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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 21 Feb 2007 18:28 Oggetto: QUIZ: Circuiti chiusi |
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Scusate il titolo ma questo quesito me lo sono inventato or ora.
Stavo leggendo uno degli innumerevoli libri di Gardner e una figura mi ha stuzzicato la fantasia.
Non mi illudo di aver inventato niente di nuovo. Probabilmente appena postato il quesito e ripresa la lettura mi renderò conto che nella pagina successiva MG propone proprio questo problema.
Potevo evitare la premessa per non passare per vanitoso ma voglio mettere le mani avanti nel caso il quesito sia più ovvio di quanto, al momento mi sembri.
Bando alle ciance, ecco il quesito.
Prendete un solido platonico.
Tanto per cominciare prendiamo il più semplice ovvero il cubo. La possibilità di generalizzare ce la riserviamo per dopo.
Prendete delle etichette adesive grandi quanto una faccia del cubo.
Disegnate sulle etichette delle linee.
Ne avremo solo di due tipi:
Tanto per intenderci chiamiamole L e I.
Bene.
Il problema è il seguente.
Prendiamo 22 cubi ed etichette a piacere.
Componete un qualsiasi solido con i 22 cubi in modo che essi siano sempre accostati tra loro per una faccia.
Trovate un modo di disporre le etichette sulle facce esposte dei cubi in modo da formare il più lungo circuito chiuso possibile.
A parità di lunghezza vince chi realizza il circuito col minor numero possibile di etichette di tipo L.
Che ve ne pare?
A prima vista mi pare ci possa impegnare per un pochetto.
Spero non abbia una soluzione banale che mi è passata inosservata... |
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axlman Dio minore
Registrato: 19/10/06 16:58 Messaggi: 582 Residenza: l'Universo più scalcinato del Multiverso
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Inviato: 21 Feb 2007 20:09 Oggetto: |
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Figure non riesco a farne, provo a parole.
Considerato che le |_ e le | hanno la stessa lunghezza, usando tale lunghezza come unità di misura ho trovato come lunghezza massima 90 con questa disposizione
Citazione: | Codice: | Metto i cubi in fila trovando un parallelepipedo di 1x1x22
Faccia superiore del cubo 1x22:
_
1) |
2) |
? tutte così?
22) |
Faccia anteriore 1x1
_|
Faccia sinistra 1x22
1) |
2) |
?ecc?
22) |
Faccia posteriore 1x1
_
|
Faccia inferiore 1x22
1) |
2) |
?
22) |_
Faccia destra 1x22
_
1) |
2) |
?
22) |_
Ottenedo una lunghezza 22x4+2 = 90.
In questo modo nascondo il minor numero di facce possibile, uso il minor numero di L possibile, cioè 6 (almeno credo, essendoci 6 facce nel parallelepipedo) e tutte le facce a vista vengono attraversate una volta. |
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Se qualcuno riesce a disegnare la mia figura, gliene sarai grato.
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Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
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Inviato: 21 Feb 2007 20:34 Oggetto: |
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...in sostanza, visto che non so cosare i disegni, tu metti Citazione: | tutti i cubi in fila e sui 20 interni attacchi le | , e sui "tappi" 4 | e 2 L per ciascuno. |
...sarebbe la soluzione "banale" temuta da Ulisse...
mi sa che di meglio non si può fare: Citazione: | 6 facce per cubo ---> 132 facce in totale. Attaccando a 2 a 2 i cubi, per ogni "attacco" si "oscurano" due facce: 21 "attacchi" ---> 42 facce oscurate e 132-42=90... |
sbaglio?
ciao
Salmastro |
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axlman Dio minore
Registrato: 19/10/06 16:58 Messaggi: 582 Residenza: l'Universo più scalcinato del Multiverso
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Inviato: 21 Feb 2007 20:42 Oggetto: |
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Tutto giusto con un piccolo neo:
su ciascun "tappo" metto 3 |_ e 2 | (il sesto lato è coperto e ininfluente) e non 2 |_ e 4 |
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Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
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Inviato: 21 Feb 2007 21:15 Oggetto: |
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hai ragione!
salmastro |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 22 Feb 2007 09:36 Oggetto: |
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Uhm... in effetti, così posto, il problema è banale.
Non nel senso che è facile ma nel senso che è ovvio.
Se vogliamo il circuito più lungo dobbiamo disporre i cubi a lombrico per ridurre al minimo le facce coperte.
Ci dovevo arrivare... Ho fatto il disegnino con due soli cubi e non mi sono reso conto che inserendo in mezzo altri cubi le cose non cambiano...
Consideriamo quanto fatto finora un riscaldamento.
Devo trovare un altro modo di formulare il problema altrimenti "le cose strane" che speravo non vengono fuori...
Allora eliminiamo il vincolo della lunghezza massima e sostituiamolo così:
Dati i soliti 22 cubi e, in quantità a piacere, le etichette L e I trovare una disposizione di cubi ed etichette che consenta di formare un circuito chiuso che passi per tutte le facce esposte del solido e col minor numero possibile di etichette L.
In sostanza provate a trovare un'altra disposizione dei cubi che dia lo stesso risultato ottenuto da Axlman ma con meno "curve"
Non importa se la lunghezza del circuito è inferiore.
L'obiettivo è fare meno curve ma passando per tutte le facce esposte. |
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axlman Dio minore
Registrato: 19/10/06 16:58 Messaggi: 582 Residenza: l'Universo più scalcinato del Multiverso
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Inviato: 22 Feb 2007 09:46 Oggetto: |
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ulisse ha scritto: | In sostanza provate a trovare un'altra disposizione dei cubi che dia lo stesso risultato ottenuto da Axlman ma con meno "curve"
Non importa se la lunghezza del circuito è inferiore.
L'obiettivo è fare meno curve ma passando per tutte le facce esposte. |
Scusa ma non ho capito: io sono passato per tutte le facce esposte dei cubi e meno di 6 |_ , cioè 6 "curve", non è possibile perché il parallelepipedo ha sei facce e per ricoprire tutte le facce dei cubi devo passare per tutte e 6 le facce del parallelepipedo.
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Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
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Inviato: 22 Feb 2007 11:13 Oggetto: |
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scusami Ulisse, ma con 22 cubi, come rispoilero,
Citazione: | le facce esposte non sono sempre e solo 90? |
e poi credo che abbia ragione axlman sul numero minimo di L...
ciao
Salmastro |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 22 Feb 2007 13:52 Oggetto: |
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Se cade il vincolo della massima lunghezza, i cubi possono anche essere disposti diversamente (ad esempio formando un parallelepipedo) riducendo il numero di facce esposte.
Sto pensando a qualche configurazione dei cubi che, in virtù della sua forma, consenta (è un'ipotesi, non è una certezza) di ridurre il numero di L.
Suggerimento assai forte:
Citazione: | Con una configurazione che assomigli ad una generalizzazione del nastro di Moebius ho la sensazione che il numero di L possa essere ridotto a 4. Può darsi che mi sbagli, però! La configurazione sono certo si possa realizzare, il circuito chiuso anche. Ciò che non sono ancora riuscito a verificare è il numero di L. |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 22 Feb 2007 15:54 Oggetto: |
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L'idea che stavo seguendo (ma ormai non ho più speranze che funzioni ) era questa.
Disponendo i cubi in linea, per cambiare faccia servono due L:
Se, invece, disponiamo i cubi ad angolo, per cambiare faccia basta una sola L:
Pensavo che con un solido fatto più o meno così (trascurate che non so contare e l'ho fatto con 20 cubi anziché con 22):
si riuscisse a risparmiare qualche L.
Ma temo proprio che in qualunque variante si riesca ad immaginare, il risparmio sia accompagnato da un proliferare di nuovi angoli.
Siete, sigh, d'accordo?
Peccato... l'idea mi era sembrata stuzzicante...
Qualcuno vede sviluppi interessanti o dobbiamo considerare chiuso l'argomento con la soluzione di Axlman?
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Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
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Inviato: 22 Feb 2007 16:15 Oggetto: |
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...per quanto mi riguarda, penso che solo Escher ci potrebbe dare una mano...
ciao
Salmastro
(non inserisco immagini per timore di scorrettezze...) |
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axlman Dio minore
Registrato: 19/10/06 16:58 Messaggi: 582 Residenza: l'Universo più scalcinato del Multiverso
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Inviato: 23 Feb 2007 02:02 Oggetto: |
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Il nastro di Moebius si può realizzare perché è una superficie bidimensionale che si può "piegare" in uno spazio tridimensionale: i cubi e ciò che con essi si può formare sono già tridimensionali, quindi?
È vero che invece di mettere i cubi in fila tipo "lombrico" puoi metterli a formare un "serpente che si morde la coda" cioè una ciambella a forma di parallelepipedo, mantenendo inalterato il numero delle facce nascoste, però resta il fatto che devi usare le |_ per cambiare faccia del parallelepipedo e in più aggiungi delle L inutili, necessarie a seguire le curve di una singola faccia.
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Taifu Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13 Messaggi: 203
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Inviato: 23 Feb 2007 09:17 Oggetto: |
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axlman ha scritto: | Il nastro di Moebius si può realizzare perché è una superficie bidimensionale che si può "piegare" in uno spazio tridimensionale: i cubi e ciò che con essi si può formare sono già tridimensionali, quindi? |
Niente da fare con qualche ipercubo o con la quarta dimensione? |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 23 Feb 2007 12:08 Oggetto: |
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axlman ha scritto: | Il nastro di Moebius si può realizzare perché è una superficie bidimensionale che si può "piegare" in uno spazio tridimensionale: i cubi e ciò che con essi si può formare sono già tridimensionali, quindi? |
Vero. Ma esiste una generalizzazione del nastro di Moebius che MG chiama "Twisted prismatic rings" (anelli prismatici ruotati) che forse noi tradurremmo con Poliedri toroidali con torsione (starebbe bene anche tori poliedrici ruotati ma ha interpretazioni fantabucoliche).
Il toro, per chi non lo sapesse, è una specie di ciambella o di salvagente.
Se fate scorrere una circonferenza lungo un segmento perpendicolare ad essa e passante per il suo centro si ottiene un cilindro a sezione circolare.
Se la stessa circonferenza la fate scorrere lungo un'altra circonferenza (anch'essa perpendicolare e passante per il centro) ottenete un toro a sezione circolare.
Se la figura piana che fate scorrere lungo il segmento è un poligono ottenete un parellelepipedo la cui sezione è il poligono iniziale.
Se fate scorrere il poligono lungo una circonferenza ottenete il famigerato anello prismatico.
Supponiamo che il poligono sia un n-gono (poligono regolare a n lati) e che durante lo scorrimento esso ruoti intorno al suo centro di un angolo pari a k/n volte un angolo giro, quello che otterrete sarà l'anello prismatico ruotato.
Se MCD(k,n)=1 ottenete un solido con una sola faccia e un solo spigolo.
Ecco qui la generalizzazione del nastro di Moebius!
Su tale figura è pertanto possibile disegnare una linea chiusa che percorre tutta la superficie del solido senza mai fare una curva.
Ciò che impedisce la sua realizzazione con dei cubi non è la non esistenza della figura ma la sua torsione (per chiudere il parallepipedo su sé stesso) che è impossibile senza deformare i cubi.
Però è ancora possibile ottenere qualcosa di simile con la composizione di solidi regolari:
Questo solido può a tutti gli effetti essere considerato una sorta di anello prismatico ruotato ma, come hai notato anche tu, se da un lato la forma del solido fa risparmiare curve a L dall'altra ne genera molte di più.
La trattazione degli anelli prismatici ruotati da parte di Martin Gardner l'ho trovata nel suo Fractal music, hypercards and more... edito da W. H. Freeman & C. NY nel 1992. |
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