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andreasciuto Mortale adepto
Registrato: 24/06/06 14:54 Messaggi: 34 Residenza: catania
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Inviato: 26 Giu 2006 02:13 Oggetto: * Una cosa con cui mi lambicco da anni |
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Problema che ho letto da qualche parte tanto tempo fa, e del quale, ve lo dico subito, *non so la soluzione*, non so neanche *se c'e' una soluzione* e, a rigore, non so neanche dire con certezza se *c'e' un problema* - nel senso che potrebbe semplicemente essere giusta la risposta piu' immediata, e il fatto che intutivamente sembri inaccettabile sia un semplice paradosso della matematica.
Si tratta di questo. Ulisse e Andrea giocano uno strano gioco d'azzardo col lancio di una moneta:
Se al primo lancio esce testa Andrea da' a Ulisse un euro (e la partita e' finita); se esce croce si passa al secondo lancio.
Se al secondo lancio esce testa Andrea da' a Ulisse *due* euro (e la partita e' finita); se esce croce si passa al terzo lancio.
Se al terzo lancio esce testa Andrea da' a Ulisse *quattro* euro (e la partita e' finita); se esce croce si passa al quarto lancio, e cosi' via, raddoppiando sempre la posta.
Ma Andrea dice: Ehi, sono sempre io che pago! Non gioco piu'!
Ulisse invece, che vorrebe continuare il gioco, si lascia scappare la fatidica frase: Ti pago per giocare.
Quanto deve pagare Ulisse perche' Andrea accetti di giocare una partita?
Aspetto le vostre risposte. |
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chegue17 Eroe
Registrato: 05/02/06 16:29 Messaggi: 73
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Inviato: 26 Giu 2006 10:18 Oggetto: ? |
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non ho capito bene la domanda: andrea accetta di giocare solo se i due sono a parità di vincita rispetto alla probabilità di vincere?
Citazione: | se è così io credo che debba dare un sacco di soldini a andrea.. più di quanti ne ha.. |
Ma aspettiamo il responso di Ulisse.. L'altro |
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andreasciuto Mortale adepto
Registrato: 24/06/06 14:54 Messaggi: 34 Residenza: catania
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Inviato: 26 Giu 2006 10:50 Oggetto: Re: ? |
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chegue17 ha scritto: | non ho capito bene la domanda: andrea accetta di giocare solo se i due sono a parità di vincita rispetto alla probabilità di vincere? |
E' chiaro. O non vorrai mica giocare sull'ipotesi di quello che Ulisse potrebbe improsare? |
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chemicalbit Dio maturo
Registrato: 01/04/05 17:59 Messaggi: 18597 Residenza: Milano
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Inviato: 26 Giu 2006 11:06 Oggetto: |
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Citazione: | Di più: infiniti soldini.
Infatti se continua ad uscire croce per n volte e poi testa è vero che Ulisse riceve un numero crescendte di soldi 2 soldi, che è equo rispetto al fatto che la la probabilità che esca una sequenza ininterrotta di n volte croce sia via via inferiore.
Ma tale sequanza continuerà finche non uscirà testa,
e quindi capiterà che Andrea dovrà dei soldi ad Ulisse.
In altre parole è assolutamente impossibile che Andrea riceverà dei soldi
L'unico caso in cui non paga è quello teorico in cui sempre croce (croce per infinte volte). In questo caso però Andrea non riceve soldi (o perlomeno non ne spenda), semplicemente si farà un altro lancio. Nell'ipotesi che abbiamo fatto che esca sempre croce, anche quella volta uscirà croce, e via le successive. Così Andrea in effetti non paghera nulla (se non il fatto di essere impegnato tuta la vita in quell'attività ...) ma neppure guadagnerà nulla.
Non solo, ma per questa possibilità (che è infinitesima, essendo n infinito) rischia di dover pagare una cifra enorme, se solo una volta esce testa
Quanto Andrea deve farsi pagare perché gli convenga (o perlomeno sia equo) giocare a qeusto gioco?
Fose si possono fare vari calcoli (ad es. calcolare la perdita media, tenendo conto delel varie possibilità che determinano i vari importi di perdità) e fissare a quell'importo quanto Andrea debba farsi pagare, ottenendo così una risposta da un punto di vista puramente matematico-probabilistico.
Ma in pratica Andrea rischia di pagare cifre alte, se non altisisme, o addirittura immense (certo, con probabilità man mano decrescente al crescere della somma, è vero), che magari non potrebbe pagare se non venddosi la casa, ecc. ecc. o addirittura non potrebbe pagare in alcun modo.
Di fornte a questo rischio, di pagare una cifra enorme, o addirittura infinita, Andrea non dovrebbe farsi convincere da nessuna offerta di una qulsiasi cifra finita come "pagamento per giocare" da parte di Ulisse. Tranne il teorico caso che questa cifra sia infinita, pagata prima dell'inzio del gioco (ricevuto quel pagamento, Andrea potrebbe gicoare senza rischi, perhcé qualsiasi somma dovrebbe a sua volta pagare, potrebbe farlo) |
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chegue17 Eroe
Registrato: 05/02/06 16:29 Messaggi: 73
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Inviato: 26 Giu 2006 11:08 Oggetto: |
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rettifico: con dei calcoli (un po' a caso in verità.. ma mi fido del mio intuito (forse troppo..)) io direi
Citazione: | 10 * 1/3 ?, cioè 3,33, arrotondando ai centesimi.. |
Ulisse dove sei scappato?!?!?!
ai Caraibi con una collega?
sei rimasto chiuso nei sotterranei della scuola?
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chegue17 Eroe
Registrato: 05/02/06 16:29 Messaggi: 73
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Inviato: 26 Giu 2006 11:12 Oggetto: |
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Citazione: | Fose si possono fare vari calcoli (ad es. calcolare la perdita media, tenendo conto delel varie possibilità che determinano i vari importi di perdità) e fissare a quell'importo quanto Andrea debba farsi pagare, ottenendo così una risposta da un punto di vista puramente matematico-probabilistico. |
Credo che il significato sia proprio quello.. la storiella della scommessa tra andrea e ulisse è solo un abbellimento.. (credo )
in termini probabilistici quindi |
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chegue17 Eroe
Registrato: 05/02/06 16:29 Messaggi: 73
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Inviato: 26 Giu 2006 11:26 Oggetto: |
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rirettifico la mia risposta: Con altrettanti calcoli intuitivi, ri giungo alla conclusione che
Citazione: | Ulisse non ha abbastanza soldi da dare a andrea per giocare.. |
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alb82 Mortale pio
Registrato: 18/05/06 09:36 Messaggi: 27
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Inviato: 26 Giu 2006 14:06 Oggetto: |
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Citazione: | irettifico la mia risposta: Con altrettanti calcoli intuitivi, ri giungo alla conclusione che
Citazione:
Ulisse non ha abbastanza soldi da dare a andrea per giocare.. |
Se fossi andrea mi accontenterei di dieci euro (naturalmente senza alcun ragionamento logico)
Secondo me una cifra c'è, forse una serie tipo probabilità evento per soldi.
Tipo 1/2(prob)*1(soldi) + 1/4*2 + ... Converge??? Bo? non mi va di pensarci. |
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chegue17 Eroe
Registrato: 05/02/06 16:29 Messaggi: 73
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Inviato: 26 Giu 2006 15:29 Oggetto: |
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te lo dico io, non converge.. ma bisona edere se il ragionamento è giusto.. |
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alb82 Mortale pio
Registrato: 18/05/06 09:36 Messaggi: 27
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Inviato: 27 Giu 2006 10:02 Oggetto: |
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Citazione: | te lo dico io, non converge.. |
E sì, bastava pensarci 3 secondi
Butto lì un esempio che mi fa pensare che una soluzione deve esserci.
Che probabilità c'è che esca testa nei primi 7 lanci. Faccio la somma delle probabilità dei singoli eventi. testa al primo:1/2 , croce al primo testa al secondo 1/4... La somma è 127/128 cioè più del 99% di possibilità. Al settimo lancio andrea deve pagare 64 euro. Voi noi li accetereste 70 euro se vi dicono che avete il 99% di vincere qualcosa? |
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chegue17 Eroe
Registrato: 05/02/06 16:29 Messaggi: 73
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Inviato: 27 Giu 2006 19:51 Oggetto: |
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chegue17 ha scritto: | te lo dico io, non converge.. ma bisona edere se il ragionamento è giusto.. |
sono un po' stanchino ultimamente...
Citazione: | Voi noi li accetereste 70 euro se vi dicono che avete il 99% di vincere qualcosa? |
beh, bisogna vedere quanto perdo se capita proprio quell'uno per cento ...
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andreasciuto Mortale adepto
Registrato: 24/06/06 14:54 Messaggi: 34 Residenza: catania
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Inviato: 27 Giu 2006 23:51 Oggetto: |
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Quella somma non converge, da' piu' infinito.
Anche a me risultava infinito.
Ma mi chiedo: supponi di essere Ulisse, e che Andrea ti dica: "Infiniti euri? Io mi accontento di mille. Che cosa sono mille euri di fronte all'infinito?"
Tu accetteresti di pagare mille euri per una partita che, e' vero, virtualmente ti permette vinicte infinite (anche se a probabilita' infime), ma in cui hai meno dello 0,3% di probabilita' di non perdere (e parliamo di una perdita minima di 488 euri), e cinquanta probabilita' su cento ti tornera' indietro solo un euro?
Non capisco invece come chegue17 arrivi a 3,33 (ho letto che e' 10*1/3, ma da dove viene 10*1/3?) |
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andreasciuto Mortale adepto
Registrato: 24/06/06 14:54 Messaggi: 34 Residenza: catania
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Inviato: 28 Giu 2006 00:18 Oggetto: |
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Chemicalbit ha fatto un ragionamento comprensibile
(cito in chiaro, tanto non e' un quiz, no?)
chemicalbit ha scritto: |
Fose si possono fare vari calcoli (ad es. calcolare la perdita media, tenendo conto delel varie possibilità che determinano i vari importi di perdità) e fissare a quell'importo quanto Andrea debba farsi pagare, ottenendo così una risposta da un punto di vista puramente matematico-probabilistico. |
(Naturalmente ha ragione Chegue 17, era proprio questo calcolo che io mi chiedevo... La storia della scommessa serve in qualche modo a calare il problema in un contesto.)
chemicalbit ha scritto: |
Ma in pratica Andrea rischia di pagare cifre alte, se non altisisme, o addirittura immense (certo, con probabilità man mano decrescente al crescere della somma, è vero), che magari non potrebbe pagare se non venddosi la casa, ecc. ecc. o addirittura non potrebbe pagare in alcun modo.
Di fornte a questo rischio, di pagare una cifra enorme, o addirittura infinita, Andrea non dovrebbe farsi convincere da nessuna offerta di una qulsiasi cifra finita come "pagamento per giocare" da parte di Ulisse. |
Giustissimo ma non pertinente. Supponi che anziche' raddoppiare la posta a ogni lancio si aggiunga un euro alla posta precedente. La perdita di Andrea sarebbe
1/2+2/4+3/8+4/16+... = 2 (se non sbaglio)
Il tuo ragionamento vale anche qua, con la possibilita' di perdite anche altissime ecc. Ma se Ulisse offre per ogni partita una cifra superiore a 1,5 euri (se non vado errato), il gioco sarebbe vantaggioso per Andrea - in teoria, ovviamente, perche' coi modelli non deterministici la probabilita' non garantisce niente e, come dice un buon proverbio, contro la sfiga ragion non vale; ma diciamo che, su un numero di partite che tende a infinito, dovrebbe farsi sempre piu' netto il vantaggio di Andrea.
Il punto, nel problema originario, era invece proprio il fatto che la somma non converge ad alcun valore finito, laddove il senso comune, come giustamente nota Alb, sembra suggerire una speranza matematica' piuttosto bassa.
Puo' essere, come ho detto all'inizio, che non ci sia in effetti alcun problema, e il nostro senso comune, semplicemente, si sbagli. |
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chegue17 Eroe
Registrato: 05/02/06 16:29 Messaggi: 73
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Inviato: 28 Giu 2006 08:38 Oggetto: |
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andreasciuto ha scritto: | Non capisco invece come chegue17 arrivi a 3,33 (ho letto che e' 10*1/3, ma da dove viene 10*1/3?) |
semplicemente avevo fatto un paio di prove, ma mi ero fermato a pochi passaggi, quindi sembrava che convergesse a 3,3..
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 17 Lug 2006 12:49 Oggetto: |
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chegue17 ha scritto: | Ulisse dove sei scappato?!?!?!
ai Caraibi con una collega?
sei rimasto chiuso nei sotterranei della scuola?
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La seconda che hai scritto!
Per fortuna che è passato un bidello...
Mi sembra di essere finito in un girone dantesco a patire come un dannato la legge del contrappasso: il colmo di un matematico credo proprio sia quello di invischiarsi nei paradossi.
Nel mio caso i paradossi che mi attanagliano riguardano le finanze:
1) paradossalmente i miei guadagni sono inversamente proporzionali al numero di attestati e diplomi in mio possesso
2) paradossalmente le tasse che pago sono inversamente proporzionali al mio guadagno
3) paradossalmente i miei risparmi sono direttamente proporzionali alle spese
Detto in altri termini: quando lavoravo in banca prima di laurearmi guadagnavo un sacco di soldi, non pagavo tasse (nel senso che, in quanto lavoratore dipendente, ci pensava l'azienda per mio conto), potevo permettermi anche qualche spesa extra e nonostante ciò il conto non andava mai in rosso.
Invece ora che posso esibire una laurea e una specializzazione non guadagno più una cicca, essendo lavoratore autonomo con piccoli contratti presso tante aziende non solo mi ritrovo un conguaglio spaventoso da pagare entro giovedì, ma addirittura (e non ho capito perché) mi tocca pagare entro novembre un anticipo sulle tasse dell'anno prossimo e, nonostante abbia ridotto le spese a zero, non mi resta nulla in tasca...
Mi viene quasi da chiedermi: ma quanto ancora Ulisse è disposto a pagare per continuare a lavorare?
Lasciando da parte i piagnistei (altrimenti mi tocca splittarmi) mi butto a bomba su questo classico problema proposto da Andrea.
Ovviamente tutti i testi a mia disposizione che ne parlano sono a casa e io non sono a casa... quindi vado a memoria.
In generale, dato un gioco d'azzardo per il quale sia nota la vincita e la probabilità di vittoria, il problema consiste nel determinare la scommessa equa ovvero la massima cifra che un giocatore è disposto a pagare per partecipare.
Ovviamente viene richiesto l'equilibrio mentale delle parti ovvero che nessuna delle parti sia così folle da proporre o accettare cifre svantaggiose.
Qui c'è un'ottima spiegazione del concetto di scommessa equa.
La risposta al problema generale è che la scommessa equa corrisponde alla speranza matematica della variabile aleatoria che rappresenta la vincita. In pratica è la vincita media.
Nel caso specifico la probabilità di vincere al tentativo n-esimo è pari a (1/2)^n
La vincita corrispondente è 2^(n-1).
Poichè 0<=n<infinito , la vincita media richiede il calcolo di una serie che però è divergente in quanto il suo termine generale 2^(n-1) * (1/2)^n = 1/2 è costante.
Quindi la vincita media è infinita e il gioco non risulta mai equo ma sempre a favore di Ulisse e quindi dovrebbe essere Andrea a rifiutare qualsiasi offerta.
In effetti non è Andrea a proporre una scommessa ad Ulisse ma il viceversa.
E' Ulisse che mette sul tavolo una cifra x (per praticità x=2^N) e scommette con Andrea di riuscire a fare croce per almeno N volte consecutive.
Se ci riesce, ogni croce in più comporta un guadagno per Ulisse. Se non ci riesce, ogni croce in meno comporta un guadagno per Andrea.
Proviamo a fare una piccola divagazione?
Supponiamo che tanto Andrea che Ulisse abbiano capitali infiniti a disposizione e altrettanto tempo per poter ripetere all'infinito il gioco ogni volta che una mano si conclude con l'uscita di una testa (ma parliamo di probabilità o di un orripilante esperimento di genetica?)
Supponiamo che la cifra da pagare ad ogni mano sia sempre la stessa (ovvero che N sia fissato).
E' ancora vero che ad Andrea conviene sempre rifiutare? 8)
Pare che Rosencranz e Guildestain siano morti prima di scoprirlo... |
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damon666 Mortale devoto
Registrato: 19/11/07 15:34 Messaggi: 5
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Inviato: 30 Gen 2008 22:31 Oggetto: |
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Per essere un "gioco equo" allora bisogna Ulisse deve pagare ad Andrea Euro 1,50
La statistica teoricamente dice che su 2 lanci uno sarà testa ed uno croce indipendentemente da quale sarà il primo!
Quindi il gioco si interrompe al secondo lancio al massimo!
Se si interrompe al primo Andrea pagherà Euro 1 e guadagnerà Euro 0,50.
Se si interrompe al secondo Andrea pagherà Euro 2 e perderà Euro 0,50.
Vincita = perdita e quindi "gioco equo".
Soddisfatti? |
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Jowex Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20 Messaggi: 90
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Inviato: 03 Feb 2008 12:09 Oggetto: |
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damon666 ha scritto: | La statistica teoricamente dice che su 2 lanci uno sarà testa ed uno croce indipendentemente da quale sarà il primo!
Quindi il gioco si interrompe al secondo lancio al massimo!
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Stai scherzando, vero? |
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damon666 Mortale devoto
Registrato: 19/11/07 15:34 Messaggi: 5
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Inviato: 08 Feb 2008 17:37 Oggetto: |
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Jowex ha scritto: | damon666 ha scritto: | La statistica teoricamente dice che su 2 lanci uno sarà testa ed uno croce indipendentemente da quale sarà il primo!
Quindi il gioco si interrompe al secondo lancio al massimo!
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Stai scherzando, vero? |
ASSOLUTAMENTE NO!
So benissimo che il gioco può andare avanti all'infinito, ma se ci atteniamo alle regole probabilistiche, allora su 2 lanci uno sarà testa ed uno croce ---> il gioco si interrompe al massimo al secondo lancio!
...semplice semplice... |
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Jowex Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20 Messaggi: 90
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Inviato: 09 Feb 2008 10:47 Oggetto: |
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ok, allora dicevi sul serio....
cercherò di convincerti che l'affermazione che ho quotato nel post precedente non è corretta.
la teoria delle probabilità NON dice che su 2 lanci uno sarà croce e uno sarà testa.
al massimo si può dire che, se i due eventi sono equiprobabili e il numero di lanci tende all'infinito, allora metà saranno testa e metà croce.
al contrario, la probabilità che su 2 lanci indipendenti uno sia testa e l'altro sia croce è del 50%. infatti possono verificarsi 4 situazioni equiprobabili:
A. 1° lancio: testa - 2° lancio: testa
B. 1° lancio: croce - 2° lancio: croce
C. 1° lancio: testa - 2° lancio: croce
D. 1° lancio: croce - 2° lancio: testa
ognuno dei 4 casi ha probabilità 1/4 = 0,25
e sommando la probabilità dei casi C e D si ottiene 0,50 = 50%
Tornando al gioco, la probabilità che termini:
dopo il 1° lancio è 0,50=50%
dopo il 2° lancio è 0,50*0,50=0,25=25%
dopo il 3° lancio è 0,25*0,50=0,125=12,5%
dopo il 4° lancio è 0,125*0,50=0,0625=6,25%
....
dopo l'n-esimo lancio: 0,50^n
e la somma (da n=1 a infinito) di tutte le probabilità dà 1.
Quindi la probabilità che il gioco termini prima del 3° lancio è solo del 75%.
damon666 ha scritto: | ...semplice semplice... |
non è poi così semplice come credevi 8) |
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mdweb Dio maturo
Registrato: 18/12/07 15:59 Messaggi: 4412
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Inviato: 09 Feb 2008 14:21 Oggetto: Re: * Una cosa con cui mi lambicco da anni |
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andreasciuto ha scritto: | Problema che ho letto da qualche parte tanto tempo fa, e del quale, ve lo dico subito, *non so la soluzione*, non so neanche *se c'e' una soluzione* e, a rigore, non so neanche dire con certezza se *c'e' un problema* - nel senso che potrebbe semplicemente essere giusta la risposta piu' immediata, e il fatto che intutivamente sembri inaccettabile sia un semplice paradosso della matematica.
Si tratta di questo. Ulisse e Andrea giocano uno strano gioco d'azzardo col lancio di una moneta:
Se al primo lancio esce testa Andrea da' a Ulisse un euro (e la partita e' finita); se esce croce si passa al secondo lancio.
Se al secondo lancio esce testa Andrea da' a Ulisse *due* euro (e la partita e' finita); se esce croce si passa al terzo lancio.
Se al terzo lancio esce testa Andrea da' a Ulisse *quattro* euro (e la partita e' finita); se esce croce si passa al quarto lancio, e cosi' via, raddoppiando sempre la posta.
Ma Andrea dice: Ehi, sono sempre io che pago! Non gioco piu'!
Ulisse invece, che vorrebe continuare il gioco, si lascia scappare la fatidica frase: Ti pago per giocare.
Quanto deve pagare Ulisse perche' Andrea accetti di giocare una partita?
Aspetto le vostre risposte. |
Che mal di testa! |
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