|
| Precedente :: Successivo |
| Autore |
Messaggio |
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
 Inviato: 13 Nov 2009 15:57 Oggetto: Pitagora falegname |
 |
|
Il noto “samese”, per completare l’ingresso della propria casa, vuole realizzare un architrave di legno da poggiare sulle colonne ai lati della porta, che sia di lunghezza L (cosa che fra l’altro non è importante) e avente sezione rettangolare.
Ha a sua disposizione un tronco d’albero, perfettamente cilindrico, di lunghezza maggiore di L e di diametro D, e sa che la resistenza di quel materiale alla flessione è proporzionale alla quantità [BxH^2], dove B e H sono i lati della sezione dell’architrave, essendo B la lunghezza della base, che poggia sui pilastri, ed H l’altezza.
Che gli consigliamo di fare affinché la trave sia la più resistente possibile? |
|
| Top |
|
 |
Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
|
| Inviato: 14 Nov 2009 04:18 Oggetto: Re: Pitagora falegname |
|
|
Avendo nella formula:
B*H^2
| Citazione: |
avendo la formula un andamento lineare rispetto alla Base ed uno quadratico rispetto all' altezza direi che il nostro archimede deve fare un architrave che sia indubbiamente più alto che largo.
Suppongo che la larghezza B sarà comunque obbligatoria in quanto sopra l' architrave poggerà un muro cheavrà un certo spessore (tipo il classico 30cm dei nostri muri di casa).
Immagino anche che il tronco avrà un Diametro D superiore a tale larghezza...
Ho appena fattouna ricerca perchè cercavo un immagine per il taglio del legno in quanto non avevo voglia di disegnarla  ...
Ad Archimede la scielta 
nel caso di sinistra si ha un maggior spreco di legno ma le tavole sono migliori mentre nel secondo caso, quello di destra si ha uno sfruttamento migliore del tronco ma le assi periferiche sono più inclini a deformarsi rispetto al caso precedente che pone tutti gli assi allo stesso livello qualitativo oltre che migliore. (io sceglieriil primo  )
Così facendo avrà un certo numero di assi che potrà riassemblare per formare l' architrave.
Non essendoci misure nel problema direi che la risposta è semplicemente:
Fai un architrave che sia il più alto possibile nei limiti di legno che hai e di base che devi mantenere.
Per quanto rigurada lo sfruttamento del tronco è evidente che più le assi sono sottili e più lo spreco per la rettificazione del dorso periferico sarà sempre minore... ma non credo che possa tagliare dei fogli di carta per poi ri incollarli.... ....
|
|
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 14 Nov 2009 10:26 Oggetto: Re: Pitagora falegname |
|
|
| Scrigno ha scritto: | | Citazione: |
... ma non credo che possa tagliare dei fogli di carta per poi ri incollarli.... .... |
|
tutto vero, ma, per sgombrare il campo da possibili equivoci nella corretta interpretazione del quesito, ritengo doveroso precisare che il nostro falegname si limiterà a piallare il tronco, trasformando il cilindro in un parallelepiedo (più lungo che alto e/o largo, naturalmente), cioè, alla fine, avrà un pezzo unico ricavato senza far uso di colle o incastri, che, secondo lui, potrebbero indebolire la struttura (e magari è vero, chissà) |
|
| Top |
|
|
Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
|
| Inviato: 14 Nov 2009 11:12 Oggetto: |
|
|
| Citazione: | Dato che il tronco ha una sezione circolare di diametro D e l'architrave dovrà avere una sezione rettangolare di lati B e H, il risultato migliore si otterrà inscrivendo il rettangolo nel cerchio.
Di conseguenza, la diagonale del rettangolo coinciderà col diametro del cerchio ed è sufficiente analizzare il triangolo rettangolo con cateti B, H e ipotenusa D. (qua una figura)
Per il teorema di Pitagora: B^2 + H^2 = D^2
Dai dati del problema, la resistenza è data dalla relazione: R = B*H^2
Quindi: R = B*H^2 = B*(D^2 - B^2) = B*D^2 - B^3
R si annulla per B=0 e B=D (ovvero quando il rettangolo diventa un foglio di spessore nullo) e ha valore massimo quando si azzera la derivata:
R' = D^2 - 3*B^2 = 0 quindi B^2 = D^2 / 3 e risultano:
B = D*sqrt(1/3)
H = sqrt(D^2 - B^2) = D*sqrt(2/3) |
|
|
| Top |
|
|
Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
|
| Inviato: 14 Nov 2009 14:06 Oggetto: Re: Pitagora falegname |
|
|
| salmastro ha scritto: | | Scrigno ha scritto: | | Citazione: |
... ma non credo che possa tagliare dei fogli di carta per poi ri incollarli.... .... |
|
tutto vero, ma, per sgombrare il campo da possibili equivoci nella corretta interpretazione del quesito, ritengo doveroso precisare che il nostro falegname si limiterà a piallare il tronco, trasformando il cilindro in un parallelepiedo (più lungo che alto e/o largo, naturalmente), cioè, alla fine, avrà un pezzo unico ricavato senza far uso di colle o incastri, che, secondo lui, potrebbero indebolire la struttura (e magari è vero, chissà) |
E' Proprio un pitagorico sto Pitagora 
| Citazione: |
Senza far tanti conti mi viene da tirare ad indovinare...
Secondo me Piallerà un trave con sezione aurea.
Nel nostro caso avremo un sistema dove:
1) D^2 = RadQ(B^2 * H^2)
2) H/B = B/(H-B)
[Solo che anche se giusta, Sal, mi spiace ma mi scoppia la testa solo a pensare di risolverla.] |
|
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 16 Nov 2009 11:07 Oggetto: |
 |
|
| Jowex ha scritto: | | Citazione: | Dato che il tronco ha una sezione circolare di diametro D e l'architrave dovrà avere una sezione rettangolare di lati B e H, il risultato migliore si otterrà inscrivendo il rettangolo nel cerchio.
Di conseguenza, la diagonale del rettangolo coinciderà col diametro del cerchio ed è sufficiente analizzare il triangolo rettangolo con cateti B, H e ipotenusa D. (qua una figura)
Per il teorema di Pitagora: B^2 + H^2 = D^2
Dai dati del problema, la resistenza è data dalla relazione: R = B*H^2
Quindi: R = B*H^2 = B*(D^2 - B^2) = B*D^2 - B^3
R si annulla per B=0 e B=D (ovvero quando il rettangolo diventa un foglio di spessore nullo) e ha valore massimo quando si azzera la derivata:
R' = D^2 - 3*B^2 = 0 quindi B^2 = D^2 / 3 e risultano:
B = D*sqrt(1/3)
H = sqrt(D^2 - B^2) = D*sqrt(2/3) |
|
vale a dire:
E fu così che Pitagora scoprì i numeri irrazionali!
Secondo la tradizione fu però un suo seguace, Ippaso di Metaponto, a metterne in luce la natura, mentre tentava di rappresentare il nostro risultato in forma di frazione. Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.
bravo Jowex  
ed un applauso a Scrigno, per la fantasia! |
|
| Top |
|
|
|
|
Non puoi inserire nuovi argomenti
Non puoi rispondere a nessun argomento
Non puoi modificare i tuoi messaggi
Non puoi cancellare i tuoi messaggi
Non puoi votare nei sondaggi
|
|
FAQ
Cerca
Lista utenti
Gruppi
Registrati
Profilo
Messaggi privati
Log in
