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* ...il triangolo, no!
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 09 Lug 2009 12:30    Oggetto: Rispondi citando

Jacap ha scritto:
Hai ragione, ho riguardato meglio e in effetti così non dimostro che il centro di quella circonferenza è proprio D. Rolling Eyes Devo scervellarmi ancora un pò dunque! Razz


ciao Wink

in effetti, dal punto di vista puramente geometrico, è una questione assai sfuggente, la cui soluzione (ammesso che ci sia), per così dire, l'abbiamo tutti "sulla punta della lingua" Very Happy
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IvoFaArtiInvano
Eroe
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MessaggioInviato: 09 Lug 2009 22:44    Oggetto: Rispondi citando

Salmastro, spero che tu non mi faccia bannare se ho toppato ancora una volta. 8) Wink

Perseverare è diabolico ...
Twisted Evil Shocked Rolling Eyes Rolling Eyes Laughing

link

Citazione:
Visto che gli angoli <BAP> e <ABP> sono uguali per costruzione allora [ABP] è isoscele e il punto P si trova sulla mediana che taglia in due il quadrato verticalmente.
Visto che P è al centro, anche [DEC] è isoscele.
Divido il quadrato [ABCD] in quattro quadrati.
Traccio il segmento AE tale che formi un angolo di 15° con AD.
Prendendo in considerazione il quadrato che ha A come uno dei suoi vertici, deduco che [AEP] è equilatero (lo si vede sottraendo dall'angolo retto in A i due angoli da 15° e notando che per similitudine dei triangoli si ha AE=AP).
Traccio la circonferenza centrata in E con raggio AE=EP.
Per un noto teorema sui cerchi, l'angolo al centro che abbraccia l'arco AP è il doppio dell'angolo sulla circonferenza in D che insiste sullo stesso arco, cioè:
<AEP>=2 <ADP>
==> <ADP>=1/2 <AEP>=60°/2=30°
Con analogo procedimento si giunge a:
<BCP>=30°
Sottraendo questi due angoli rispettivamente a quello retto in D e a quello retto in C si trova:
<CDP>=60°
<DCP>=60°
donde il fatto che [CDP] è equilatero.
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IvoFaArtiInvano
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MessaggioInviato: 10 Lug 2009 09:07    Oggetto: Rispondi citando

Nel precedente post ho dimenticato di dire che:
Citazione:
Il punto D giace sulla circonferenza in quanto DE=AE (per ovvi motivi di simmetria...) e quindi DE ne è un raggio.
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 10 Lug 2009 09:22    Oggetto: Rispondi citando

IvoFaArtiInvano ha scritto:
Salmastro, spero che tu non mi faccia bannare se ho toppato ancora una volta. 8) Wink

Perseverare è diabolico ...
Twisted Evil Shocked Rolling Eyes Rolling Eyes Laughing

link

Citazione:
Visto che gli angoli <BAP> e <ABP> sono uguali per costruzione allora [ABP] è isoscele e il punto P si trova sulla mediana che taglia in due il quadrato verticalmente.
Visto che P è al centro, anche [DPC] è isoscele.
Divido il quadrato [ABCD] in quattro quadrati.
Traccio il segmento AE tale che formi un angolo di 15° con AD.
Prendendo in considerazione il quadrato che ha A come uno dei suoi vertici, deduco che [AEP] è equilatero (lo si vede sottraendo dall'angolo retto in A i due angoli da 15° e notando che per congruenza dei triangoli si ha AE=AP).
Traccio la circonferenza centrata in E con raggio AE=EP.
Per un noto teorema sui cerchi, l'angolo al centro che abbraccia l'arco AP è il doppio dell'angolo sulla circonferenza in D che insiste sullo stesso arco, cioè:
<AEP>=2 <ADP>
==> <ADP>=1/2 <AEP>=60°/2=30°
Con analogo procedimento si giunge a:
<BCP>=30°
Sottraendo questi due angoli rispettivamente a quello retto in D e a quello retto in C si trova:
<CDP>=60°
<DCP>=60°
donde il fatto che [CDP] è equilatero.


Shocked ...non solo devo fugare i tuoi timori di bannatura, ma devo anche spogliare Maddina della maglia rosa per consegnarla a te Very Happy

anzi, gliela lasciamo...e a te, a mio insindacabile giudizio, assegno la maglia iridata di campione del mondo, campione del mondo, campione del mondo! Applause Applause Applause

complimenti dimostrazione ingegnosa e fantasiosa, veramente bella, oltre che ineccepibile Very Happy

P.S.: dato che qualcosa devo pur dire ( Laughing ) ho corretto due piccoli refusi, che D appartenga alla circonferenza, invece, l'hai precisato tu Wink (il punto E, per costruzione, è posto sull'asse del segmento AD, per cui è equidistante dagli estremi)
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IvoFaArtiInvano
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MessaggioInviato: 10 Lug 2009 10:15    Oggetto: Rispondi citando

Grazie, troppo onore! Embarassed

CinCin

Mi sono affrettato con le risposte perché la tesi del problema sembra talmente ovvia che ci si dimentica di quel grado di libertà su P che avanza quando si dimostra la semplice isoscelità del triangolo [CDP]: pensavo inizialmente, che bastava procedere a ritroso rispetto ad un'argomentazione come quella di Massive, ma poi ho capito che tutto doveva essere incardinato intorno al fatto che il gioco può funzionare solo con quell'angolo di 15°.

Salmy, sono curioso di vedere quando posterai la tua soluzione per constatare in quale misura si trovava sulla punta della lingua.

La dimostrazione di Mad, che conduce ad una soluzione analitica, non è certamente meno rigorosa di una fatta con la geometria pura: a dispetto dei geometri puri, Newton riuscì a quadrare una cosa strana come la parabola colla riga e col compasso, ma nessuno è mai riuscito a farlo con un semplice cerchio (perché è impossibile).

Non è forse questa (dovuta a Eulero) elegante al pari del teorema di Pitagora?:
e^(i*pi)+1=0

P.S.:Amo da morire il formalismo del lessico di Mad nelle sue dimostrazioni!!! Rolling Jump
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Jacap
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MessaggioInviato: 10 Lug 2009 11:32    Oggetto: Rispondi citando

Complimenti a Ivo!! Very Happy Anche a me stamani era venuta l'illuminazione, posto la mia dimostrazione qui! Wink



Ciao! Smile
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IvoFaArtiInvano
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MessaggioInviato: 10 Lug 2009 12:57    Oggetto: Rispondi citando

Per Jacap:
Mi sembra che la tua dimostrazione sia giusta. ok!
Ho soltanto trovato quest'errore nel tuo ragionamento (sempre che io l'abbia capito bene) il quale comunque non cambia le conclusioni:

Citazione:
Visto che PD<CD, allora <DPA> > 60°
==> <APD> < 75°
da questo si deduce che K non si trova tra A e D ma è D che si trova tra A e K e che quindi non è PK<l ma PK>l


Se il tuo ragionamento è giusto ti faccio i complimenti perché io ho provato con la via dell'ipotesi ab absurdo, toppando alla grande.
cappello Wink
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 10 Lug 2009 17:59    Oggetto: Rispondi citando

@ Ivo:

ahimè, come già dicevo qualche post fa, io, una dmostrazione puramente geometrica non ce l'ho Embarassed e per questo sono rimasto ammirato della tua Very Happy ..il cui punto focale verte, secondo me, sulla costruzione della circonfenza, il cui esame (appurato che D appartiene ad essa) elimina ogni possibile ambiguità e ogni possibile "falso amico"

per questo motivo, credo non corretta la proposta di Jacap:

Citazione:
tracciando la mediana del segmento AP siamo solo certi che intersecherà la retta individuata da AD in un generico punto K, il quale potrà essere interno allo stesso AD, potrà appartenere al prolungamento di AD (quindi essere esterno al quadrato) o coincidere con il punto D. Tutti casi, secondo me, probabili: bisognerebbe dimostrare che K=D. Per me, e mi potrei sbagliare, si resta nell'ambiguità.
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Salmastro
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MessaggioInviato: 10 Lug 2009 19:25    Oggetto: Rispondi citando

dimenticavo:

IvoFaArtiInvano ha scritto:

Non è forse questa (dovuta a Eulero) elegante al pari del teorema di Pitagora?:
e^(i*pi)+1=0


...allora sei in grado di risolvere "completamente" l'equazione:

x^(1/3) = 1

Wink
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Jacap
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MessaggioInviato: 11 Lug 2009 09:21    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
per questo motivo, credo non corretta la proposta di Jacap:

Citazione:
tracciando la mediana del segmento AP siamo solo certi che intersecherà la retta individuata da AD in un generico punto K, il quale potrà essere interno allo stesso AD, potrà appartenere al prolungamento di AD (quindi essere esterno al quadrato) o coincidere con il punto D. Tutti casi, secondo me, probabili: bisognerebbe dimostrare che K=D. Per me, e mi potrei sbagliare, si resta nell'ambiguità.


Infatti salmastro, è esattamente questo ciò che intendo dimostrare con il mio ragionamento per assurdo. Ovvero, se dimostro che il segmento AK non è nè minore nè maggiore di AD allora posso concludere che sarà necessariamente uguale ad AD! Wink

Col mio ragionamento per assurdo ipotizzo quindi che AK sia minore di AD. Ma, partendo da tale ipotesi, faccio vedere che arrivo ad una contraddizione, ovvero che AK non può essere minore di AD. Si può fare la stessa cosa ipotizzando AK>AD e confutando tale ipotesi (col medesimo ragionamento, non cambia nulla). A meno quindi di eventuali errori nel mio ragionamento (son contento di essere smentito anche perchè sono anni che non tocco più i problemi di geometria Very Happy), direi che anche questa strada dimostrativa sia più che valida. Wink

IvoFaArtiInvano ha scritto:
Ho soltanto trovato quest'errore nel tuo ragionamento (sempre che io l'abbia capito bene) il quale comunque non cambia le conclusioni:

Visto che PD<CD, allora <DPA> > 60°
==> <APD> < 75°
da questo si deduce che K non si trova tra A e D ma è D che si trova tra A e K e che quindi non è PK<l ma PK>l


Non mi torna una cosa: te per <DPA> e <APD> intendi lo stesso angolo, giusto? Nel mio ragionamento ad ogni modo io dico una cosa diversa: se ipotizziamo per assurdo che PD sia diverso da CD (ovvero che sia o maggiore o minore) allora potrò sempre costruire il triangolo di vertici P,K,D. Questa costruzione la posso fare indipendentemente che K si trovi alla destra oppure alla sinistra di D (non cambia nulla). In entrambi i casi posso dire che PK sarà necessariamente diverso da PD. Quindi, se riesco a dimostrare che invece PK è uguale a PD allora posso concludere che l'ipotesi iniziale è errata, ovvero che PD=CD! Wink
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Salmastro
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MessaggioInviato: 11 Lug 2009 10:02    Oggetto: Rispondi citando

Raccolgo le idee:

Citazione:
Tu ipotizzi che PD < CD, da cui seguirebbe che PK < L
Questa, secondo me, è una ?intuizione?, in quanto sarebbe da dimostrare, preliminarmente, che, per l?ipotesi fatta, il punto K è interno al segmento AD.

Più corretto, credo, sia procedere come implicitamente dici nel tuo ultimo post.
Esplicito il ragionamento: sia M il punto medio di AP, costruiamo la perpendicolare ad AP passante per M. Tale retta incontrerà la retta che comprende il segmento AD in un punto K. Dobbiamo dimostrare che K=D. (stessa cosa faremo sulla parte superiore del quadrato con un M?, da cui un K?)

Vediamo che succede se AK<AD: come annoti nell?immagine postata, i triangoli AMK e MPK sono congruenti (per cui PK=AK), da cui discende, in ultima analisi che PKK? è equilatero.
Avremo, pertanto, che PK=KK?=CD=AD, relazione che è in contraddizione con la premessa AK<AD

Sia allora AK>AD?la verifica dell?impossibilità della cosa è conforme alla precedente, solo che, stavolta il punto K è esterno al segmento AD ed il triangolo PKK? non è interamente contenuto nel quadrato originario: c?è un trapezio ?esterno?


ora mi torna tutto!!! Very Happy

@ Jacap: CinCin Vittoria
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IvoFaArtiInvano
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MessaggioInviato: 11 Lug 2009 14:05    Oggetto: Rispondi citando

Jacap ha scritto:

...
Non mi torna una cosa: te per <DPA> e <APD> intendi lo stesso angolo, giusto? ...


Hai ragione, ho sbagliato a scrivere! Shocked
Volevo intendere questo (parte in grassetto corretta):

IvoFaArtiInvano ha scritto:
Ho soltanto trovato quest'errore nel tuo ragionamento (sempre che io l'abbia capito bene) il quale comunque non cambia le conclusioni:

Visto che PD<CD, allora <DPC> > 60°
==> <APD> < 75°
da questo si deduce che K non si trova tra A e D ma è D che si trova tra A e K e che quindi non è PK<l ma PK>l


Adesso mi macino le conclusioni di Salmastro ...

Per Salmastro:
hai trovato al volo la relazione tra Eulero e il problema!
Infatti le soluzioni dell'equazione che hai postato sono i vertici di un triangolo equilatero (inscritto in un cerchio unitario) nel piano complesso.
Idea Read
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Salmastro
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MessaggioInviato: 14 Lug 2009 17:35    Oggetto: Rispondi citando

IvoFaArtiInvano ha scritto:
Per Salmastro:
hai trovato al volo la relazione tra Eulero e il problema!
Infatti le soluzioni dell'equazione che hai postato sono i vertici di un triangolo equilatero (inscritto in un cerchio unitario) nel piano complesso.
Idea Read


perfetto Very Happy

con l'occasione, mi complimento ancora una volta con i solutori (ben 3 soluzioni: tutte valide, una più ingegnosa dell'altra)

Applause Applause Applause


bel topic, veramente... tutto merito vostro! Very Happy
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Scrigno
Semidio
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MessaggioInviato: 26 Lug 2009 23:41    Oggetto: Rispondi citando

Sad
Sono arrivato tardi ... anche quì Sad

Vabbè... MOD... ti chiedo solo una cosa.. in un problema del genere la trigonometria era lecita?

Nel senso:
Citazione:

dopo aver assodato che il punto P si trova sulla mediana del quadrato e quindi del triangolo in considerazione... Trovo con seni e quant' altro il valore del segmentino che da P sale verso il lato AB. Lo sottraggo al resto della mediana che è lunga quanto il lato del quadrato ed uso questo valore e la base del quadrato per determinare l' ancolo in PDC
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Salmastro
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MessaggioInviato: 27 Lug 2009 09:04    Oggetto: Rispondi

Scrigno ha scritto:
Sad
Sono arrivato tardi ... anche quì Sad

Vabbè... MOD... ti chiedo solo una cosa.. in un problema del genere la trigonometria era lecita?

Nel senso:
Citazione:

dopo aver assodato che il punto P si trova sulla mediana del quadrato e quindi del triangolo in considerazione... Trovo con seni e quant' altro il valore del segmentino che da P sale verso il lato AB. Lo sottraggo al resto della mediana che è lunga quanto il lato del quadrato ed uso questo valore e la base del quadrato per determinare l' ancolo in PDC


certo: è quello che ha fatto Madvero a pag 2 del 3D! Very Happy Wink
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