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den
Mortale adepto
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 Inviato: 16 Ott 2006 15:43 Oggetto: Piramide proporzionata |
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E' possibile costruire una piramide tale che:
L'altezza,
il cateto che giace sulla basequadrata della piramide,
l'ipotenusa che unisce l'angolo della base all'apice
siano nelle proporzioni rispettivamente di numeri interi consecutivi (un pò come un triangolo rettangolo di lati 3, 4 e 5)?
Occhio a non imbrogliare con piramidi strane, tipo che non abbiano l'apice esattamente sopra il centro del quadrato di base, o il faraone PiRamses si arrabbierà con voi  !
Fonte (preferisco citarla, non si sa mai...):
Ian stewart, L'assassino delle calze verdi e altri enigmi matematici |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 15:35
Messaggi: 6382
Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 16 Ott 2006 20:38 Oggetto: |
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Che bello! Posso tornare a fare i disegnetti!
Non ho ben capito... la configurazione è questa, o quest'altra? O una terza che non ho ancora capito?
Tra le due immagino sia la seconda, ma solo perché nel primo caso la soluzione sarebbe proprio il triangolo con lati 3, 4 e 5...
Anche se nel secondo caso, b non sarebbe un cateto! 
sono già in crisi!?  |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 21:42
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Residenza: Sono brusco con voi solo perchè il tempo è a sfavore. Penso in fretta, quindi parlo in fretta
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| Inviato: 16 Ott 2006 21:32 Oggetto: |
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il primo disegno secondo me non c'entra (3 4 5 andrebbe benissimo).
attendiamo lumi. |
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chemicalbit
Dio maturo
Registrato: 01/04/05 18:59
Messaggi: 18597
Residenza: Milano
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| Inviato: 16 Ott 2006 23:58 Oggetto: Re: Piramide proporzionata |
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| den ha scritto: | | il cateto che giace sulla basequadrata della piramide, |
Che cateto? Di che triangolo? |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 21:42
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Residenza: Sono brusco con voi solo perchè il tempo è a sfavore. Penso in fretta, quindi parlo in fretta
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| Inviato: 17 Ott 2006 02:54 Oggetto: |
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| PiRamses aiutaci tu !!! |
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den
Mortale adepto
Registrato: 28/09/06 14:38
Messaggi: 30
Residenza: BG provincia
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| Inviato: 18 Ott 2006 12:34 Oggetto: |
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OOps... Scusate per la terminologia, in effetti non è un cateto ma semplicemente il lato.
la configurazione è la seconda illustrata da Benny in cui si considerano appunto:
l'altezza,
il lato della base quadrata,
il lato che unisce l'angolo della base al vertice.
Come detto devono essere numeri interi consecutivi, in cui l'altezza è il minore dei tre numeri e il lato che unisce la base al vertice il maggiore.
ps. scusate il ritardo delle correzioni ma non ho sempre occasione di andare in internet e di conseguenza qua su questo forum |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 15:35
Messaggi: 6382
Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 18 Ott 2006 21:03 Oggetto: |
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Bene! Allora la configurazione ufficiale è questa...
Mettiamoci al lavoro! |
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den
Mortale adepto
Registrato: 28/09/06 14:38
Messaggi: 30
Residenza: BG provincia
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| Inviato: 19 Ott 2006 12:59 Oggetto: |
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si, è questa riportata, dove:
h<b<a
e sono numeri interi consecutivi |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 02:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 23 Ott 2006 12:43 Oggetto: |
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Oh... anche a me mancavano i tuoi disegnini! (in effetti bastava postare qualche quiz in più...  )
Ecco qui la mia soluzione:
| Citazione: | Chiamo c la semidiagonale del quadrato di base. Il triangolo formato dai segmenti a, c, h è rettangolo.
Dunque vale la relazione (1): a^2=c^2+h^2.
Poichè 2c^2= b^2 (b è la diagonale del quadrato di lato c) posso sostituire nella (1) ricavando la relazione (2):
2a^2=b^2+2h^2
Poiché a, b, h devono essere numeri interi consecutivi con h<b<a possiamo dire che a=b+1 e h=b-1
Allora la relazione (2) diventa la relazione (3):
b^2+2(b-1)^2-2(b+1)^2=0
Facendo i conti arriviamo all'equazione di 2° grado:
b^2-8b=0
ovvero
b(b-8 )=0
che offre le soluzioni b=0 (inaccettabile) e b=8
Da cui ricaviamo che la piramide coi requisiti richiesti si ottiene ponendo
h=7; b=8; a=9.
La soluzione è unica.
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den
Mortale adepto
Registrato: 28/09/06 14:38
Messaggi: 30
Residenza: BG provincia
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| Inviato: 23 Ott 2006 15:22 Oggetto: |
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@ulisse: la soluzione è giusta, e, come hai detto, anche l'unica  |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 15:35
Messaggi: 6382
Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 23 Ott 2006 16:50 Oggetto: |
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Cavoloooo...
Non sono ancora riuscito a mettermi seriamente (a parte fare il disegno!)
Prima di vedere la soluzione di Ulisse devo postare la mia... sempre che riesca a trovarne una!  |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 15:35
Messaggi: 6382
Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 28 Ott 2006 15:47 Oggetto: |
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Forse:
| Citazione: | Tutto sta a trovare un legame tra a, b e h.
Intanto si fissano i vincoli:
a = b + 1
b = h + 1
e di conseguenza
a = h + 2
Il legame può essere trovato tramite la semidiagonale di base che forma due triangoli rettangoli: uno con a e h e un secondo con i lati b/2.
Detta c la semidiagonale si ha:
a² = h² + c²
e
c² = b²/2
a² = h² + b²/2
sostituendo quanto si ricava dai vincoli si ottiene:
2a² = 2(a - 2)² + (a - 1)²
2a² = 2a² - 8a + 8 + a² - 2a + 1
a² -10a + 9 = 0
Questa equazione ammette le due soluzioni a = 1 e a = 9
Escludiamo a = 1 poiché risulterebbe b = 0 e h = -1 (assurdo)
Perciò rimane la soluzione a = 9, b = 8 e h = 7. |
Mi stavo intortando con angoli e cavolate varie... ma alla fine ce l'ho fatta!
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