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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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 Inviato: 29 Giu 2009 08:55 Oggetto: |
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| Jowex ha scritto: | @Massive
L'ultima formula che hai scritto per avere il numero di triangoli rettangoli sembra giusta anche a me... magari potresti spiegare come ci sei arrivato.
Quello che per me non era giusto era il numero di triangoli rettangoli (4000) calcolati in un post precedente in prima pagina. |
| Citazione: |
Come ho già deto quello non è il totale, ma un valore ottenuto per calcolare il rapporto tra acutangoli e ottusangoli (1/3 come già dimostrato).
Il triangolo sarà rettagolo se due dei 3 punti sono opposti al centro della figura, per poligoni con N pari (per N dispari non c'è ne sono) ci sono N/2 coppie di punti opposti, per ognuno di questi ci sono altri N-2 possibili terzi punti.
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Per N lati le percentuali sono:
| Citazione: |
(a) 300/(N-1) %
(b) 75*[1-3/(N-1)] %
(c) 25*[1-3/(N-1)] %
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Così oltre a risolvere il quesito abbiamo anche risolto il problema per ogni poligono, circonferenza inclusa.
@salmastro: ma dove lo hai trovato questo problema? |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 29 Giu 2009 11:35 Oggetto: |
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Anche se ampliamente sviscerato, voglio anch?io scrivere un po? sull?argomento (divido il post in due, ché mi sembra troppo lungo...)
Intanto, qualche premessa:
| Citazione: | tutti i possibili triangoli ottenibili congiungendo 3 vertici di un poligono di n lati sono dati da
C(n,3)= [n*(n-1)*(n-2)]/(3*2*1)]
Nel nostro caso, n=2002, tale numero sarà: 1.335.334.000
Poi osserviamo che , com?è noto, un poligono regolare si può inscrivere in una circonferenza e, pertanto, i 3 vertici, casualmente scelti, si trovano su una circonferenza.
Rivanghiamo ora i concetti di angolo al centro ed angolo alla circonferenza.
Angolo al centro è quello che ha come vertice O, il centro della circonferenza, ed è individuato dalle due semirette aventi come origine O e passanti per due punti della circonferenza.
Angolo alla circonferenza è, invece, quello con vertice un punto della circonferenza ed individuato (come nel caso precedente) da altri due punti della circonferenza stessa.
Le due tipologie di angoli sono legate da un?interessante relazione (un teorema, in verità) secondo la quale un angolo alla circonferenza è pari alla metà del corrispondente angolo al centro.
Per inciso notiamo che questi due punti individuano una corda e che dividono la circonferenza in due archi, l?uno chiameremo ?maggiore?, l?altro ?minore?, che saranno uguali se la corda coincide con un diametro.
In particolare, dal teorema citato, si evince che un triangolo rettangolo è inscrivibile in una semicirconferenza, vale a dire che ad esso si può circoscrivere una circonferenza di cui uno dei diametri coincide con l?ipotenusa del triangolo stesso (il vertice dell?angolo retto del triangolo rettangolo sta sulla circonferenza, gli altri due individuano un diametro).
Ed ancora, considerando una corda generica (diversa da un diametro), sempre dal detto teorema, è facile vedere che se il terzo punto appartiene all?arco ?minore? (essendo gli altri due quelli che individuano la corda) tale angolo alla circonferenza è maggiore di un angolo retto, per cui il triangolo relativo è ottusangolo (essendo ottuso l?angolo con vertice il ?terzo? punto) |
...segue... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 29 Giu 2009 11:38 Oggetto: |
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(seconda parte)
Ora dovremmo avere tutto per affrontare il problema.
| Citazione: | Innanzitutto individuiamo i triangoli rettangoli.
Per quanto sopra sono quelli la cui ipotenusa è un diametro della circonferenza col vertice dell?angolo (retto) opposto qualsiasi (ma diverso, ovviamente, dai due che individuano il diametro stesso).
L?insieme di tutti i possibili diametri è dato da n/2 (è necessario che i lati del poligono siano pari) e per ogni diametro un punto qualsiasi fra i restanti n-2 va bene per costruire un triangolo rettangolo.
In sostanza, tutti i triangoli rettangoli sono dati dal prodotto di n*(n/2) = ½ *n*(n-2)
Se dividiamo tale quantità per tutti i possibili triangoli otterremo la probabilità di averne uno rettangolo, prendendo a caso tre punti.
P (rett) = [½ *n*(n-2)]/ [n*(n-1)*(n-2)]/(3*2*1)]
Semplificando, otteniamo che P(rett) = 3/(n-1), che è una formula che ci piace!
Ora andiamo a considerare i triangoli ottusangoli. Per prima cosa individuiamo una corda, che non sia un diametro): saranno ottusi tutti gli angoli (alla circonferenza) che hanno per vertice un punto appartenente all?arco ?minore? (come sopra definito). Se numeriamo i vertici del poligono di partenza da 1 a n, un diametro sarà, per esempio, quello dato dai punti 1 e (n/2 + 1), mentre corde ?buone? (quelle che ci interessano) saranno, ad esempio quelle con estremi i punti 1 e k, con k<(n/2 +1), cioè k <= n/2.
In buona sostanza le corde ?buone? sono quelle tali che la ?differenza? fra i punti che li individuano (anche?ciclica) sia minore di n/2.
Nel nostro caso (n=2002), laddove un diametro è dato dai punti 1 e 2002, vanno bene, per esempio, tutte le corde che hanno 1 come primo punto e k<=1001, come secondo vale a dire: (1,3); (1,4); (1,5),?.; (1, 1000), (1, 1001).
Procediamo empiricamente: per la corda (1,3) l?unica terna possibile è [1,2,3].
Per la corda (1,4) ce ne sono due: [1,2,4] e [1,3,4]
Per la corda (1,5) ne troviamo tre: [1,2,5]; [1,3,5] e [1,4,5]
Aumentando di una unità il secondo estremo, aumenta di una unità anche il numero delle corde buone, per l?ultima (1,1001) ne avremo 999 (che equivale a (2002/2 ? 1), genericamente: (n/2 -2)
Fissato un estremo (nel nostro caso quello 1) il numero delle corde buone è dato dalla somma di tutti i numeri naturali da 1 a 999, che in generale equivale alla somme dei naturali da 1 a (n/2 -2), il cui totale ci è noto (cfr. formula di Gauss) ed è dato, per m generico, da N = m*(m+1)/2.
Nel nostro caso, m = (n/2 -2) e, attenzione, per trovare tutte le corde buone dovremo moltiplicare il valore di N (di cui sopra), per tutti gli n vertici del poligono (è come se una corda ruotasse sulla circonferenza e, per esempio, la (1,3) diventa la (2,4) e poi la (3,5) e così via fino alla (2002,1)
Calcoliamo N: N =n* m*(m+1)/2, nel nostro caso m = (n/2 ? 2), sostituiamo ed otteniamo:
N = n/2*(n/2 -2)*(n/2 ? 2 +1)= n/2*[(n-4)/2]*[(n-2)/2] = (n/8 )*(n)*(n-2)*(n-4)
che sono tutti i triangoli ottusangoli (ovvero, tutti i possibili angoli alla circonferenza maggiori dell?angolo retto)
se dividiamo N per T(tot) avremo la probabilità di costruire un triangolo ottusangolo:
P(ott) = N/T(tot) = [(n/8 )*(n)*(n-2)*(n-4)]/ [n*(n-1)*(n-2)]/(3*2*1)]
Semplificando si ha P(ott) = (3/4)*[(n-4)/(n-1)]
Avendo ricavato P(rett) e P(ott) si può facilmente ricavare P(acut): P(acut) = 1 ? P(rett) ? P(ott)
Sostituendo, P(acut) = 1 ? [3/(n-1]] ? (3/4)*[(n-4)/(n-1)] = (1/4)*[(n-4)/(n-1)]
Confrontando, verifichiamo che P (ott) = 3*P(acut), cosa che equivale a dire che il numero dei triangoli ottusangoli è pari a tre volte quello dei triangoli acutangoli.
Concludendo, per un poligono di n lati (con n pari)
P(rett) = 3/(n-1)
P(ott,) = (3/4)*[(n-4)/(n-1)]
P (acut) = (1/4)*[(n-4)/(n-1)]
T(tot) = n*(n-1)*(n-2)/6
T(rett) = ½ *n*(n-2)
T(ott.) = (n/8 )*(n)*(n-2)*(n-4)
T (acut) = (n/24)*(n)*(n-2)*(n-4)
I valori relativi al problema specifico sono stati già postati. |
seguono i complimenti  |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 29 Giu 2009 11:48 Oggetto: |
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 e grazie a tutti i partecipanti,
in particolar modo a Jowex e soprattutto a Massive, cui si devono delle splendide intuizioni e delle altrettante mirabili costruzioni grafiche.
credo di esprimere un parere condiviso se dicoche il quesito mi ha assai intrigato : non conoscendo la soluzione mi sono divertito moltissimo a risolverlo, magari in modo assai noioso (spero mi perdonerete  ), ma approfittando, e non poco, delle vostre considerazioni.
bello, mi è piaciuto!
P.S.: il quesito è stato proposto anni fa al concorso di ammissione alla Scuola Normale Superiore di Pisa |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 29 Giu 2009 13:42 Oggetto: |
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Ora capisco perchè la soluzione non era così immediata, avrei dovuto darmi alla matematica!
Comunque ci voleva un po di teoria per chiarire meglio tutto... anche perchè qualche passaggio l'ho mangiato durante la trascrizione.  |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
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| Inviato: 29 Giu 2009 20:50 Oggetto: |
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Anche a me il quesito è piaciuto, quindi grazie Salmastro per averlo postato
| Massive X ha scritto: | | Come ho già deto quello non è il totale, ma un valore ottenuto per calcolare il rapporto tra acutangoli e ottusangoli. |
Non voglio insistere, ma vorrei chiarire che cosa intendo.
In quel post scrivevi: (scrivo in chiaro i numeri, tanto da soli non dicono niente e se qualcuno è arrivato fino a qui...)
4000 triangoli rettangoli, 999.000 triangoli acutangoli e 2.999.000 triangoli ottusangoli
invece, per ottenere le probabilità corrette mantenendo il tuo tipo di conteggio, avresti dovuto avere:
6000 triangoli rettangoli, 999.000 triangoli acutangoli e 2.997.000 triangoli ottusangoli (e infatti 999.000 * 3 fa 2.997.000, non 2.999.000)
e, dato che dopo hai scritto le formule esatte, rileggendo il post dovresti trovare facilmente i 2000 triangoli rettangoli mancanti  |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 30 Giu 2009 00:10 Oggetto: |
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ah, non mi ero accorto di aver scritto male, anche perchè mi pare ovvio che 999.000*3 non fa 2.999.000 eppure continuavo a "vedere" i numeri esatti, sono troppo distratto!  |
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