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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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 Inviato: 03 Feb 2006 14:05 Oggetto: |
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Esatto! Infatti hai risposto alla prima parte del quesito!
Ora sorgono le complicazioni perchè, per la seconda domanda, la risposta 2^infinito=infinito non specifica con che tipo di infinito abbiamo a che fare: numerabile o non numerabile? |
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madvero
Amministratore
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 03 Feb 2006 22:32 Oggetto: |
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so mezza risposta:
| Citazione: | gli infiniti si misurano in base alla cardinalità: se la cardinalità è uguale a quella dell'insieme N, sono infiniti numerabili, se è superiore non lo sono.
sono assolutamente sicura di aver dimenticato una parte importante e sebbene mi ricordi che la cardinalità di un insieme si indica con card(A), non mi ricordo esattamente il concetto di cardinalità !!!
senza ricordare il concetto, non sono in grado di calcolare la cardinalità di N, perciò non posso paragonarla alla cardinalità di altri insiemi. |
forza uli, caccia il prossimo aiutino per riuscire a ricordare il concetto che mi manca e che ho spoilerato. |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 04 Feb 2006 20:41 Oggetto: |
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La cardinalità è una semplice definizione, per la precisione quella fornita in apertura del topic: la cardinalità di un insieme non è altro che il numero dei suoi elementi.
Ad esempio la cardinalità dell'insieme delle dita della mia mano destra è 5.
Genericamente potrei dire che è numerabile finita.
Numerabile perchè le dita possono essere contate, finita perchè se inizio a contarle, prima o poi finisco (a meno che non schiatti nel frattempo).
Mentre la cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è ancora numerabile ma infinita. Posso contarli ma non potrò mai portare a compimento il conteggio.
Detto ciò ecco l'aiutino.
| Citazione: | Osserva come abbiamo proceduto per contare i sottoinsiemi di A nel caso la cardinalità di A sia finita.
Abbiamo dovuto cercare un isomorfismo (sostanzialmente significa un'analogia anche se molto più rigorosa e forte) tra P(A) e le stringhe binarie di lunghezza n dopodichè abbiamo contato le seconde certi che, grazie all'isomorfismo, queste sono tante quanti i sottoinsiemi di A.
Ora però le cose si complicano. Infatti se A ha una infinità numerabile di elementi allora anche le stringhe binarie hanno lunghezza infinita e il calcolo 2^n ora diventa 2^infinito che non sappiamo "quantificare".
Occorre un altro isomorfismo!
Ovvero dobbiamo trovare un insieme che sappiamo quanti elementi contiene e che sia isomorfo all'insieme delle successioni (binarie) infinite.
Cosa ti fa ricordare una successione infinita di numeri preceduti da uno zero e una virgola ovvero una roba del tipo 0,010010111010110.... ? |
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madvero
Amministratore
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| Inviato: 06 Feb 2006 22:20 Oggetto: |
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...
passo !!! |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 07 Feb 2006 12:57 Oggetto: |
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Ecco gli ultimi passaggi della soluzione:
| Citazione: | I numeri decimali, Mad!
Ovvero i numeri reali compresi tra 0 e 1 che noi, comunemente, chiamiamo numeri decimali perchè rappresentabili con "0," seguito da una successione infinita di cifre da 0 a 9.
I numeri razionali, quelli che hanno solo un numero finito di cifre dopo la virgola, possono comunque essere rappresentati da una successione infinita nella quale, da un certo posto in poi, ci sono solo degli 0.
Passando a notazione binaria non cambia nulla se non che le successioni saranno composte solo dalle due cifre 0 e 1.
E' possibile dimostrare che ogni numero decimale è rappresentabile come successione infinita di cifre dopo la virgola (sostanzialmente lo abbiamo appena fatto mettendo a posto anche i numeri razionali) e che ad ogni successione infinita di cifre corrisponde un numero decimale (è praticamente la definizione di numero decimale). Così facendo abbiamo dimostrato che le successioni infinite sono tante quanti i numeri reali dell'intervallo [0;1]. (In realtà manca ancora una quisquilia ma non voglio appesantire una spiegazione già pesante).
Quanti sono tali numeri? Dall'analisi sappiamo che ogni intervallo di R gode della potenza del continuo ovvero che contiene un'infinità non numerabile di elementi.
Quindi se A ha cardinalità infinita numerabile, P(A) ha cardinalità infinita non numerabile. |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 14:35
Messaggi: 6382
Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 09 Feb 2006 22:18 Oggetto: |
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In analisi 2 ho preso un tiratissimo 22 millant'anni fa... 
Il ripassino è servito, ma...
| ulisse ha scritto: | Detto ciò ecco l'aiutino.
| Citazione: | | Cosa ti fa ricordare una successione infinita di numeri preceduti da uno zero e una virgola ovvero una roba del tipo 0,010010111010110.... ? |
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| Citazione: | Quindi, se non ho capito male, l'insieme delle stringhe binarie di lunghezza infinita altri non è che un sottoinsieme dell'insieme infinito non numerabile [0;1], mentre un qualsiasi sottoinsieme ha cardinalità < della cardinalità dell'insieme di partenza, ma scrivere x<infinito non ha molto senso, inquanto x appartiene comunque all'insieme [0;infinito)
Dopo il riassunto, mi verrebbe da dire che la cardinalità di un insieme infinito numerabile è proprio un infinito non numerabile. |
Qualcuno mi spiega che cosa ho appena detto?  |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 19 Feb 2006 16:56 Oggetto: |
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[quote="Benny"] | Citazione: | | Quindi, se non ho capito male, l'insieme delle stringhe binarie di lunghezza infinita altri non è che un sottoinsieme dell'insieme infinito non numerabile [0;1] |
No, non è un sottoinsieme di [0,1] ma è proprio [0,1].
Infatti ogni numero di [0,1] può essere espresso in forma decimale ovvero come successione infinita di cifre dopo la virgola.
E viceversa ogni successione etc etc è un ben preciso numero decimale.
| Citazione: | | un qualsiasi sottoinsieme ha cardinalità < della cardinalità dell'insieme di partenza |
Anche questo non è corretto. Riguardando il quiz dell'albergo celeste ne hai subito un esempio: i numeri interi sono tanti quanti il suo sottinsieme dei numeri pari.
L'avere almeno un sottoinsieme che ha la stessa cardinalità dell'insieme di partenza è una caratteristica propria degli insiemi infiniti (numerabili o meno che sia).
Tanto che un modo per definire gli insiemi a cardinalità infinita è proprio questo: un insieme ha cardinalità infinita se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
| Citazione: | | Dopo il riassunto, mi verrebbe da dire che la cardinalità di un insieme infinito numerabile è proprio un infinito non numerabile. |
Questo, invece è corretto. |
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