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* QUIZ: Il cacciatore e l'orso
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ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 08 Dic 2005 20:37    Oggetto: * QUIZ: Il cacciatore e l'orso Rispondi citando

Bene. Siamo partiti!
Per aprire questo nuovo forum ho scelto un piccolo indovinello tradizionale:

Un cacciatore parte da un punto ben preciso del globo terrestre e percorre 1 miglio verso sud, poi 1 miglio verso est e infine 1 miglio verso nord ritrovandosi al punto di partenza. Vede un orso e l'uccide.
Di che colore è l'orso?


Molti risponderanno immediatamente "è vecchia!" e daranno la loro risposta ovviamente esatta.

Attendiamo che tale risposta arrivi da chi non conosce questo evergreen e poi entriamo nel vivo del giochetto e chiediamoci:
è l'unica risposta possibile?
Ai più intraprendenti complico ulteriormente la vita con qualche osservazione. Supponete che il cacciatore, prima di cominciare a muoversi, decida di segnare sul terreno la direzione che sta per seguire(ovvero disegni sul terreno una freccia orientata verso sud) e per tutto il tragitto mantenga il suo fucile parallelo a questa freccia (ovvero puntato davanti a sè nella prima tratta, puntato alla sua destra nella seconda e puntato dietro di sè nella terza e ultima tratta).
Cosa dovrà constatare il cacciatore al suo ritorno, confrontando la direzione della freccia disegnata sul terreno con quella del fucile che con tanto impegno ha mantenuto parallelo alla freccia durante tutto il tragitto?
Qualcuno sa spiegare il perchè di questa constatazione apparentemente paradossale?

Capita lo stesso anche nelle soluzioni alternative? perchè?


L'ultima modifica di ulisse il 14 Gen 2006 22:45, modificato 1 volta
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emilio.roda
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MessaggioInviato: 08 Dic 2005 22:48    Oggetto: Re: QUIZ: Il cacciatore e l'orso Rispondi citando

Ulisse ha scritto:
Bene. Siamo partiti!
Per aprire questo nuovo forum ho scelto un piccolo indovinello tradizionale:

Un cacciatore parte da un punto ben preciso del globo terrestre e percorre 1 miglio verso sud, poi 1 miglio verso est e infine 1 miglio verso nord ritrovandosi al punto di partenza. Vede un orso e l'uccide.
Di che colore è l'orso?


Molti risponderanno immediatamente "è vecchia!" e daranno la loro risposta ovviamente esatta.


Fin qui conoscevo il gioco... anch'io mi metto in attesa e non rispondo.

Citazione:

Attendiamo che tale risposta arrivi da chi non conosce questo evergreen e poi entriamo nel vivo del giochetto e chiediamoci:
è l'unica risposta possibile?


Mi verrebbe da dire di si'. Pero' ci penso un po' sopra, non vorrei ci fosse qualche trabocchetto. Smile
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ioSOLOio
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MessaggioInviato: 08 Dic 2005 23:08    Oggetto: Rispondi citando

ho trovato questo quesito varie volte..spesso con differenti distanze percorse dal cacciatore (una volta un miglio, una volta 100 metri, ecc.) o lievi differenze nella formulazione del quesito stesso [il cacciatore si trova già tot metri a sud dell'orso e si muove prima a est quindi si volta spara verso nord colpendo l'orso, oppure si volta e percorre una analoga ditanza verso nord, oppure come nel caso riportato qua da Ulisse, ecc.]

è sicuramente l'unica risposta possibile abbinandola alla presenza del plantigrado. (Le piccole varianti di cui ho parlato possono ampliare di molto le possibili risposte.)

la constatazione apparentemente paradossale di freccia disegnata a terra e fucile invece risulterà solo prendendo in considerazione la "soluzione unica" di cui sopra.
Nelle altre alternative possibili no.
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vathek
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MessaggioInviato: 08 Dic 2005 23:55    Oggetto: Rispondi citando

Allora, il colore dell'orso è bianco, in quanto per muoversi su tre punti cardinali e tornare al punto di partenza, il punto di origine deve essere per forza il polo nord.
Per quanto riguarda freccia e fucile, il cacciatore si accorgerà che al suo ritorno al punto di partenza l'arma non sarà più parallela alla freccia, in quanto nel suo percorso ha disegnato (con le dovute curve del globo terracqueo) un triangolo...
A quest'ora non mi viene in mente niente di più... Mr. Green
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 00:19    Oggetto: Re: QUIZ: Il cacciatore e l'orso Rispondi citando

Ulisse ha scritto:
Supponete che il cacciatore, prima di cominciare a muoversi, decida di segnare sul terreno la direzione che sta per seguire(ovvero disegni sul terreno una freccia orientata verso sud) e per tutto il tragitto mantenga il suo fucile parallelo a questa freccia (ovvero puntato davanti a sè nella prima tratta, puntato alla sua destra nella seconda e puntato dietro di sè nella terza e ultima tratta).

perchè puntato dietro? non dovrebbe essere puntato verso il polo nord?
non ho capito...
Think
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ioSOLOio
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 00:28    Oggetto: Re: QUIZ: Il cacciatore e l'orso Rispondi citando

madvero ha scritto:
Ulisse ha scritto:
e puntato dietro di sè nella terza e ultima tratta).

perchè puntato dietro? non dovrebbe essere puntato verso il polo nord?
non ho capito...
Think


disegnata la freccia, la canna del fucile viene mantenuta nella medesima direzione della freccia..
per cui mentre cammina a sud, la punta concorde con la freccia e il suo passo..poi lui si sposta ad est, ma la canna resta puntata a sud per cui è rivolta alla destra del cacciatore..infine si sposta a nord ma la canna ancora resta rivolta concorde con la freccia puntata a sud, per cui sarà rivolta verso le spalle del cacciatore
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ulisse
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 00:37    Oggetto: Re: QUIZ: Il cacciatore e l'orso Rispondi citando

emilio.roda ha scritto:
non vorrei ci fosse qualche trabocchetto. Smile

eheheh... nessun trabocchetto.
Solo una piccola considerazione che, per la sua semplicità, pare sia rimasta inosservata per anni e anni.
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 00:45    Oggetto: Rispondi citando

niente da fare.
vado a ripassare un po' di geometria sferica?
trigonometria?
sfascio il mappamondo?

anche se mantiene il fucile parallelo alla prima linea verso sud, quano torna al punto di partenza il fucile non potrà essere ancora parallelo a quella linea, secondo me.
continuo a non capire.
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ulisse
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 00:52    Oggetto: Rispondi citando

ioSOLOio ha scritto:
è sicuramente l'unica risposta possibile abbinandola alla presenza del plantigrado. (Le piccole varianti di cui ho parlato possono ampliare di molto le possibili risposte.)

la constatazione apparentemente paradossale di freccia disegnata a terra e fucile invece risulterà solo prendendo in considerazione la "soluzione unica" di cui sopra.
Nelle altre alternative possibili no.


Uhm... nel chiedere se la soluzione canonica è unica mi ero scordato della presenza dell'orso.
Ora mi tocca verificare se vicino al polo sud ci sono orsi... (e così vi ho fornito un suggerimento).
In ogni caso direi che il secondo quesito va così riletto: oltre al polo nord esistono altri punti sul globo terrestre ai quali si può fare ritorno dopo aver percorso 1 miglio verso sud, 1 miglio verso est e 1 miglio verso nord?
Nel caso tali punti esistano, quanti sono? e anche in essi si verifica il paradosso della freccia?
A quest'ultima domanda Iosoloio risponde negativamente ma non ho capito se si riferisce alle altre soluzioni (ancora non emerse) dello stesso problema o alle soluzioni delle altre versioni del problema.
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 00:58    Oggetto: Rispondi citando

Ulisse ha scritto:
Ora mi tocca verificare se vicino al polo sud ci sono orsi... (e così vi ho fornito un suggerimento).

no che non ci sono...
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 01:12    Oggetto: Rispondi citando

Vathek ha scritto:
Allora, il colore dell'orso è bianco, in quanto per muoversi su tre punti cardinali e tornare al punto di partenza, il punto di origine deve essere per forza il polo nord.

Correggo: il punto di origine può essere il polo nord ma non deve esserlo per forza.
Ormai è chiaro che esistono altri punti sulla faccia della terra che hanno questa proprietà. A voi il compito di individuare quali e quanti sono!

Citazione:
Per quanto riguarda freccia e fucile, il cacciatore si accorgerà che al suo ritorno al punto di partenza l'arma non sarà più parallela alla freccia, in quanto nel suo percorso ha disegnato (con le dovute curve del globo terracqueo) un triangolo...

Anche in questo caso è necessaria una piccola correzione; se fossi in grado di riprodurre l'esperimento su una superficie piana noteresti due fatti (il mio dubbio non verte sulle tue capacità ma sulla facilità di reperimento di una superficie piana qui sulla terra)

1) percorrendo un qualunque triangolo all'arrivo il fucile sarebbe sempre perfettamente orientato come la freccia
2) se fai due svolte di 90 gradi devi rinunciare alla possibilità di tornare al punto di partenza; viceversa, se vuoi tornare al punto di partenza devi rinunciare alle due svolte di 90 gradi.

La parte essenziale è proprio il tuo inciso tra parentesi: "con le dovute curve del globo..."

Infatti ciò che rende possibile la perdita di parallelismo e la presenza di triangoli con addirittura tre angoli retti è proprio la curvatura della superficie terrestre!
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 01:22    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
anche se mantiene il fucile parallelo alla prima linea verso sud, quano torna al punto di partenza il fucile non potrà essere ancora parallelo a quella linea.

Appunto! Il paradosso è proprio questo: sul piano, percorrendo un cammino chiuso con in mano un bastone orientato sempre nella stessa direzione, si ritorna al punto di partenza col bastone che ha ancora la direzione iniziale.
Invece su una sfera, quando si ritorna al punto di partenza, il bastone non ha più la direzione iniziale nonostante esso sia stato sempre mantenuto "parallelo a sè stesso".
Colpevole di tale paradosso è la curvatura della superficie sulla quale abitiamo...
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madvero
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 01:27    Oggetto: Rispondi citando

e io che mi ero messa a studiare questo...
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 01:59    Oggetto: Rispondi citando

madvero ha scritto:
e io che mi ero messa a studiare questo...

Beh... la geometria non eulidea è proprio l'ambito corretto!

A parte ciò, grazie per il link al sito Polymath che non conoscevo ma, ho già visto, mi sarà assai prezioso.
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 02:43    Oggetto: Rispondi citando

anche a me sembrava che fosse leggermente fuori tema: ci sono capitata per caso mentre stavo googlando "trigonometria sferica deformazione angoli" perchè mi ricordavo un teorema che parlava di come la somma degli angoli interni di un triangolo non sempre è un angolo piatto (in riferimento a parallasse e geodesia).
si vede che a quest'ora i miei ricordi sono ancora più evanescenti del solito.
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emilio.roda
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 11:45    Oggetto: Rispondi citando

Ulisse ha scritto:

In ogni caso direi che il secondo quesito va così riletto: oltre al polo nord esistono altri punti sul globo terrestre ai quali si può fare ritorno dopo aver percorso 1 miglio verso sud, 1 miglio verso est e 1 miglio verso nord?
Nel caso tali punti esistano, quanti sono? e anche in essi si verifica il paradosso della freccia?


Pensiamo alla cinrconferenza (mi viene da chiamarla "parallelo" ma so che e' scorretto) che e' equidistante un miglio dal Polo Sud. Se il cacciatore parte da un punto qualsiasi di questa circonferenza e fa un miglio in direzione sud, poi si trova al Polo Sud. A questo punto, come fa ad andare verso est? Deve stare fermo? Girare su se stesso? In questo modo, quando va a nord, torna al punto di partenza (o meglio, al luogo di punti equidistanti un miglio dal Polo Sud).

Comunque e' interessante notare che la maggior parte di questi problemi esistono solo a livello teorico perche' quelle zone non sono abitate e nella realta' quotidiana nessuno si pone mai questi problemi. E poi, al Polo Nord ci saranno davvero gli orsi? Smile
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Andreij
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 19:22    Oggetto: Rispondi citando

O ancora meglio il cacciatore parte dalla circonferenza (o parallelo) che si trova 1 miglio a nord della circonferenza che misura esattamente 1 miglio. Facendo cosí va a sud per 1 miglio, poi fa un giro della terra e torna al punto di partenza. Cosí vediamo che ci sono infiniti punti dove é possibile tornare al punto di partenza andando 1 miglio a sud, 1 a est (o ovest) e 1 a nord.

bellissimo quest'indovinello! Very Happy
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Gipi'
Dio minore
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MessaggioInviato: 09 Dic 2005 19:31    Oggetto: Rispondi citando

Andreij ha scritto:
O ancora meglio il cacciatore parte dalla circonferenza (o parallelo) che si trova 1 miglio a nord della circonferenza che misura esattamente 1 miglio. Facendo cosí va a sud per 1 miglio, poi fa un giro della terra e torna al punto di partenza. Cosí vediamo che ci sono infiniti punti dove é possibile tornare al punto di partenza andando 1 miglio a sud, 1 a est (o ovest) e 1 a nord.

bellissimo quest'indovinello! Very Happy

..e se non ho capito male, in questo caso non si presenta il paradosso del mancato parallelismo del fucile di cui si e' parlato alcuni post sopra.

Riportato su un piano 2D si segue un percorso a "T" senza ripassare due volte sulla testa della "T" stessa.

Mi piace sta roba Hypno Drunk
.
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MessaggioInviato: 10 Dic 2005 14:28    Oggetto: Rispondi citando

Andreij ha scritto:
(...)Cosí vediamo che ci sono infiniti punti dove é possibile tornare al punto di partenza andando 1 miglio a sud, 1 a est (o ovest) e 1 a nord.

bellissimo quest'indovinello! Very Happy


Esatto!

Ma c'è ancora una piccola generalizzazione ottenibile prendendo la circonferenza della seconda tratta (quella del cammino verso est tanto per intenderci) non di lunghezza 1 miglio ma di lunghezza pari a 1 k-esimo di miglio (di modo che percorrendola k volte si ottenga il richiesto cammino verso est di 1 miglio).

Grazie per il complimento! Ero realmente preoccupato per la scelta del quiz di avvio del forum!
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ulisse
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MessaggioInviato: 10 Dic 2005 16:29    Oggetto: Rispondi

emilio.roda ha scritto:
Comunque e' interessante notare che la maggior parte di questi problemi esistono solo a livello teorico


Caro Emilio devo amichevolmente contraddirti:
non solo i problemi esclusivamente teorici sono assai meno di quelli pratici ma addirittura spesso i problemi astratti e quelli concreti sono legati inscindibilmente dal medesimo modello rappresentativo. In altre parole, spesso due problemi apparentemente diversi hanno in verità la stessa rappresentazione.

La Matematica (secondo una mia opinione che però immagino trovi riscontro in personaggi decisamente più autorevoli di me) è quella scienza che produce e studia modelli di rappresentazione.

Vista sotto quest'ottica può venir naturale distinguere tra:
  • matematica astratta che produce e studia modelli rappresentativi slegati da qualsiasi applicazione (paradossalmente potremmo chiamare tali modelli soluzioni senza problema!)
  • matematica applicata che produce e studia modelli rappresentativi che trovano riscontro concreto in problemi utili
  • matematica ricreativa che produce e studia modelli rappresentativi che trovano riscontro concreto in problemi futili (il giochino del cacciatore)
Ma la natura nel suo manifestarsi "va al risparmio" e, dunque, quando trova uno schema di successo lo ricicla appena può.

Questo fatto è evidente agli occhi di un matematico che si diverte a schematizzare e modellizzare problemi: spesso e volentieri lo stesso modello può essere utilizzato per rappresentare fenomeni nettamente diversi ma analoghi.
Così può capitare che un modello matematico atto a risolvere un problema futile (pertinente quindi la matematica ricreativa) o inesistente (matematica astratta) di punto in bianco si scopra possa essere utilizzato per risovere un problema concreto e utile.

Tanto per fare un esempio: l'icosaedro di Hamilton.
Sir William Hamilton è un famoso ed autorevole matematico del XIX secolo. Il gioco da lui ideato consiste nel percorrere gli spigoli di un dodecaedro (non chiedetemi perchè si gioca su un dodecaedro ma si chiama icosaedro) formando un percorso chiuso che passi per tutti i vertici del solido platonico una ed una sola volta (tranne il vertice di partenza che viene toccato una seconda volta all'arrivo).
Ebbene, il modello matematico che rappresenta questo gioco può essere tranquillamente riciclato per rappresentare un altro gioco: la torre di Hanoi.
Ma può anche essere speso per rappresentare il problema del commesso viaggiatore (data una rete stradale e dei negozi su essa trovare, se esiste, il percorso che consenta al commesso di partire da, e ritornare a, casa passando per tutti i negozi che deve visitare senza mai ripercorrere lo stesso tratto di strada).

Dunque un problema astratto (percorrere gli spigoli di un dodecaedro) è contemporaneamente un problema ricreativo (la torre di Hanoi) e un problema applicativo (ottimizzazione).

Di più.
Nel corso dei secoli non solo è accaduto che un modello astratto abbia trovato solo successivamente la sua applicazione (ad esempio i numeri complessi che sono stati "inventati" e studiati senza la minima applicazione concreta e poi si è scoperto che potevano degnamente rappresentare alcuni fenomeni elettrici) ma è anche accaduto che un modello matematico applicativo sia diventato di punto in bianco astratto perchè le nuove scoperte hanno reso il problema inconsistente (Ad esempio oggigiorno la computazione geometrica non ha più alcun interesse e quindi il modello computazionale è relegato a ruolo ricreativo).
Vi chiedete cosa sia la computazione geometrica?
Oggetto di un futuro post vi anticipo solo che la computazione geometrica è il modello matematico che spiega come eseguire le quattro operazioni nonchè l'elevamento a potenza e l'estrazione di radici (con indice pari) di numeri razionali col solo uso di un bastone e una cordicella (equivalenti di riga e compasso).

Una piccola osservazione che c'entra poco ma che mi premeva portare alla vostra attenzione:
non è un caso che abbia parlato di matematica ricreativa e non di matematica dilettevole.

Chiamandola matematica dilettevole avrei certo offeso qualche matematico ricavando come obiezione che il matematico si diletta nella risoluzione di problemi indipendentemente dal fatto che essi siano concreti o astratti e, ancorchè concreti, che siano utili o futili.

Chiamandola matematica ricreativa sono invece certo di riscuotere l'ammirazione dei matematici che, evidenziando il termine ri-creativo, possono vedere i giochini non come un diletto fine a stesso ma come l'ambiente protetto in cui i cuccioli di matematico possono cimentarsi senza rischio nella risoluzione di problemi come allenamento per la caccia alla soluzione di un problema concreto alla quale parteciperanno da adulti.
La matematica ri-creativa, insomma, trova la sua utilità nell'allenamento mentale alla risoluzione di problemi.
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