| Precedente :: Successivo |
| Autore |
Messaggio |
ZapoTeX
Dio maturo
Registrato: 04/06/04 16:18
Messaggi: 2627
Residenza: Universo conosciuto
|
 Inviato: 06 Gen 2006 00:08 Oggetto: * QUIZ: Punti e cerchioloni (difficile) |
 |
|
Consideriamo 500 punti su una circonferenza e 1000 punti interni del cinquecentagono da essi individuato (non dico messi come perché è irrilevante. Sono punti DISTINTI nelle posizioni che pare a me e non ve le dico). Ora congiungiamoli con dei segmenti avendo cura che:
1) I segmenti non si incrocino: gli unici punti di contatto devono essere i 1500 punti citati
2) Siano tracciati TUTTI i segmenti che si possono tracciare rispettando la regola 1
Visto che sono buono vi dico: le figure che si formano sono tutti triangoli. Domanda: quanti sono? Domanda supplementare: avrei potuto dire 1500 punti senza dire altro e senza tirare in ballo la circonferenza e il cinquecentagono???
Sbizzarritevi boys! |
|
| Top |
|
 |
emilio.roda
Dio maturo
Registrato: 03/05/05 09:49
Messaggi: 3028
|
| Inviato: 06 Gen 2006 02:12 Oggetto: |
|
|
Proviamo a rispondere almeno alla prima domanda
| Citazione: | Come al solito, generalizziamo il problema. Ho n punti sulla circonferenza e 2*n punti interni.
Se voglio arrivare alla soluzione, devo procedere con un metodo ben preciso.
A partire da ciascun vertice del n-angolo (nell'esempio e' un "cinquecentangolo") traccio due segmenti verso due punti (se sono vicini riesce meglio), avendo cura di usare ciascun punto una volta sola. Ho quindi formato n triangoli. Siano i vertici di questi triangoli sono Ai (sulla cirdonferenza), Bi e Ci, con i che va da 1 a n.
Ora traccio n segmenti unendo i punti Bi e C(i+1), con i che va da 1 a n, fino al segmento che unisce B(n-1) con Cn.
Ho individuato quindi una figura irregolare con 2*n lati, che chiameremo "due-enn-angolo" (nell'esempio, un "millangolo").
Unisco i punti restanti a piacere, formando dei triangoli, senza mai far incrociare due segmenti.
Noto che:
1) all'interno del "due-enn-angolo", i triangoli sono sempre in numero n*2-2
2) all'esterno del "due-enn-angolo", i triangoli sono sempre in numero n*3.
Nel caso di n=500, avro' quindi un numero di triangoli totale pari a (500*2-2) + (500*3) = 998 + 1500 = 2498.
Anche qui, ho provato con carta e penna, e fino a n=5 funziona tutto  |
|
|
| Top |
|
|
madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
Messaggi: 19480
Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
|
| Inviato: 06 Gen 2006 02:25 Oggetto: |
|
|
| emilio.roda ha scritto: | Proviamo a rispondere almeno alla prima domanda.
|
no che non ci devi provare !!!
uffa, mi fai giocare sì o no?
sto leggendo tutti i quiz ad uno ad uno e sotto c'è già la tua soluzione !!!
(ovvero: mi brucia da morire il non essere riuscita a batterti sul tempo  ) |
|
| Top |
|
|
emilio.roda
Dio maturo
Registrato: 03/05/05 09:49
Messaggi: 3028
|
| Inviato: 06 Gen 2006 02:35 Oggetto: |
|
|
Risposta alla seconda domanda: | Citazione: | No.
Se i punti sono tutti all'interno dell'n-agono inscritto al cerchio, avro' un certo numero di triangoli; se alcuni cadono al suo esterno, avro' un numero differente di triangoli.
Sono sulla buona strada ma non la so dimostrare... |
| madvero ha scritto: | no che non ci devi provare !!!
uffa, mi fai giocare sì o no? |
E tu non la leggere la soluzione! E' in bianco! Magari e' sbagliata... |
|
| Top |
|
|
madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
Messaggi: 19480
Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
|
| Inviato: 06 Gen 2006 02:43 Oggetto: |
|
|
eh, ma io volevo risolvere qualche enigma per prima !!!
ho fatto in tempo solo col quesito sugli scacchi (anche se c'è chi cerca di smontare la mia teoria...) |
|
| Top |
|
|
ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
|
| Inviato: 06 Gen 2006 03:11 Oggetto: |
|
|
| come fate a pensare alle tre di notte??? |
|
| Top |
|
|
madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
Messaggi: 19480
Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
|
| Inviato: 06 Gen 2006 03:14 Oggetto: |
|
|
| ovvio: finalmente la mia caldaia ha ripreso a funzionare, i neuroni si stanno scongelando, le sinapsi escono dall'ibernazione... |
|
| Top |
|
|
emilio.roda
Dio maturo
Registrato: 03/05/05 09:49
Messaggi: 3028
|
| Inviato: 06 Gen 2006 03:17 Oggetto: |
|
|
| Ulisse ha scritto: | | come fate a pensare alle tre di notte??? |
di giorno il forum e' troppo lento :'-( |
|
| Top |
|
|
ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
|
| Inviato: 06 Gen 2006 04:18 Oggetto: |
|
|
Io rispondo prima alla domanda supplementare che è più facile:
| Citazione: | no, senza il 500agono non è la stessa cosa. Controesempio: se non ho vincoli nel posizionamento dei primi 500 punti posso mettere tutti e 1500 i punti su una retta e di triangoli non degeneri non ne compare più nemmeno uno!
Avere 500 punti su una circonferenza (non necessariamente disposti regolarmente) mi serve per garantire che se anche gli altri 1000 sono allineati (ad esempio su un diametro) i triangoli che posso formare NON sono degeneri.
Ad ogni modo il vincolo del poligono regolare è eccessivo. Basta infatti che il poligono di partenza sia convesso. Dopodichè basta acchiappare la formuletta che dati n punti non tutti allineati mi conta i segmenti e i triangoli che si formano. |
|
|
| Top |
|
|
ZapoTeX
Dio maturo
Registrato: 04/06/04 16:18
Messaggi: 2627
Residenza: Universo conosciuto
|
| Inviato: 06 Gen 2006 11:25 Oggetto: |
|
|
Bravi bravi!!!
Avete tirato fuori il numerino giusto e la risposta alla seconda domanda, ma la dimostrazione di Emilio, oltre ad essere troppo lunga e macchinosa per i gusti di un matematico, fa riferimento ad una specfica configurazione, dunque non dimostra che è SEMPRE vero, come invece è!
Dunque ci sono due strade: una è dimostrare che la configurazione è irrilevante, l'altra è trovare una dimostrazione che non risenta della configurazione!
Provate a vedere la cosa da un altro ANGOLO! E onore all'inventore del giochino, il prof. Clemente Zanco.
Ciao! |
|
| Top |
|
|
ZapoTeX
Dio maturo
Registrato: 04/06/04 16:18
Messaggi: 2627
Residenza: Universo conosciuto
|
| Inviato: 08 Gen 2006 19:21 Oggetto: |
 |
|
Soluzione dell'inventore del giochino:
| Citazione: | Un poligono di 500 lati regolare o no (basta che sia convesso) ha somma degli angoli interni pari 498 * 180°. Ognuno degli angoli interni del poligono coinciderà con uno degli angoli dei triangoli formati o sarà somma di più di essi.
Ora, ho 1000 punti dentro. Attorno ad ognuno di questi ci sarà un angolo giro e sarà diviso tra i vari triangoli che hanno uno dei vertici in quel punto. Dunque la somma totale degli angoli dei triangoli formati è:
1000 * 360° +498 * 180°. Dunque, essendo la somma degli angoli interni di un triangolo pari a 180°, i triangoli sono sempre e comunque 2498. |
Ciao!
Edit by Ulisse: memento spoiler! |
|
| Top |
|
|
|
FAQ
Cerca
Lista utenti
Gruppi
Registrati
Profilo
Messaggi privati
Log in
