Olimpo Informatico

[ulisse]

@Mari: giusto ma i nuovi clienti non sono "solo" n ma molti di più.
Il ragionamento comunque è corretto e estendibile al caso n -> /infty (enne che tende all'infinito).

@ tutti i nuovi: benvenuti!

@tpiccioli: se le stanze hanno tutte la medesima dimensione finita basta solo avere infiniti piani con ognuno un numero finito di stanze oppure un solo piano con infinite stanze.

Ma poichè abbiamo già rotto l'imene di "madama impossible" immaginando un albergo con infinite stanze, potremmo pure immaginare un albergo in cui una stanza è grande la metà della stanza precedente.
Avremmo così un bell'albergo compatto (cioè in cui l'insieme delle stanze è chiuso e limitato ma infinito) che occupa lo spazio di in un bilocale!

[ernesto]

[tpiccioli]

[ulisse]

[Emmett Brown]

ehm... Prof, ha dimenticato il mio voto!

[madvero]

[madvero]

scherzi a parte, provo a scioglierti qualche dubbio con quel poco che so.
tanto poi passa uli e ci schiaffa entrambi dietro alla lavagna con le orecchie d'asino.

[Jenga]

[madvero]

[ulisse]

Ehm... Ehmmet...
non ti avevo dimenticato... ti avevo graziato!

Dunque... mi tocca parlare dell'infinito cioè di qualcosa che non esiste se non nella nostra mente...

Mi tocca parlare di qualcosa intorno alla quale hanno discusso per migliaia di anni i più importanti filosofi, scienziati e ciarlatani del mondo.
Vorrei evitare di finire anch'io tra i ciarlatani ma a domanda mi tocca rispondere.

Cercherò di dire il meno possibile con la scusa che esiste una considerevole bibliografia a riguardo ma in realtà meno dico e meno sciocchezze sparo!

Chi volesse approfondire i legami tra l'infinito matematico e quelli filosofico e religioso può ad esempio leggere "Il Vangelo secondo la Scienza" di Piergiorgio Odifreddi. Oppure "Zero" di Robert Kaplan.

E così taglio fuori ogni intervento sul formarsi del concetto di infinito nella nostra mente.

Matematicamente parlando, l'infinito è uno, nessuno, centomila.
Infatti in alcuni casi l'infinito non viene trattato come numero e quindi dai numeri viene escluso (l'infinito non appartiene all'insieme R dei numeri reali ma appartiene all'insieme esteso dei numeri reali - esteso, appunto, aggiundendo ad essi proprio l'infinito -)
Mentre in altri casi, quando si parla di cardinalità (numero di elementi) di un insieme, addirittura si deve distinguere tra infinito e infinito.

Ad esempio c'è un tipo di infinito che si chiama numerabile ovvero che può essere contato.

Serve la definizione di numerabile ovvero una spiegazione di cosa si intenda per "contare gli elementi di un insieme".
I matematici adorano formalizzare i concetti rendendo così di difficile comprensione ciò che prima ci sembrava chiaro e semplice.

Contare vuol dire poter prendere gli oggetti di un insieme, metterli in fila e iniziare a dire "uno, due, tre, quattro,...".
Un matematico invece direbbe "posso mettere gli oggetti in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali (o con un suo sottoinsieme finito)".

Numerabile vuol dire quindi che può essere contato.

Notare che nell'esempio di conteggio ho lasciato dei puntini di sospensione dopo il quattro.
Per i matematici poco importa se il conteggio avrà termine oppure no. L'importante è che l'insieme di oggetti da contare possa essere ordinato come le bricioline di Pollicino in modo che chi esegue il conteggio possa raccogliere una briciolina e dire contemporaneamente un numero che rappresenti tutte e sole le bricioline sinora raccolte senza lasciarne indietro nessuna.

L'insieme dei numeri naturali ad esempio gode di questa proprietà: per quanto infinito, i suoi elementi possono essere contati. L'insieme dei numeri naturali è infinito numerabile.

Anche l'insieme dei numeri razionali (le frazioni, tanto per intenderci) è numerabile. Grazie a un trucchetto escogitato da Cantor è stato infatti possibile mettere i razionali in corrispondenza biunivoca con i naturali (i razionali sono tanti quanti gli nteri!).

Ma esistono altre forme di infinito chiamato casualmente non numerabile.
I numeri reali, ad esempio, sono tanti, molti più dei naturali. Anch'essi infiniti, ma questa volta non possono essere contati.

Non esiste infatti alcun modo di ordinare i numeri reali per poterli contare: qualunque sia il primo numero che decidiamo di contare dicendo a gran voce "uno!" avremo l'amara scoperta che ne abbiamo già lasciati indietro troppi (tra due numeri reali ce ne sono sempre infiniti compresi).

Mi fermo qui perchè l'argomento infinito è infinitamente vasto.
Aggiungo solo una piccola curiosità.
Dato un insieme non vuoto è sempre possibile ottenere da esso dei sottoinsiemi ovvero degli insiemi più piccoli costituiti solo da una parte dell'insieme di partenza.
L'insieme di tali sottoinsiemi si chiama insieme delle parti.
Quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme finito?
E quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme infinito numerabile?

Forse proprio un'infinità non numerabile?
Restate con noi e lo scoprirete nella prossima puntata di "Macheccefrega?"

[Jenga]

[orangefield]

Anch'io non vedo l'ora!
E' proprio bello sentirsi così ignoranti e star bene lo stesso

E' stato un piacere, ne facciamo un'altra?

A presto,
orangefield

[ulisse]

[ulisse]