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* QUIZ: Il circuito
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Autore Messaggio
ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 29 Gen 2007 23:00    Oggetto: * QUIZ: Il circuito Rispondi citando

Il proprietario di una pista ha un problema.
La pista è circolare e lunga esattamente 3100 metri.

Egli vorrebbe metterla a disposizione per disputare gare di lunghezza pari a un qualsiasi multiplo di 100 metri.

Inoltre vorrebbe attrezzarla con un impianto di telecamere a circuito chiuso che consenta di riprendere sia la partenza che l'arrivo di una gara.

Ogni telecamera può essere utilizzata sia per riprendere la partenza che l'arrivo.

Il suo problema, quindi è quello di posizionare lungo il circuito il minor numero possibile di telecamere che garantiscano la copertura di tutti i possibili percorsi multipli di 100 metri.

Ovviamente, il posizionamento di 31 telecamere, una ogni 100 metri, è una soluzione ma è la più dispendiosa.
A voi trovare quella più economica!

(p.s. evitate di risolvere anche questo in 6 minuti! deve durarvi sino a sabato!)


L'ultima modifica di ulisse il 23 Feb 2007 16:26, modificato 1 volta
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madvero
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.

MessaggioInviato: 30 Gen 2007 00:59    Oggetto: Rispondi citando

così, ad occhio e croce, in sei secondi netti e tanto per buttarla lì e sbagliarla...

Citazione:
21 telecamere.
1°telecamera, 100 metri, 2°telecamera, 200 metri, 3° telecamera, 100 metri, 4° telecamera, 200 metri, 5° telecamera... etc
tipo così:

l _ l _ _ l _ l _ _ l _ l _ l _ _ l _ l _ _ l _ l _ _ l _ l _ _ l _ l _ _ l _ l _ _
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Eugy
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MessaggioInviato: 30 Gen 2007 01:57    Oggetto: Rispondi citando

HMMM, ne bastano 16... ma magari si può fare anche meno...

Citazione:


Se metto le telecamere nei primi 1500 metri (e una nello "zero") copro automaticamente tutti i percorsi da 100 a 1500 m... e da 1600 a 3100 se parto nella direzione opposta, oppure banalmente, per esempio, se parti dai 1400 ho un circuito di 1700, se parti dai 1300 ho un circuito di 1800, e così via

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Salmastro
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MessaggioInviato: 30 Gen 2007 11:48    Oggetto: Rispondi citando

richiesta precisazioni:
il circuito è un cerchio in senso matematico? Cioè, ha una sola dimensione? Una circonferenza, insomma.
poi, "lungo il circuito" vuol dire che le telecamere devono stare sulla circonferenza o anche all'interno e/o all'esterno di essa?

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madvero
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.

MessaggioInviato: 30 Gen 2007 13:55    Oggetto: Rispondi citando

Eugy ha scritto:
HMMM, ne bastano 16... ma magari si può fare anche meno...


d'oh! d'oh! d'oh!

senso orario e antiorario!
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axlman
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 05:05    Oggetto: Rispondi citando

Meno di sette non ci riesco.Esiste più di una disposizione, ad esempio:

Citazione:
|???????|?????|?|??|?|??????????|?????

Spero si capisca, basta sommare opportunamente i mini-percorsi nelle varie combinazioni e naturalmente si puo correre indifferentemente in un verso o nell'altro


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Salmastro
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 12:00    Oggetto: Rispondi citando

mi sono scritto in chiaro quanto ci dice Axlman:

Citazione:
0; 1; 3; 4; 14; 19; 26


laddove esprimo tutto in ettometri (come Ax sottindende, comunque).
Non è precisamente la sua (è ruotata di un po') ma è quella che somiglia ad una che sta elaborando. Ma la curiosità uccide il gatto e mi fa diventare vagabondo...

Ciò detto, e verificato che la soluzione di Ax funziona, mi chiedo:
ma è l'unica, a parte rotazioni (a questo magari ci penso dopo)?
è la migliore? e, soprattutto, qual è il metodo per arrivare a una soluzione, per quanto possibile ottimale, con carta e penna?
Insomma, Axlman, dicci come hai fatto a "conquistare la pole"

Salmastro
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axlman
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 12:15    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Insomma, Axlman, dicci come hai fatto a "conquistare la pole"

Con il mio solito sistema, a tentativi. Sviluppata l'idea di base dei mini-percorsi ho provato le varie combinazioni ma senza seguire dei calcoli precisi, solo mettere i mini-percorsi più utili uno alla volta. E non è l'unica, almeno da sette: sempre a tentativi ne ho trovate un altro paio.

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ulisse
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 20:34    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
richiesta precisazioni:
il circuito è un cerchio in senso matematico? Cioè, ha una sola dimensione? Una circonferenza, insomma.
poi, "lungo il circuito" vuol dire che le telecamere devono stare sulla circonferenza o anche all'interno e/o all'esterno di essa?

Salmastro


Deciditi!
Un cerchio o una circonferenza? Very Happy
La circonferenza è una linea piana e il cerchio è la superficie (altrettanto piana) da essa racchiusa.

(sonora bacchettata!) Wink

Il circuito è una linea chiusa. Va bene qualunque forma, circolare, ellittica, sghemba. Non è influente ai fini del problema.

Ogni telecamera è in grado di visionare unicamente il punto in cui è posizionata.
Il quesito non nasconde trabocchetti del tipo se punto bene la telecamera riesco a vedere due zone distinte del circuito.

Tanto per togliere ogni dubbio ecco il quesito astratto:

Sia data una circonferenza circoscritta a un poligono regolare di 31 lati. Chiamiamo arco unitario quello sotteso tra due vertici contigui.
Individuare il minor numero di vertici che garantisca la presenza di tutti gli archi di lunghezza multipla dell'arco unitario.

Esiste una soluzione con meno di sette punti. (ottimo cmq il risultato di axlman!)
Esiste una soluzione che non richiede di girare un po' in un verso un po' nell'altro (se non erro in qualsiasi disciplina che preveda un circuito si gira solo in senso antiorario)
Esiste una soluzione che non ha ridondanze (nella soluzione di axlman il percorso da 100 metri compare 2 volte)
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axlman
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 20:40    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Esiste una soluzione con meno di sette punti. (ottimo cmq il risultato di axlman!)
Esiste una soluzione che non richiede di girare un po' in un verso un po' nell'altro (se non erro in qualsiasi disciplina che preveda un circuito si gira solo in senso antiorario)
Esiste una soluzione che non ha ridondanze (nella soluzione di axlman il percorso da 100 metri compare 2 volte)

Ehm? giusto per chiarezza: esiste una soluzione contenete tutte le caratteristiche che hai indicato contemporaneamente o esistono più soluzioni ognuna con una delle caratteristiche summenzionate?

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Salmastro
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 20:50    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:


Deciditi!
Un cerchio o una circonferenza? Very Happy
La circonferenza è una linea piana e il cerchio è la superficie (altrettanto piana) da essa racchiusa.

(sonora bacchettata!) Wink



Hai ragione: il mio mal riuscito tentativo letterario era di parlare, prima, nel linguaggio della "strada" (dicendo cerchio) e poi in uno più consono al forum (dicendo circonferenza, insomma)
Ma accetto la bacchettata!!

Fra parentesi, il "circuito" mi sembrava analogo a quella della bilancia a due braccia con un orefice(?) che deve poter pesare fino a tot (diciamo 31) grammi, usando il minor numero di pesini. Ma non è così.

Scusate la divagazione

Salmastro
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ulisse
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MessaggioInviato: 31 Gen 2007 22:55    Oggetto: Rispondi citando

Non è una divagazione!
L'analogia c'è eccome.
Anche qui dobbiamo riuscire a ottenere tutte le pesate con un numero minimo di pesini. Ma qui abbiamo un vincolo in più: i pesini devono essere ordinati in modo che tutte le possibili pesate siano ottenibili prendendo solo pesini contigui.
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Salmastro
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MessaggioInviato: 01 Feb 2007 00:12    Oggetto: ipotesi di lavoro Rispondi citando

dai discorsi di Ulisse si comprende che una soluzione è data da
Citazione:
6 telecamere poste nei punti (di metraggio crescente) A B C D E F e tali che le differenze fra due consecutivi di questi punti siano 1, 2, 3, 4,e 5: ma non necessariamente in questo ordine, anzi in un opportuno ordine


d'altra parte si rileva che se andando da A a B si percorre x
Citazione:
proseguendo nello stesso verso da B ad A si percorre una distanza pari a 31-x (in ettometri), per cui, ritengo basti risolvere il problema per distanze da zero (la gara di surplace! la vince Maspes!!) a 15, ottenendo le altre da 16 a 31 (il giro completo) per "complemento"


a questo punto si può certo pensare che, per quanto sopra
Citazione:
la prima telecamera sia posta a "zero" e l'ultima a 15 (in quanto somma delle differenze parziali

Il problema è dove mettere le altre quattro e ci penso domani che adesso è tardi...
Salmastro
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MessaggioInviato: 01 Feb 2007 00:32    Oggetto: Rispondi citando

L'impostazione per ridurre la complessità del problema è perfetta.
A occhio mi pare che le tue prime conclusioni siano altrettanto corrette.
Devo aspettare venerdì per averne certezza. Se è come penso hai pure avuto un'intuizione che non compare nel testo.

Domandina:
Citazione:
perché arrivi alla conclusione che le telecamere devono essere 6?
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MessaggioInviato: 01 Feb 2007 00:54    Oggetto: Re: ipotesi di lavoro Rispondi citando

Qualche soluzione in 6 (senza dubbio ottimale perchè non ha percorsi "doppi"):
Citazione:
0, 1, 4, 10, 12, 17
Oppure: 12, 18, 22, 27, 29, 30
Salmastro: purtroppo non esistono soluzioni con una telecamera in posizione 15 o 16...
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MessaggioInviato: 01 Feb 2007 01:00    Oggetto: Rispondi citando

axlman ha scritto:
ulisse ha scritto:
Esiste una soluzione con meno di sette punti. (ottimo cmq il risultato di axlman!)
Esiste una soluzione che non richiede di girare un po' in un verso un po' nell'altro (se non erro in qualsiasi disciplina che preveda un circuito si gira solo in senso antiorario)
Esiste una soluzione che non ha ridondanze (nella soluzione di axlman il percorso da 100 metri compare 2 volte)

Ehm? giusto per chiarezza: esiste una soluzione contenete tutte le caratteristiche che hai indicato contemporaneamente o esistono più soluzioni ognuna con una delle caratteristiche summenzionate?

8)


Ironia della sorte ce ne sono 310... Coincidenza? Direi di sì a occhio e croce.
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MessaggioInviato: 01 Feb 2007 09:34    Oggetto: Re: ipotesi di lavoro Rispondi citando

salmastro ha scritto:
dai discorsi di Ulisse si comprende che una soluzione è data da
Citazione:
6 telecamere poste nei punti (di metraggio crescente) A B C D E F e tali che le differenze fra due consecutivi di questi punti siano 1, 2, 3, 4,e 5: ma non necessariamente in questo ordine, anzi in un opportuno ordine



La distanza 3 potrebbe essere ottenuta dalle distanze 1 e 2 vicine, quindi non è detto.
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MessaggioInviato: 01 Feb 2007 09:41    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
L'impostazione per ridurre la complessità del problema è perfetta.
A occhio mi pare che le tue prime conclusioni siano altrettanto corrette.
Devo aspettare venerdì per averne certezza. Se è come penso hai pure avuto un'intuizione che non compare nel testo.

Domandina:
Citazione:
perché arrivi alla conclusione che le telecamere devono essere 6?


Citazione:
Perchè sicuramente tre telecamere devono avere distanza 1 e 2 (comprendo anche quella di partenza) per coprire le distanze 1, 2 e 3. Un'altra deve essere a distanza 4 e con questa si coprono le distanze 5, 6 e 7, un'altra a 8 e si arriva a 15. Impossibile arrivare a 31 con 5. Tu hai detto che c'è una soluzione inferiore a sette e quindi è presto fatto: servono sei telecamere.
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ulisse
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MessaggioInviato: 02 Feb 2007 20:40    Oggetto: Rispondi citando

axlman ha scritto:
ulisse ha scritto:
Esiste una soluzione con meno di sette punti. (ottimo cmq il risultato di axlman!)
Esiste una soluzione che non richiede di girare un po' in un verso un po' nell'altro (se non erro in qualsiasi disciplina che preveda un circuito si gira solo in senso antiorario)
Esiste una soluzione che non ha ridondanze (nella soluzione di axlman il percorso da 100 metri compare 2 volte)

Ehm? giusto per chiarezza: esiste una soluzione contenete tutte le caratteristiche che hai indicato contemporaneamente o esistono più soluzioni ognuna con una delle caratteristiche summenzionate?

8)

Scusa se rispondo solo ora ma il tuo post era l'ultimo della pagina precedente e mi era sfuggito... Embarassed

Una soluzione con tutte le caratteristiche.
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ulisse
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MessaggioInviato: 02 Feb 2007 20:52    Oggetto: Rispondi

Taifu ha scritto:
ulisse ha scritto:
Domandina:
Citazione:
perché arrivi alla conclusione che le telecamere devono essere 6?


Citazione:
Perchè sicuramente tre telecamere devono avere distanza 1 e 2 (comprendo anche quella di partenza) per coprire le distanze 1, 2 e 3. Un'altra deve essere a distanza 4 e con questa si coprono le distanze 5, 6 e 7, un'altra a 8 e si arriva a 15. Impossibile arrivare a 31 con 5. Tu hai detto che c'è una soluzione inferiore a sette e quindi è presto fatto: servono sei telecamere.


Citazione:
In effetti unendo due punti in tutti i modi possibili tra sei si ottengono 30 circuiti ai quali va aggiunto il 31esimo circuito corrispondente a un giro completo che parte e arriva nel medesimo punto. Quindi con meno di 6 telecamere non è possibile coprire tutte le possibilità. Con 7 o più telecamere si hanno quindi ridondanze. Essendo pignoli la ridondanza dei circuiti costituiti da n giri completi non può essere eliminata.
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