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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 14 Gen 2006 23:13 Oggetto: * QUIZ: Il problema del merciaio |
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Un problema di equiscomposizione molto difficile. Per il concetto di equiscomposizione vedi ad es. Gli Elementi di Euclide.
Risolto per la prima volta da Henry Dudeney nel 1907.
Tagliate un triangolo equilatero in quattro parti in modo che possano essere riunite a formare un quadrato.
L'ultima modifica di ulisse il 24 Gen 2006 18:54, modificato 1 volta |
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GrayWolf Dio maturo
Registrato: 03/07/05 16:24 Messaggi: 2325 Residenza: ... come frontiera i confini del mondo...
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Inviato: 14 Gen 2006 23:28 Oggetto: |
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Per prima tracci l'altezza dal vertice a metà della base e poi fai altrettanto con i due triangoli che si sono venuti a creare.
Ho provato a fare il disegno ma mi sono incartato con le misure ed ho preferiso spiegarlo. |
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GrayWolf Dio maturo
Registrato: 03/07/05 16:24 Messaggi: 2325 Residenza: ... come frontiera i confini del mondo...
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Inviato: 14 Gen 2006 23:31 Oggetto: |
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umpf (la gata in fuga la fa i gatin sguerc)
errata corrige
dove: preferiso
leggi: preferito |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 14 Gen 2006 23:44 Oggetto: |
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GrayWolf ha scritto: | Per prima tracci l'altezza dal vertice a metà della base e poi fai altrettanto con i due triangoli che si sono venuti a creare. |
Seeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
Il triangolo originale è equilatero.
Dopo il primo taglio lungo l'altezza ottieni due triangoli rettangoli che non si sognano nemmeno lontanamente di essere anche isosceli. Dunque i due successivi tagli dividono il triangolo originale in quattro triangoli uguali a due a due che puoi rigirare come vuoi ma non daranno mai un quadrato.
Il tuo procedimento sarebbe corretto se il triangolo inizial fosse un "mezzo quadrato".
p.s.: le soluzioni meglio spoilerarle nel caso remoto ti capitasse di azzeccarne una!
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 16 Gen 2006 16:47 Oggetto: |
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Difficile questo eh?
Un microscopico aiutino.
I tagli sono tre e devono garantire la "comparsa" di quattro angoli retti (altrimenti che quadrato è?)
Ciò potrebbe far pensare che due dei tre tagli debbano essere perpendicolari al terzo... pensereste correttamente!
Edit: corretto "paralleli" in "perpendicolari"... scusate l'errore!
L'ultima modifica di ulisse il 18 Gen 2006 18:32, modificato 1 volta |
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Eugy Eroe
Registrato: 15/01/06 01:27 Messaggi: 65
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Inviato: 17 Gen 2006 16:05 Oggetto: Hmmm |
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La prima cosa che credo io, è che si debbano avere un po' di quadrilateri, ovvero che tre figure, che ancora nn conosco, si chiudano in qualche modo attorno ad un quadrilatero, e non "regolarissimo".
Questo a causa del rapporto tra lato del triangolo e lato del quadrato, che non è certo dei più felici.... essendo la radice della metà del seno di 60° ...
E perchè facendo una prova di sovrapposizione del quadrato col triangolo... si nota che una via semplice non c'è ... |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 17 Gen 2006 16:44 Oggetto: |
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e io che impazzivo...
stavolta per niente: non avevo letto "equilatero" !!!
adesso la casistica si semplifica di brutto... |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 17 Gen 2006 19:31 Oggetto: |
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forse ci sono (ho scarabocchiato un pezzo di carta stagnola delle sigarette mentre tornavo a casa sul tram)...
prima ceno, poi verifico di non aver fatto ragionamenti partendo da presupposti sbagliati, poi posto la mia soluzione (che magari è una baggianata).
naturalmente scannerizzo la carta stagnola !!! |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 17 Gen 2006 22:05 Oggetto: |
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per adesso posto la mia intuizione (ovvero la carta stagnola scarabocchiata) ma appena trovo un compasso posto un disegno fatto a regola d'arte da cui si evinca
Citazione: | (grazie alla similitudine fra i triangoli e grazie al fatto che i triangoli rettangoli costruiti all'interno di un triangolo equilatero hanno tutti gli angoli di 30, 60 e 90 gradi) | che la mia intuizione è corretta.
non ho manco presente cosa sia l'equiscomposizione.
faccio una domanda che mi autosqualifica, se la risposta è negativa.
Citazione: | le quattro parti in cui suddivido il triangolo possono subire solo translazioni o anche rototranslazioni o come piffero si diceva? (tabula rasa degli esami di analisi che ho dato) ovvero posso cappottare qualche pezzo? |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 18 Gen 2006 01:29 Oggetto: |
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in effetti non volevo postare, però... a onor del vero, la mia intuizione non vale un cent bucato.
ho trovato il compasso (ma non il righello) e ci ho messo un minuto a fare la costruzione che avevo in mente...
peccato che dal mio quadrato finale manchi l'area del rettangolo colorato in grigio chiaro !!!
ma com'è che dai miei disegni spariscono sempre dei quadratini? |
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Eugy Eroe
Registrato: 15/01/06 01:27 Messaggi: 65
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Inviato: 18 Gen 2006 09:38 Oggetto: |
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madvero ha scritto: | in effetti non volevo postare, però... a onor del vero, la mia intuizione non vale un cent bucato.
ho trovato il compasso (ma non il righello) e ci ho messo un minuto a fare la costruzione che avevo in mente...
peccato che dal mio quadrato finale manchi l'area del rettangolo colorato in grigio chiaro !!!
ma com'è che dai miei disegni spariscono sempre dei quadratini? |
Potresti provare a inclinare le linee interne, in modo che non siano parallele o perpendicolari ad alcun lato del triangolo.
Io so che il rapporto tra lato del quadrato e quello del triangolo è
Citazione: | radice del (seno di 60°/2), insomma circa 0.65 ...
Ho una mezza idea che uno dei quadrilateri che ti vengono debba essere una specie di rombo |
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Emmett Brown Dio maturo
Registrato: 28/09/05 00:41 Messaggi: 1295
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Inviato: 18 Gen 2006 10:47 Oggetto: |
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ulisse ha scritto: |
Un microscopico aiutino.
I tagli sono tre e devono garantire la "comparsa" di quattro angoli retti (altrimenti che quadrato è?)
Ciò potrebbe far pensare che due dei tre tagli debbano essere paralleli al terzo... pensereste correttamente! |
Scusa, forse non ho capito. Se dici che 'due dei tre tagli sono paralleli al terzo', io capisco che sono tutti e tre paralleli tra loro. Era questo che volevi suggerire? |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 18 Gen 2006 18:28 Oggetto: |
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Porc... mi ero accorto dell'errore e poi, non so né quando né come, mi sono dimenticato di correggerlo.
No, no... intendevo perpendicolari.
In buona sostanza i tagli devono essere disposti come quelli di Mad (nella soluzione che conosco io ma ce ne sono certamente altre.
Quella che conosco ha un particolare molto elegante: individuando un vertice comune per ognuna delle tre coppie di pezzi (il primo pezzo col secondo, il secondo col terzo, il terzo col quarto) è possibile passare da una forma all'altra senza mai separare tali coppie di vertici.
Ora faccio qualche prova ma così, a occhio, Mad sei molto vicina alla soluzione.
Io punterei su un particolare: così come i tagli devono garantire che nel triangolo compaiano quattro angoli retti, nel quadrato devono garantire la comparsa di tre angoli da 60° ...
(e non è detto che sia inutile provare a fare il contrario ovvero tagliare un quadrato in modo che i pezzi possano costituire un triangolo equilatero).
L'uso di riga e compasso è corretto (con questi mezzi, almeno, è stato risolto originariamente).
L'equiscomposizione è una particolare equivalenza tra poligoni: due poligoni si dicono equiscomponibili se entrambi possono essere ottenuti a partire dagli stessi pezzi (come nel gioco del tangram). |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 18 Gen 2006 19:23 Oggetto: |
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allora la mia intuizione era buona?
piffero magico, che soddisfazione !!!
io l'errore nel tuo suggerimento non l'avevo notato... (sarà che non ho letto i post successivi a quello contenente l'enigma?)
credo che nel mio disegno tutti gli angoli siano complementari o supplementari...
ammetto che mi sono incartata perchè mi sono fissata sul fatto che vorrei trovare geometricamente un segmento che sia multiplo di (radice quarta di tre) fratto due (ma dove stanno i simboli matematici sulla tastiera?).
la mia domanda sull'equiscomposizione era mal posta: io chiedevo se era contemplata la rototranslazione di un pezzo (si dice "rototranslazione"?).
ovvero, partendo dalla mia figura, il trapezio più grande è "ribaltato"... non so come dire... i due trapezi, dopo le opportune translazioni, sono congruenti specularmente... (spero di essere riuscita a farmi capire.)
è consentito? |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 18 Gen 2006 20:22 Oggetto: |
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madvero ha scritto: | mi sono fissata sul fatto che vorrei trovare geometricamente un segmento che sia multiplo di (radice quarta di tre) fratto due |
Interessante... il quesito è stato elevato al rango di quiz!
madvero ha scritto: | la mia domanda sull'equiscomposizione era mal posta: io chiedevo se era contemplata la rototranslazione di un pezzo (si dice "rototranslazione"?).
ovvero, partendo dalla mia figura, il trapezio più grande è "ribaltato"... non so come dire... i due trapezi, dopo le opportune translazioni, sono congruenti specularmente... (spero di essere riuscita a farmi capire.)
è consentito? |
Dunque.
La rototraslazione piana è un movimento rigido sul piano (ovvero sposta una figura senza deformarla) composto da una rotazione e da una traslazione.
Quello di cui parli tu è la simmetria assiale (o riflessione) e prende una figura e la ribalta intorno ad una retta. Dopo una riflessione la figura, però, è ribaltata sottosopra e per tale motivo non può essere considerata un moto rigido piano (il movimento deve avvenire nello spazio).
Al di là delle definizioni, Euclide non contempla i movimenti rigidi (anche se poi li usa di nascosto).
Una volta individuati i tagli corretti, la ricomposizione del quadrato a partire dal triangolo equilatero avviene unicamente tramite tre rotazioni intorno ad altrettanti vertici dei pezzi... |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 18 Gen 2006 21:47 Oggetto: |
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ulisse ha scritto: | Una volta individuati i tagli corretti, la ricomposizione del quadrato a partire dal triangolo equilatero avviene unicamente tramite tre rotazioni intorno ad altrettanti vertici dei pezzi... |
vedi che avevo ragione a pensare di essere assolutamente fuori strada?
appena ho un attimo libero, ci rifletto e riparto da zero.
ulisse ha scritto: | Interessante... il quesito è stato elevato al rango di quiz! |
questa non l'ho capita. |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 19 Gen 2006 00:51 Oggetto: |
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non trovo a colpo d'occhio (radice quarta di tre) fratto due, perciò ho deciso di generarlo da me.
il quesito richiede solo il risultato, non la dimostrazione !!!
perciò, io mi limito a postare il triangolo scomposto nelle sue quattro parti e relativa procedura che mi ha permesso di arrivarci.
il tutto in questa delirante immagine (continuo a non trovare le radici sulla tastiera, non è che qualcuno si abbassa a dirmi come si fa?)
adesso tocca ad ulisse fornire la dimostrazione geometricamente corretta. |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 19 Gen 2006 16:20 Oggetto: |
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madvero ha scritto: | ulisse ha scritto: | Interessante... il quesito è stato elevato al rango di quiz! | questa non l'ho capita. | Scusa, sono stato troppo ermetico. Intendevo dire che ho preso la tua domanda e ne ho fatto un QUIZ. |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 19 Gen 2006 21:39 Oggetto: |
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glissare abilmente non è consentito: se la mia soluzione empirica è corretta (sembra tale perchè funziona) tocca a te DIMOSTRARMI come trovare geometricamente (radice quarta di tre)/2 !!!
sotto con la dimostrazione, avanti !!! |
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