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* a buon intenditor...
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Salmastro
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MessaggioInviato: 04 Feb 2008 18:38    Oggetto: * a buon intenditor... Rispondi citando

Il prof. Bevilacqua, a dispetto del nome, si vanta di essere un grande intenditore di vini.

Alla fine di una cena fra colleghi, per metterlo alla prova, gli amici, maliziosamente, gli sottopongono 5 bicchieri, contenenti, non nell'ordine,
Aglianico, Barolo, Chianti, Dolcetto ed Etna
e gli chiedono di assegnare, dopo un breve assaggio, ad ognuno dei bicchieri il giusto vino.

Ma il prof. non è affatto un intenditore, per cui l'unica cosa che può fare è attribuire i nomi a casaccio e sperare di fare bella figura...

Qual è la probabilità che non indovini neanche un abbinamento?

E se i bicchieri (ed i vini) fossero N, come si può generalizzare?
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madvero
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MessaggioInviato: 08 Feb 2008 22:54    Oggetto: Rispondi citando

ciao salmastro !!!

Squeeze Squeeze Squeeze

sono passati quattro giorni dal tuo post, l'hanno letto una quarantina di persone e nessuno ha proposto nulla.
non ti sembra l'ora di calare un aiutino? Wink

più che altro, l'approccio iniziale al problema, tanto per capire se ci si va via n_fattoriale_su_k_fattoriale_per_n_meno_k_fattoriale o cosa...
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madvero
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MessaggioInviato: 08 Feb 2008 23:00    Oggetto: Rispondi citando

lancio la mia proposta, molto terra terra.

Citazione:
al primo giro, ha 4 possibilità du 5 di sbagliare.
sbagliata la prima, la seconda volta ne ha 3 su 5.
sbagliata la seconda, ne ha 2 su 5.
sbagliata la terza, ne ha 1 su 5.
e per esclusione, se ha sbagliato tutte le l'altre, anche l'ultima sarà sbagliata per forza.

quindi direi
4/5*3/5*2/5*1/5

e quindi il 3,84%



se non ho detto una castroneria da paura, adesso provo ad astrarre.
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MessaggioInviato: 08 Feb 2008 23:07    Oggetto: Rispondi citando

detto n il numero di bicchieri possibili, la formula per risolvere il quesito potrebbe essere

Citazione:
p = (n-1)! / [n^(n-1)]
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MessaggioInviato: 08 Feb 2008 23:08    Oggetto: Rispondi citando

Rolling Eyes Rolling Eyes Rolling Eyes

okkei, mi scrivo da sola il riprovato sul libretto e me ne torno a casa.
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Jowex
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 10:39    Oggetto: Rispondi citando

io intanto butto lì un
Citazione:
11/30=0,367=36,7%

ma senza una dimostrazione accettabile, quindi non vale.....
continuo a perdermi tra le probabilità condizionate... Razz
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Salmastro
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 10:39    Oggetto: Rispondi citando

confesso di non conoscere la soluzione Crying or Very sad
so solo che procedendo brutalmente e manualmente si ottiene per il caso "tutto sbagliato" una probabilità di
Citazione:
44/120

e sempre allo stesso modo si ottiene questa serie di risultati, per N da 1 a 5 (laddove con E si indica il caso "tutto sbagliato")
Citazione:
N=1 ---> E(1)=0
N=2 ---> E(2)=1
N=3 ---> E(3)=2
N=4 ---> E(4)=9
N=5 ---> E(5)=44

l'unica regolarità che ho scovato è che pare che
E(N) sia uguale, almeno per N>2, a [E(N-2)+E(N-1)]*[N-1]

ma non so dare alcuna giustificazione teorica, al momento Embarassed

help me!!

EDIT: nella prima citazione stesso risultato di Jowex!!! ...e stesse perplessità Confused
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 15:34    Oggetto: Rispondi citando

jowex e salmastro, volate più basso.
io vi ho detto che ho preso il prodotto di quelle che secondo me sono le probabilità successive (e probabilmente non lo sono).
invece i vostri conti da cosa saltano fuori?
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 16:16    Oggetto: Rispondi citando

'spetta che ci ho ragionato un secondo.
ripeto il mio stesso ragionamento, ma con le probabilità giuste.

Citazione:
p(sbagliare il primo assaggio) = 4/5
p(sbagliare il secondo assaggio) = 3/4
p(sbagliare il terzo assaggio) = 2/3
p(sbagliare il quarto assaggio) = 1/2
p(sbagliare il quinto assaggio) = 1/1

perciò

Citazione:
p(sbagliarle tutte) = 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 24/120 = 0,2 = 20%

quindi detto n il numero di bicchieri, per generalizzare, si dovrebbe avere

Citazione:
p = (n-1)! / n!

o no?
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 16:30    Oggetto: Rispondi citando

però mi spiegate seguendo quale ragionamento siete arrivati a

Citazione:
11/30 o 44/120

che proprio non lo capisco?
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 16:36    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
sempre allo stesso modo si ottiene questa serie di risultati, per N da 1 a 5
(laddove con E si indica il caso "tutto sbagliato")
Citazione:
N=1 ---> E(1)=0
N=2 ---> E(2)=1
N=3 ---> E(3)=2
N=4 ---> E(4)=9
N=5 ---> E(5)=44


Embarassed Embarassed Embarassed

ecco, anche questa non la capisco.
secondo me, seguendo la tua stesura del problema,

Citazione:
N=1 ---> E(1)=1/2

cioè se c'è un bicchiere solo

Citazione:
ho il 50% di probabilità di sbagliare

invece per

Citazione:
11/30

Rolling Eyes Rolling Eyes Rolling Eyes

mi sto arrampicando sui vetri per cercare di arrivarci.
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Jowex
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 16:39    Oggetto: Rispondi citando

non volevo farti arrabbiare madvero... Squeeze Squeeze Squeeze

Citazione:
Supponendo che la sequenza "vera" di vini sia ABCDE, gli abbinamenti possibili sono tutte le permutazioni di ABCDE, ovvero 5! = 120.
Andando a verificare brutalmente (nel senso di contare) quante sono le sequenze che non contengono A in 1a posizione o B in 2a o C in 3a o D in 4a o E in 5a, si trova che sono 44 su 120, quindi P = 44/120 = 11/30
Per altri n:
n=1 -> p=0
n=2 -> p=1/2
n=3 -> p=2/6
n=4 -> p=9/24
n=5 -> p=44/120
n=6 -> p=265/720

Probabilmente salmastro, con buono spirito di osservazione, si è accorto che la sequenza 0 1 2=2*1 9=3*3 44=4*11 265=5*53 ...
può essere descritta dalla relazione che ha postato precedentemente (ma questo ce lo può dire meglio lui)
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 16:49    Oggetto: Rispondi citando

ma mica mi fai arrabbiare !!!
aspetta che ti leggo.
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 16:56    Oggetto: Rispondi citando

il mio carissimo amico Jowex ha scritto:
Supponendo che la sequenza "vera" di vini sia ABCDE, gli abbinamenti possibili sono tutte le permutazioni di ABCDE, ovvero 5! = 120.

fin qui ci sono

il mio carissimo amico Jowex ha scritto:
Andando a verificare brutalmente (nel senso di contare) quante sono le sequenze che non contengono A in 1a posizione o B in 2a o C in 3a o D in 4a o E in 5a, si trova che sono 44 su 120, quindi P = 44/120 = 11/30

già qui non ci sono più

il mio carissimo amico Jowex ha scritto:
Per altri n:
n=1 -> p=0
n=2 -> p=1/2
n=3 -> p=2/6
n=4 -> p=9/24
n=5 -> p=44/120
n=6 -> p=265/720

Probabilmente salmastro, con buono spirito di osservazione, si è accorto che la sequenza 0 1 2=2*1 9=3*3 44=4*11 265=5*53 ...
può essere descritta dalla relazione che ha postato precedentemente (ma questo ce lo può dire meglio lui)

questa la capisco bene, ma discende dalla precedente che invece non ho compreso.

Rolling Eyes Rolling Eyes Rolling Eyes

rispiegami il conteggio brutale.
sono secoli che non apro un manuale di calcolo della probabilità e statistica.
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 17:00    Oggetto: Rispondi citando

alle mie domande ignoranti, aggiungerei anche questa: disposizioni o permutazioni?
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 17:26    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
rispiegami il conteggio brutale.
sono secoli che non apro un manuale di calcolo della probabilità e statistica.

Il problema è proprio che non c'è nulla di calcolo delle probabilità! Hai due possibilità:
Citazione:
1. scrivi tutte le permutazioni di ABCDE in un file di testo (con un editor che ti permette di copiare e incollare per colonne si fa abbastanza in fretta)
Poi dall'elenco elimini le sequenze non valide (io ho fatto un match con grep (programma da riga di comando) e l'espressione regolare ^[^a][^b][^c][^d][^e]$ che trova le stringhe che non contengono a in 1a posizione oppure b in 2a ecc ecc.) e conti...

2. scrivi un programmino che ti calcoli tutte le permutazioni, e che conta quelle accettabili per il problema.

Il numero trovato diviso per il numero di permutazioni ti dà la probabilità cercata, dato che ogni permutazione è equiprobabile rispetto alle altre.

E' giusto considerare le permutazioni, perché in 1 hai 5 possibilità, in 2 ne hai 4, in 3 ne hai 3.... quindi 5*4*3*2*1=5!
D'altra parte le disposizioni di n elementi presi n a n sono proprio n!, quindi è la stessa cosa

Ora cerco di motivare che cos'è che non va nel calcolo delle probabilità che hai riportato prima....
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MessaggioInviato: 09 Feb 2008 18:01    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
p(sbagliare il primo assaggio) = 4/5
p(sbagliare il secondo assaggio) = 3/4
p(sbagliare il terzo assaggio) = 2/3
p(sbagliare il quarto assaggio) = 1/2
p(sbagliare il quinto assaggio) = 1/1

Sempre supponendo "vera" la sequenza ABCDE,
Citazione:
la p(sbagliare il primo assaggio) è giusta (4/5), ma la p(sbagliare il secondo assaggio) può essere 3/4 (se B è tra i vini ancora assegnabili) oppure può essere 4/4=1 (se B è stato assegnato al primo bicchiere). Stessa complicazione per i bicchieri successivi...
Ovvero, usando le probabilità condizionate e indicando con 1 2 3 4 5 i cinque bicchieri (e supponendo esatta la sequenza ABCDE):
P{sbagliare 1 e 2 e 3 e 4 e 5} = P{sbagliare 1} * P{sbagliare 2 e 3 e 4 e 5 | ho sbagliato 1}
ma bisogna distinguere in che modo è stato sbagliato il bicchiere 1.
e da qui nascono tutti i miei tentativi senza arrivare ancora a nulla....

EDIT: per es. usando il teorema della probabilità assoluta, si può scrivere:
P(!1 e !2 e !3 e !4 e !5) =
P(!1 e !2 e !3 e !4 e !5 | 1=A)P(1=A) + P(!1 e !2 e !3 e !4 e !5 | 1=B)P(1=B) + P(!1 e !2 e !3 e !4 e !5 | 1=C o 1=D o 1=E)P(1=C o 1=D o 1=E) =
0 + 1/5 * P(!2 e !3 e !4 e !5 | 1=B) + 3/5 * P(!2 e !3 e !4 e !5 | 1=C o 1=D o 1=E)
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MessaggioInviato: 10 Feb 2008 10:10    Oggetto: Rispondi citando

Ho trovato una dimostrazione per n=5 lunga e noiosa, di cui riporto solo i passaggi principali.
Chiamo Q(5) la probabilità cercata, e indico per brevità !1 l'evento in cui al bicchiere 1 non si assegna l'etichetta A (e quindi l'assegnamento è sbagliato).
Sempre per brevità, ometto la "e" tra gli eventi che devono verificarsi contemporaneamente.

Citazione:
Q(5) = P(!1 !2 !3 !4 !5) =
(per il teorema della prob. assoluta)
= P(!1 !2 !3 !4 !5|1=A)*P(1=A) + P(!1 !2 !3 !4 !5|1=B)*P(1=B) + P(!1 !2 !3 !4 !5|1=C)*P(1=C) + P(!1 !2 !3 !4 !5|1=D)*P(1=D) + P(!1 !2 !3 !4 !5|1=E)*P(1=E) =
(semplificando i termini che diventano ininfluenti a causa dei condizionamenti)
= 0 + P(!3 !4 !5|1=B)/5 + P(!2 !4 !5|1=C)/5 + P(!2 !3 !5|1=D)/5 + P(!2 !3 !4|1=E)/5 =
(considerando che le 4 probabilità rimaste sono equivalenti)
= 4/5 * P(!3 !4 !5|1=B)

Applicando ancora il teorema della prob. assoluta, si trova che
P(!3 !4 !5|1=B) = 11/24 (non è immediato, ma bastano un paio di passaggi), quindi:
Q(5) = 4/5 * 11/24 = 44/120 = 11/30

Si può dimostrare anche che (nemmeno questo è immediato)
P(!3 !4 !5|1=B) = Q(3) / 4 + Q(4) (*****), quindi:
Q(5) = 4/5 * (Q(3) / 4 + Q(4)) = (Q(3) + 4*Q(4)) / 5
che è un caso particolare della formula della probabilità per n generico
Q(n) = ((n-1)*Q(n-1) + Q(n-2))/n
che si può ricavare anche dalla formula di salmastro
E(n) = (n-1)[E(n-1)+E(n-2)]
ponendo Q(n) = E(n)/n!

(*****) per n generico sarebbe sufficiente dimostrare che:
P(tutti gli abbinamenti dal bicchiere 3 a n sono sbagliati | 1=B) =
= P(!3 !4 !5 ... !n | 1=B) = Q(n-2)/(n-1) + Q(n-1)
ma questo non l'ho fatto, però credo che il metodo sia uguale a quello per n=5....


Se qualcuno volesse vedere qualche passaggio in più, posso aggiungerlo, prima di buttare gli appunti...
Se invece qualcuno avesse una dimostrazione migliore, ne sarei molto contento Very Happy
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MessaggioInviato: 19 Mar 2008 17:12    Oggetto: Rispondi citando

Non riesco a leggere le quotes dei messaggi in alcuno dei post contenuti nella mail!
Come mai?
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madvero
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MessaggioInviato: 19 Mar 2008 19:41    Oggetto: Rispondi

si chiama spoiler.
lo facciamo apposta per impedire che qualcuno legga, involontariamente, le soluzioni dei giochi.
in pratica, al posto di mettere il testo in rosso o in verde, lo mettiamo in bianco; quotando, anche lo sfondo è bianco.
così, chi vuole cimentarsi a trovare una soluzione senza leggere per sbaglio quelle degli altri, può farlo.

per leggere le soluzioni, invece, è sufficiente evidenziare col mouse la parte quotata.
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