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* Bimbi nuovi e vecchie capre
Nuovo argomento   Rispondi    Indice del forum -> Enigmi e giochi matematici
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
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MessaggioInviato: 29 Apr 2009 19:53    Oggetto: * Bimbi nuovi e vecchie capre Rispondi citando

Un quesito sulle probabilità che mi lascia assai perplesso?di sicuro assai di più del famoso enigma detto delle ?tre porte?, che, per chi non lo conoscesse e si voglia, magari, cimentare, riporto qui di seguito:

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?

e, per eliminare qualsiasi ambiguità, posto anche una versione più estesa:

? Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte;
? Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato;
? Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta;
? Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta;
? Il conduttore aprirà sempre una porta che nasconde una capra;
o Cioè, se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra;
o Se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti;
? Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.


Ma ritorniamo a bomba! il quesito che propongo, in realtà è il seguente:

Una coppia di nostri amici ha appena avuto un bambino, ma, come accade in Matelandia, il sesso del nascituro è per noi un`incognita.
Quello che si sa è che nella nursery erano presenti due maschietti e un numero imprecisato di femminucce; dopodiché, è stato aggiunto il "bimbo? dei nostri amici.
Successivamente a quest'aggiunta, è stato scelto un ?baby? per il cambio: il prescelto si è rivelato essere maschio.

A questo punto, ci sentiamo in diritto di avanzare un'ipotesi sul sesso del figliolo dei nostri amici.

Domanda: quali sono le probabilità che ci abbia azzeccato?



Naturalmente se si vuole discutere anche di capre ed automobili (benché quell?enigma sia un ?classico?), ben vengano gli interventi! Very Happy
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ZTP
Eroe
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MessaggioInviato: 30 Apr 2009 13:42    Oggetto: Rispondi citando

Monty Hall *Q*

Non sono sicuro di aver compreso bene il secondo problema. Dunque, ci sono 2 maschi e X femmine, e aggiungiamo un altro neonato - maschio o femmina che sia; quindi, scambiamo questo neonato con un altro preso a caso, che si rivela essere un maschio. E ora bisogna trovare il sesso più probabile del neonato scambiato. Ho capito bene?
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 30 Apr 2009 14:47    Oggetto: Rispondi citando

ZTP ha scritto:
Monty Hall *Q*

Non sono sicuro di aver compreso bene il secondo problema. Dunque, ci sono 2 maschi e X femmine, e aggiungiamo un altro neonato - maschio o femmina che sia; quindi, scambiamo questo neonato con un altro preso a caso, che si rivela essere un maschio. E ora bisogna trovare il sesso più probabile del neonato scambiato. Ho capito bene?


preciso: cambio nel senso di "cambio del pannolino"

per cui riassumo gli eventi che portano alla domanda finale (che è qual è il sesso più probabile del bimbo "incognito"?):

nasce bimbo dal sesso a noi sconosciuto;
viene portato in una nursery dove son già presenti 2 maschi ed un numero imprecisato di femminucce;
dopo un certo tempo UNO fra i bimibi che (adesso) son presenti (compreso il ns. incognito) viene prelevato per il "cambio del pannolino";
il neonato prelevato si scopre esser maschio.-
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ZTP
Eroe
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Residenza: Terra, terzo pianeta dal Sole

MessaggioInviato: 30 Apr 2009 21:42    Oggetto: Rispondi citando

Ah ^^" Grazie della delucidazione a prova di me.

Citazione:
Dunque, vediamo se ho capito da che punto di vista va ricercata la soluzione... Se applichiamo rigidamente le leggi della probabilità, il neonato scelto può essere maschio solo se la probabilità di pescarlo è >= 50%; quindi, il numero di maschi dev'essere pari o superiore a quello delle femmine.
I maschi possono essere solo 2, se baby è femmina, o 3, in caso contrario; il numero di femmine è di conseguenza <= 2 nel primo caso e <= 3 nel secondo (baby = figlio degli amici). I casi sono:
1) baby è femmina:
1.1) 2 maschi e 1 femmina -> caso favorevole
1.2) 2 maschi e 2 femmine -> caso favorevole
1.3) 2 maschi e 3+ femmine -> caso sfavorevole
2) baby è maschio:
2.1) 3 maschi e 0 femmine -> caso favorevole
2.2) 3 maschi e 1 femmina -> caso favorevole
2.3) 3 maschi e 2 femmine -> caso favorevole
2.4) 3 maschi e 3 femmine -> caso favorevole
2.5) 3 maschi e 4+ femmine -> caso sfavorevole

Quindi se baby fosse maschio ci sarebbero 2 probabilità in più di pescare un maschio.


... ma anche senza tutto questo macello, più maschi ci sono, più è facile "pescare" un maschio; quindi, se baby fosse maschio, aumenterebbe la probabilità di scegliere un maschio.

Spero di non aver preso un abbaglio colossale Laughing
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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MessaggioInviato: 01 Mag 2009 09:36    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:
Gli eventi possibili sono:
A1: il bimbo della coppia e' maschio
A2: il bimbo della coppia e' femmina
B1: il bimbo scelto per il cambio e' maschio
B2: il bimbo scelto per il cambio e' femmina
Ovviamente P(A1)=P(A2)=1/2

Noi vogliamo calcolare la probabilita' che il bimbo della coppia sia maschio dato il fatto che il bimbo scelto per il cambio e' maschio, ovvero la probabilità condizionata P(A1|B1)
Per il teorema della probabilita' composta, dati due eventi A1 e B1 non indipendenti::
P(A1,B1) = P(A1|B1)*P(B1) = P(B1|A1)*P(A1)
quindi: P(A1|B1) = P(B1|A1)*P(A1)/P(B1)
Inoltre per il teorema della probabilita' assoluta:
P(B1) = P(B1|A1)*P(A1)+P(B1|A2)*P(A2)
Sostituendo ottengo:(*)
P(A1|B1) = [P(B1|A1)*P(A1)] / [P(B1|A1)*P(A1)+P(B1|A2)*P(A2)] = 1 / [1 + P(B1|A2)*P(A2)/[P(B1|A1)*P(A1)]]
Per calcolare le probabilità ancora non note, chiamo N il numero di femmine presenti all'inizio, prima dell'aggiunta del bimbo:
P(B1|A1) = 3/(3+N) (perché se si verifica A1 allora ci sono 3 maschi e N femmine)
P(B1|A2) = 2/(2+N+1) = 2/(3+N) (perché se si verifica A2 allora ci sono 2 maschi e N+1 femmine)
Risultato: P(A1|B1) = 1 / [1 + 2/3] = 3/5 ovvero e' piu' probabile che sia maschio, e non dipende dal numero di femmine N!
Invece la dipendenza da N sarebbe rimasta se si fosse verificato l'evento B2 al posto di B1.

(*) la relazione ottenuta è il teorema di Bayes....
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 02 Mag 2009 09:52    Oggetto: Rispondi citando

@ ZTP: purtroppo hai trascurato l'"effetto capra" Sad

...cosa che, invece non ha fatto JOWEX, con la sua impeccabile soluzione! Very Happy

...per Jowex Applause Applause complimenti Applause Applause

e con l'occasione lo invito a confezionarcene una "ad usum delphini", per noi poveri mortali Embarassed

del caso, vedo se riesco a farla io Very Happy
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ZTP
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MessaggioInviato: 02 Mag 2009 13:05    Oggetto: Rispondi citando

Omg Shocked Complimenti davvero... che magra figura xD
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Salmastro
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MessaggioInviato: 04 Mag 2009 13:04    Oggetto: Rispondi citando

3-soluzioni-3 ad usum delphini Wink

la prima:

Citazione:
Detto F il numero delle femmine presenti, l`arrivo del sessualmente ignoto baby modifica il rapporto M/F (che prima era 2/F) nei due possibili valori 3/F+1 se è un maschietto o in 2/F+1 se è una femminuccia.
L?`estrazione? (a posteriori) di un maschietto durante il cambio è un evento (accaduto) che avrebbe avuto quindi probabilità a priori 3 su 5 in un caso e 2 su 5 nell`altro, per cui si può concludere che il rapporto probabilistico sul sesso del baby è pari a 3/5 per il sesso maschile e 2/5 per quello femminile.


oppure:
Citazione:
abbiamo assistito all`evento "cambio d'un maschietto". Possiamo pensare che tale ?evento verificato? ha possibilità 2/F+3 se il baby è femmina, e probabilità 3/F+3 se invece è maschio. Ora ?usiamo? l?evento accaduto per stabilire le diverse probabilità dei due "scenari",
Visto quel che è successo, e visto che il denominatore (l`universo degli eventi: F+3) e` uguale, "decidiamo" che il primo scenario ha probabilità "tre parti", e il secondo "due parti". Andiamo a normalizzare, sapendo che la "somma degli scenari" dà la totalità degli scenari possibili e quindi ho 3/(3+2) per P(M) e 2/(3+2) per P(F).


ed infine,
Citazione:
se abbiamo F femmine, M maschi e 1 incognito, abbiamo questi casi (si indica la
probabilità):

A. (0.5)/(M+F+1) --> si sceglie il neo-neonato, ed è femmina
B. (0.5)/(M+F+1) --> si sceglie il neo-neonato, ed è maschio
C. (F/2)/(M+F+1) --> si sceglie una delle femmine "anziane", e il nostro
neo-neonato è maschio
D. (F/2)/(M+F+1) --> si sceglie una delle femmine "anziane", e il nostro
neo-neonato è femmina
E. (M/2)/(M+F+1) --> si sceglie uno dei maschi "anziani",e il nostro neoneonato
è maschio
F. (M/2)/(M+F+1) --> si sceglie uno dei maschi "anziani",e il nostro neoneonato
è femmina

I casi possibili a posteriori sono solo B, E ed F. Di questi, B ed E ci danno un maschio, F una femmina.
Quindi la nostra probabilità e` data da

(P(B)+P(E)) / ((P(B)+P(E)+P(F))

i denominatori si annullano e ottengo
((M+1)/2) / (2M+1)/2) = (M+1)/(2M+1).

Nel nostro caso, M=2 quindi arriviamo a 3/5.


P.S.: nessuno interviene sulle capre??? Rolling Eyes
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Jowex
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Registrato: 15/04/06 14:20
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MessaggioInviato: 12 Mag 2009 20:58    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Detto F il numero delle femmine presenti, l`arrivo del sessualmente ignoto baby modifica il rapporto M/F (che prima era 2/F) nei due possibili valori 3/F+1 se è un maschietto o in 2/F+1 se è una femminuccia.
L?`estrazione? (a posteriori) di un maschietto durante il cambio è un evento (accaduto) che avrebbe avuto quindi probabilità a priori 3 su 5 in un caso e 2 su 5 nell`altro, per cui si può concludere che il rapporto probabilistico sul sesso del baby è pari a 3/5 per il sesso maschile e 2/5 per quello femminile.

Le soluzioni che hai dato sono sicuramente piu' comprensibili della mia, però ho qualche perplessità sulla prima:
Citazione:
Il rapporto M/F nei due casi diventa 3/F (e non 3/F+1) se maschio oppure 2/(F+1) se femmina. Ma cio' che conta è che la probabilità di estrazione di un maschio non è 3/5 e 2/5, ma 3/(3+F) e 2/(3+F). Quindi a questo punto si ricade tua soluzione 2
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Salmastro
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MessaggioInviato: 13 Mag 2009 11:22    Oggetto: Rispondi

Jowex ha scritto:
salmastro ha scritto:
Detto F il numero delle femmine presenti, l`arrivo del sessualmente ignoto baby modifica il rapporto M/F (che prima era 2/F) nei due possibili valori 3/F+1 se è un maschietto o in 2/F+1 se è una femminuccia.
L?`estrazione? (a posteriori) di un maschietto durante il cambio è un evento (accaduto) che avrebbe avuto quindi probabilità a priori 3 su 5 in un caso e 2 su 5 nell`altro, per cui si può concludere che il rapporto probabilistico sul sesso del baby è pari a 3/5 per il sesso maschile e 2/5 per quello femminile.

Le soluzioni che hai dato sono sicuramente piu' comprensibili della mia, però ho qualche perplessità sulla prima:
Citazione:
Il rapporto M/F nei due casi diventa 3/F (e non 3/F+1) se maschio oppure 2/(F+1) se femmina. Ma cio' che conta è che la probabilità di estrazione di un maschio non è 3/5 e 2/5, ma 3/(3+F) e 2/(3+F). Quindi a questo punto si ricade tua soluzione 2


confermo la fondatezza delle tue perplessità e ti ringrazio dell'attenzione Very Happy
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