e'
per n=1, S=1/2=2/3-1/6;
per n=2, S=5/8=2/3-1/24;
per n=3, S=21/32=2/3-1/96;
per n=4, S=85/128=2/3-1/384;

In altre parole, 2/3-S=2^-(2n+1)/3, e quindi per n che tende a infinito, 2/3-S tende a zero, ossia S tende a 2/3. Laughing Laughing Laughing

C'e' una cosa che non ho spiegato.
D: Da dove mi e' saltato in testa il valore 2/3 che ho sottratto?
R: Beh, ecco... Whistle Whistle Whistle Mi sono fatto un piccolo grafico.
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alb82
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Registrato: 18/05/06 09:36
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MessaggioInviato: 27 Giu 2006 10:32    Oggetto: Rispondi citando

Non avevo nascosto perchè avevo sparato a casaccio Very Happy
Però ripensandoci avrei ragionato così:
Citazione:
La probabilità del primo al primo colpo è 1/2, poi spara il secondo, la sua probabilità di sparare e colpire è pari a 1/2 che l'altro lo sbagli per 1/2, quando tocca di nuovo il primo sarà quindi 1/2*1/2*1/2.
Quindi se sommo le probabilità degli eventi ho per il primo 1/2+1/8+1/32.. =2/3
Per il secondo 1/4+1/16+1/64... =1/3
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
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Registrato: 28/01/06 14:35
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MessaggioInviato: 01 Lug 2006 01:35    Oggetto: Rispondi citando

Ho pensato a qualcosa, ma prima di scriverlo ho voluto vedere le soluzioni... mi sono accorto di essere un bastian contrario:
Citazione:
A me sembra del tutto simile al lancio della moneta.
Ogni lancio è un evento a se, come ogni sparo, e ogni qualvolta uno dei due spara ha sempre il 50% di probabilità di vincere (visto che a quanto pare l'abilità dei due è del tutto ininfluente e la morte per dissanguamento credo non sia contemplata).
L'unica dipendenza è data dalla condizione sfavorevole nell'essere il secondo: hai la possibilità di vincere solo se il primo sbaglia.
Perciò il secondo avrà una probabilità pari a 0,5*0,5=0,25 di vincere, mentre il primo ha il il 50%.
E il restante 25%? E' la probabilità che lo scontro si protragga all'infinito.
Credo infatti esista anche questa possibilità, mentre con la soluzione 2/3 e 1/3 si da per scontato che prima o poi uno dei due becchi l'altro, il che non è detto.

Mi rendo conto che c'è una falla in quello che ho scritto, ma ora è tardi per capire dove... ma magari ci ho preso!
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chegue17
Eroe
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MessaggioInviato: 01 Lug 2006 14:12    Oggetto: Rispondi citando

Benny ha scritto:
ma magari ci ho preso!

Very Happy Very Happy
no, non ci hai preso..
Very Happy Very Happy
Citazione:
infatti il tuo ragionamento si ferma al primo sparo di ognuno:
Benny ha scritto:
ogni qualvolta uno dei due spara ha sempre il 50% di probabilità di vincere

qui hai detto bene, però, con questa affermazione
Benny ha scritto:
L'unica dipendenza è data dalla condizione sfavorevole nell'essere il secondo: hai la possibilità di vincere solo se il primo sbaglia.
Perciò il secondo avrà una probabilità pari a 0,5*0,5=0,25 di vincere, mentre il primo ha il il 50%.

fermi il ragionamento..
il tuo 25% che rimane e che dici vada all'infinito è la possibilità che sia il primo duellante sia il secondo abbiano ciccato entrambi. se avviene ciò, cosa succede? >>TOCCA DI NUOVO AL PRIMO, il quale, certo, avrà nuovamente il 50% di probabilità di ammazzare l'avversario (e ci sarà il 25% nel viceversa), ma questo 50% (25%) rappresenta una possibilità su due (una su quattro) del caso in cui eravamo, cioè il 25% del 100% della condizione iniziale iniziale.. e così via.. Razz

che rigirìo che ho fatto.. 8)


P.S. Non so perchè non mi prende il quote con i caratteri bianchi... boh..
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Benny
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Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano

MessaggioInviato: 01 Lug 2006 16:20    Oggetto: Rispondi citando

Adesso che ho dormito seguo meglio il ragionamento... Light
Citazione:
Quello che dicevo io non è del tutto errato, ma risponde ad un'altra domanda: "con che probabilità vince uno dei due o, al contrario, si va avanti all'infinito"
In questo caso 75% di finire il duello e 25% di non concludere mai.
Se vogliamo sapere quale probabilità ha l'uno o l'altro di vincere, allora la risposta è quella già data da tutti: 2 colpi su 3 per il primo e 1 su 3 per il secondo.
Tra l'altro questa risposta è "casualmente" contenuta nella mia precedente: 2/3 di 75% = 50% e 1/3 di 75% =25%.

Dopotutto non ho sbagliato di molto Rolling Eyes
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chemicalbit
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MessaggioInviato: 01 Lug 2006 18:47    Oggetto: Rispondi citando

chegue17 ha scritto:
P.S. Non so perchè non mi prende il quote con i caratteri bianchi... boh..
Il
Codice:
[color=white][/color]
devi metterlo dentro il quote.

Il tag quote "interrompe" il tag del colore. Per cui:

* appena aperto il "tuo"quote (quello messo solo per oscurare lo spoiler" devi mettere un tag colore = bianco e chiuderlo alla fien del messaggio..
*se ci sono altri quote (perché tu stavi riportando un quote di Benny), questi "interromperebbero" il tuo tag colore. Per cui devi avere una coppia di tag "colore", "fine colore" per ogni pezzo del tuo testo. altrimenti detto: oltre ai tag all'inizioo e lla fine del tuo quote, deivi chiudere il tag subito prima di ogni quote "vero" (cioè in cui citi un'altra persona) e riaprirlo subito dopo; e ripetere per ogni altro quote.
*se vuoi "oscurare" anche il contenuto dei "veri" quote, devono esserci una coppia "colore" "fine colore" anche all'interno di ciascuno di essi

p.s.: sembra peggio degli enigmi matematici Wink
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alb82
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MessaggioInviato: 03 Lug 2006 09:47    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:
Adesso che ho dormito seguo meglio il ragionamento...

Sì ma uno appena sveglio è ancora parecchio intontito Laughing Laughing
Con che probabilità si va all'infinito?
La risposta sta già nella domanda: INFINITO
Quando mai si son viste cose che durano all'infinito?
Insomma la probabilità è 0
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Benny
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MessaggioInviato: 03 Lug 2006 23:02    Oggetto: Rispondi citando

Il tempo è di per sé infinito...
Ok, non dico più nulla... Silenced
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andreasciuto
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MessaggioInviato: 04 Lug 2006 13:12    Oggetto: Rispondi citando

alb82 ha scritto:
Con che probabilità si va all'infinito?
La risposta sta già nella domanda: INFINITO
Quando mai si son viste cose che durano all'infinito?
Insomma la probabilità è 0


Piu' precisamente
Citazione:
la probabilita' e' 1/infinito, ossia l'infinitesimo.. Old
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ulisse
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MessaggioInviato: 17 Lug 2006 13:56    Oggetto: Rispondi citando

Benny ha scritto:
Quello che dicevo io non è del tutto errato

No, non lo è.
Anzi, con qualche aggiustamento diventa corretto:

0,5 è la probabilità che il duellante che spara per primo colpisca l'avversario al primo colpo
0,25 è la probabilità che il duellante che spara per secondo colpisca l'avversario al primo colpo (al suo primo colpo)
e
0,25 è la probabilità che nessuno dei due colpisca l'avversario al primo colpo (ovvero che il colpo fatale arrivi DOPO)

Anche la somiglianza con il lancio della moneta è azzeccato infatti entrambi i problemi ammettono lo stesso modello rappresentativo.

Supponiamo che un agente assicurativo proponga ai duellanti una polizza che prevede un risarcimento da liquidare alla famiglia del "liquidato" pari a 1 euro se il colpo fatale è il primo, a 2 euro se è il secondo, a 4 euro se è il terzo e così via.
Quale deve essere il premio unico anticipato che i duellanti devono pagare (metà per uno) che renda equo il contratto assicurativo?
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ulisse
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MessaggioInviato: 17 Lug 2006 14:13    Oggetto: Rispondi citando

Mi sovviene una generalizzazione letta recentemente (posto che ho comprato e sto ancora leggendo l'opera omnia di Odifreddi deduco che la fonte è uno dei suoi libri).

Ricostruisco il problema attingendo alla fantasia per colmare le lacune della memoria:

TRE duellanti si sfidano a tenzone (ricorderete il duello finale in "Il buono, il brutto e il cattivo" o era "Il bello, il brutto e il cattivo" vabbè nel film Eastwood era sia bello che buono...)

I tre duellanti hanno differenti abilità: solitamente A mette a segno 5 colpi su 10, B 6 colpi su 10 e C 7 su 10.

Si spara a rotazione: prima A poi B poi C e poi ancora A fino a che non ne resta solo uno vivo.

Se voi foste A che strategia adottereste? (non vale darsela a gambe!)
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Lorenzo
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MessaggioInviato: 17 Lug 2006 21:59    Oggetto: Rispondi citando

Così tanto per dire, senza ragionamenti e calcoli, se fossi A sparerei 6 colpi verso C e 4 colpi verso B.

Ciao
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MessaggioInviato: 17 Lug 2006 23:01    Oggetto: Rispondi citando

Ehm... chiedo scusa per la scarsa chiarezza.
Con la frase "solitamente A mette a segno 5 colpi su 10..." non intendevo dire che durante la tenzone ogni duellante deve sparare 10 colpi.
Era solo un modo per dichiarare l'abilità dei duellanti.
Avrei dovuto dire che la probabilità che A metta a segno un colpo è del 50% (e così via per B e C).
Durante il duello ognuno spara un singolo colpo per volta.
Il primo lo spara A, il secondo lo spara B (se nel frattempo non è stato liquidato da A), il terzo lo spara C (se nel frattempo non è stato liquidato da A o da B), il quarto lo spara di nuovo A (sempre che sia ancora in vita).
E questo sino a che non ne resta solo uno in vita.
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Benny
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MessaggioInviato: 28 Ago 2006 01:22    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Benny ha scritto:
Quello che dicevo io non è del tutto errato

No, non lo è.
Anzi, con qualche aggiustamento diventa corretto:

Questo mi consola parecchio! Smile

tornando al quesito, opportunamente rivisto da Ulisse:
Citazione:
L'abilità di ogni tiratore non cambia a seconda della direzione in cui spara, perciò, se fossi A, cercherei di eliminare per primo il più abile dei due, quindi C, nell'ipotesi (o speranza) che anche gli altri due facciano lo stesso ragionamento: meglio eliminare il migliore per primo.
Se A decidesse di colpire per primo B, e avesse la (s)fortuna di eliminarlo, si troverebbe contro C, che è la condizione più sfavorevole.
Sarebbe un duello del tipo:
A --> C
B --> C
C --> B

Perciò, se riesce a eliminare subito C, le chance di A aumenterebbero, mentre, se dovesse ciccare il colpo, la sua probabilità di soppravivenza aumenterebbe comunque in conseguenza al tentativo di B, sempre nell'ipotesi che B non decida di prendersela con lui...


Il film è "il buono, il brutto e il cattivo"...
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chegue17
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MessaggioInviato: 08 Set 2006 15:16    Oggetto: Rispondi citando

prima di tutto nel film uno dei tre non ha pallottole nel tamburo Smile

in secondo luogo eastwood detto il buono non è nè buono nè bello.. è solo biondo!
e anche figlio di putt...
Very Happy Very Happy
chi vuol capire capisca..

per tornare al quesito:
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chegue17
Eroe
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MessaggioInviato: 08 Set 2006 18:00    Oggetto: Rispondi citando

Sicuramente il primo deve sparare il primo colpo in aria..

Correct?
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ulisse
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MessaggioInviato: 15 Set 2006 14:17    Oggetto: Rispondi

chegue17 ha scritto:
Correct?

Non so... Liar

La strategia migliore è quella che garantisce la probabilità maggiore di sopravvivenza.
Si tratta quindi di fare un po' di conticini per calcolare tale probabilità nei tra casi possibili (A spara a B, spara a C, spara in aria).
Il pensiero laterale, nonostante sia tanto decantato dagli americani, è effettivamente affascinante: in un duello a morte chi andrebbe mai a immaginare che sparare in aria anzichè a uno dei due avversari possa essere una strategia sensata?
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