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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 02:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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 Inviato: 24 Mag 2006 17:16 Oggetto: * QUIZ: Sapete contare? (3) |
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Vengono lanciati 3 dadi a 6 facce numerate da 1 a 6 e poi sommati i numeri che appaiono sulle facce. Quanti sono i diversi valori possibili per tale somma?
L'ultima modifica di ulisse il 24 Mag 2006 20:14, modificato 1 volta |
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alb82
Mortale pio
Registrato: 18/05/06 10:36
Messaggi: 27
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| Inviato: 24 Mag 2006 17:49 Oggetto: |
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| Se ho capito bene intendi dire che ad esempio 3 si fa solo con la combinazione 1,1,1; mentre 4 si fa con 112,121, 211 ciè 3 combinazioni; 5 si fa con... |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 02:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 24 Mag 2006 20:25 Oggetto: |
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| alb82 ha scritto: | | Se ho capito bene intendi dire che ad esempio 3 si fa solo con la combinazione 1,1,1; mentre 4 si fa con 112,121, 211 ciè 3 combinazioni; 5 si fa con... |
Esatto.
Mi rendo conto che chiedere quanti sono i possibili risultati distinti è assai semplice quindi aggiungo qualche domanda: quali sono i possibili esiti del lancio dei tre dadi, considerando l'ordine ovvero come se lanciassimo un dado tre volte consecutive?
e se trascuriamo l'ordine ovvero se non distinguiamo, ad es., l'esito 123 dall'esito 231?
in quanti modi diversi posso ottenere somma 9 distinguendo l'ordine? |
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chegue17
Eroe
Registrato: 05/02/06 17:29
Messaggi: 73
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| Inviato: 02 Giu 2006 15:02 Oggetto: |
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ahh, combinatorio malefico... devo dare algebra 1 il 13 di luglio.. e naturalmente non so niente!!!!
ora ci penso |
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camicius
Mortale pio
Registrato: 29/12/05 20:46
Messaggi: 28
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| Inviato: 05 Giu 2006 12:36 Oggetto: |
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e se trascuriamo l'ordine ovvero se non distinguiamo, ad es., l'esito 123 dall'esito 231?
| Citazione: |
I risultati vanno da 3 a 18 e si possono così ottenere:
3-> 111
4-> 211
5-> 221, 311
6-> 321, 411
7-> 511, 421, 331, 322
8-> 611, 521, 431, 422, 332
9-> 621, 531 ,522, 441, 432, 333
10-> 631, 622, 532, 541, 442, 433
11-> 641, 632, 551, 542, 533, 443
12-> 651, 642, 633, 552, 543, 444
13-> 661, 652,643, 553, 544
14-> 662, 653, 644, 554
15-> 663, 654
16-> 655, 664
17-> 665
18-> 666
quindi( 1+1+2+2+4+5+6+6)*2=27*2=54
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se invece si distingue l'ordine
| Citazione: |
segno per ogni combinazione sopra il numero di modi possibili, ovvero per la combinazione del 4 211 si può ottenere in 3 modi (112, 121, 211), per la combinazione del 6 321, si può ottenere in 6 modi (321, 312, 213,231, 123,132). in ultima analisi ci sono combinazioni semplici (tre numeri uguali), triple (due numeri uguali e uno diverso) e sestuple (tutti diversi)
3-> 1
4-> 3
5-> 3, 3
6-> 6, 3
7-> 3, 6, 3, 3
8-> 3, 6, 6, 3, 3
9-> 6, 6 ,3, 3, 6, 1
10-> 6, 3, 6, 6, 3, 3
11-> 6, 6, 3, 6, 3, 3
12-> 6, 6, 3, 3, 6, 1
13-> 3, 6, 6, 3, 3
14-> 3, 6, 3, 3
15-> 3, 6
16-> 3, 3
17-> 3
18-> 1
6*20+3*32+4*1=220
Da notare la simmetria, che però non so da dove arriva, anche nel numero di combinazioni semplici, triple e sestuple. |
Spero di non avere sbagliato niente... |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 02:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 05 Giu 2006 20:33 Oggetto: |
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| camicius ha scritto: | Da notare la simmetria, che però non so da dove arriva, anche nel numero di combinazioni semplici, triple e sestuple.
Spero di non avere sbagliato niente... |
Purtroppo qualche errorino l'hai commesso!
Innanzi tutto hai trascurato due configurazioni (simmetriche): 15 = 5+5+5 e 6 = 2+2+2 non compaiono tra i casi da te contemplati.
Inoltre, nella seconda risposta, le configurazioni da te elencate sono 54 ma nella formula finale (6*20+3*32+4*1=220) hai "aggiunto" 2 configurazioni triple in più (nel tuo elenco ne compaiono 30 e non 32).
La simmetria può essere spiegata in vari modi basandosi sulla simmetria (analitica) dei coefficienti binomiali oppure sulla simmetria (geometrica) della matrice cubica contenente i risultati delle possibili somme dei tre valori.
Cercando una spiegazione "diretta" puoi osservare che la somma x e la somma 21-x si corrispondono.
Supponi di avere tre dadi costruiti come si deve (ovvero il 6 è contrapposto all'1, il 5 al 2 e il 3 al 4) allora se la somma x la ottieni leggendo le facce esposte (quelle "sopra"), la somma 21-x la ottieni leggendo le facce appoggiate al piano (quelle "sotto").
| Citazione: | Per calcolare i possibili esiti del lancio di 3 dadi distinguendo l'ordine basta usare la formula delle permutazioni con ripetizione (quella che si usa per le estrazioni con reimmissione) ottenendo un semplice 6^3=216.
Se al tuo elenco togli le due terne erroneamente aggiunte alla formula il risultato (220) scende a 214. Aggiungendo le due singole mancanti arriviamo al fatidico 216. |
Per calcolare i possibili esiti del lancio di 3 dadi senza distinguere l'ordine si può procedere per elencazione come hai fatto tu oppure
| Citazione: | bisogna considerare che ci sono tre tipi di esito: tre dadi distinti (xyz), due dadi uguali e uno diverso (xxy), tre dadi uguali (xxx).
Conviene contare separatamente gli esiti nei tre casi e poi sommare.
Caso (xxx): un solo numero tra sei estraibile in 6 modi
Caso (xxy): due numeri distinti tra sei, estraibili in 6*5=30 modi
Caso (xyz): tre numeri distinti tra sei, estraibili in (6,3)=(6*5*4)/(3*2)=20 modi
Totale 6+30+20=56 modi
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